Tuyển chọn đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay, chọn lọc (đề 8)

Đáp án A

Em cần nhớ điểm thuộc trục Oy có hoành độ và cao độ đều bằng 0. Do vậy em sẽ gọi tọa độ điểm M là (0;m;0).

Khi đó em có:

Đáp án C

@ Chọn câu C vì nếu 0 < a < 1 thì $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{y}=0$.

Đáp án C

Em thấy trong biểu thức P gồm bao nhiêu số hạng và các số hạng có quan hệ gì?

+ P có 2018 số hạng. Nếu em tính riêng mỗi số hạng ${\mathrm{i}}^{\mathrm{k}}$ với $\mathrm{k}=1,2,3...,2016,2017$ thì việc cộng các kết quả đó cũng không đơn giản chút nào.

+ Kể từ số hạng thứ hai, số hạng sau gấp số hạng đứng ngay trước nó là i. Vậy nên P là tổng của 2018 số hạng đầu của một cấp số nhân, với số hạng đầu là ${\mathrm{u}}_1=1$ và công bội q = i. Sử dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng dầu ${\mathrm{u}}_1$ và công bội q:

Đáp án B

Lưới hình vuông ở trên được tạo thành bởi 7 đường kẻ dọc và 5 đường kẻ ngang. Với mỗi cách chọn hai đường kẻ ngang và hai đường kẻ dọc ta thu được đúng một hình chữ nhật với các đỉnh là giao điểm của các đường đó. Từ đó suy ra số hình chữ nhật cần tìm là:

${\mathrm{C}}_7^2.{\mathrm{C}}_5^2=210.$

Đáp án A

Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, 2p là chu vi của tam giác đó thì 

Đáp án D

Ta có $\underset{x\to -2}{\lim }\left(3x^2-3x-8\right)=12+6-8=10$

Đáp án C

    Trước tiên ta đếm số các số lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau lập được từ các số đã cho: có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị, có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn, có ${\mathrm{A}}_4^2=6$. 2 cách chọn hai chữ số hàng trăm và hàng chục. Như vậy có 3.4.6.2=144 số như trên.

    Tiếp theo ta đếm số các số lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và không có mặt chữ số 1: Tương tự trường hợp trên, ta được số các số thuộc loại này là: 2.3.3=18.

Vậy số các số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau mà phải có mặt số 1 là: 144 - 18 = 126

Đáp án C

Hàm số đã cho không xác định tại x = 0; x = -1; x = 1 nên không liên tục tại các điểm đó.

Hàm số chỉ liên tục tại x = 0,5 vì $\mathrm{f}\left(0,5\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0,5}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0$.

Đáp án C

Đáp án D

Đáp án D

Đường thẳng ${\mathrm{d}}_1$ đi qua ${\mathrm{M}}_1\left(1;-2;-1\right)$  và có VTCP $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_1}=\left(3;-1;2\right).$ 

Đường thẳng ${\mathrm{d}}_2$ đi qua ${\mathrm{M}}_2\left(12;0;10\right)$ và có VTCP $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_2}=\left(-3;1;-2\right).$ 

Như vậy: $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_1}=-\overrightarrow{{\mathrm{u}}_2},{\mathrm{M}}_1\notin {\mathrm{d}}_2$. Suy ra ${\mathrm{d}}_1//{\mathrm{d}}_2$.

Chú ý: Hai đường thẳng ${\mathrm{d}}_1$ và ${\mathrm{d}}_2$  song song nên em không thể lấy tích có hướng của hai VTCP để tìm VTPT của mặt phẳng vì tích có hướng của hai vectơ cùng phương là vectơ-không.

Gọi $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ là một VTPT của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ thì vuông $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ góc với hai vectơ không cùng phương 

Đáp án C

Ta có:

Đáp án B

=> A' là hình chiếu vuông góc của B' trên (AA'D'D) 

=> A'D là hình chiếu vuông góc của B'D trên (AA'D'D)

Đáp án D

Kiểm tra từ đáp án đơn giản đến phức tạp em thấy:

Đặt $\mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{bi},\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\in \mathrm{ℝ}\right)\Rightarrow \overline{\mathrm{z}}=\mathrm{a}-\mathrm{bi}$ nên $\mathrm{z}+\overline{\mathrm{z}}=\left(\mathrm{a}+\mathrm{bi}\right)+\left(\mathrm{a}-\mathrm{bi}\right)=2\mathrm{a}.$

Đáp án D

Coi là phương trình bậc hai ẩn t, tính $∆$ theo biến em có:

Xét hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2^{\mathrm{x}}$ đồng biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$, hàm số $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=3-\mathrm{x}$ nghịch biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$

Mà f(1) = g(1) => Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm => tổng các nghiệm là

$1+{\log }_2\frac{1}{3}={\log }_{2}2+{\log }_2\frac{1}{3}={\log }_2\frac{2}{3}$

Đáp án D

Từ bảng biến thiên em thấy:

Hàm số có hai điểm cực trị là x = -5 và x = 1.

Hàm số không xác định tại $\mathrm{x}=\sqrt{3}$ nên $\mathrm{x}=\sqrt{3}$ không là điểm cực trị.

Đáp án B

$\int \cos 3\mathrm{xdx}=\int \frac{1}{3}\cos 3\mathrm{xd}\left(3\mathrm{x}\right)=\frac{1}{3}\sin 3\mathrm{x}+\mathrm{C}$

Đáp án C

Đáp án B

Vì $\mathrm{A}\left(1;1;-2\right)\in \mathrm{d}$ nên phương trình của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=1+6\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-2+\mathrm{t}\end{array}\right.$

Đáp án A

Em hãy thực hiện câu này theo cả 2 cách nhé!

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng có phương trình: 2x - y + 3 = 0

Em thấy, điểm M cách đều hai điểm A, B nên M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Em có thể tìm phương trình đường trung trực $∆$ của đoạn thẳng AB như sau:

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(-4;2\right)$, trung điểm của AB là $\mathrm{I}\left(-1;1\right)$, $∆$ qua điểm I nhận $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(-4;2\right)$ làm vectơ pháp tuyến. 

Đáp án C

Để hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn đề bài $\iff$ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ${\mathrm{x}}_1; {\mathrm{x}}_2$ thỏa mãn ${\mathrm{x}}_1>0;{\mathrm{x}}_2>0$ và ${{\mathrm{x}}_1}^2+{{\mathrm{x}}_2}^2=5$

Đáp án B

Mặt cầu (S) có tâm I(1;-1;2) và bán kính R = 3.

Kiểm tra thấy tâm I thuộc hai mặt phẳng (P) và (T) => Loại A, D.

Tính khoảng cách từ I đến hai mặt phẳng (Q) và (R) em được:

Đáp án A

Đặt $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{u}=\mathrm{x}+4\\ \mathrm{dv}=\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{du}=\mathrm{dx}\\ \mathrm{v}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\end{array}\right.$

Vậy $\Rightarrow \int \left(\mathrm{x}+4\right)\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\left(\mathrm{x}+4\right).\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\left|{}_{-4}^2-\underset{-4}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\iff 10=30-\mathrm{I}\Rightarrow \mathrm{I}=20.\right.$

Đáp án B

 Em thấy hàm số có giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất là $-\frac{1}{3}$

Đáp án B

${\mathrm{S}}_{\mathrm{\Delta ABC}}=\sqrt{3}\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=2$

Giả sử chọn hệ tọa độ Oxy như hình bên.

=> Phương trình AB là $\mathrm{y}=\sqrt{3}\left(\mathrm{x}-1\right)$.

=> Thể tích khối ABI quay quanh trục AC là

 $\mathrm{V}=\mathrm{\pi }\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[\sqrt{3}\left(\mathrm{x}-1\right)\right]}^2\mathrm{dx}=\mathrm{\pi }$

=> Thể tích khối ABC quay quanh trục AC là $2\mathrm{\pi }.$

Đáp án C

Đáp án A

Em nhận thấy, AB, BC, BD đôi một vuông góc nên em có:

(Với H là hình chiếu vuông góc của B trên (ACD))

Em có tam giác BCD vuông cân tại B, $\mathrm{CD}=\mathrm{a}\sqrt{2}$ nên BC = BD = a

Công thức giải nhanh: Nếu hình chóp O.ABC có OA, OB và OC đôi một vuông góc với nhau thì

$\mathrm{d}\left(\mathrm{O},\left(\mathrm{ABC}\right)\right)=\mathrm{OH}$ và $\frac{1}{{\mathrm{OH}}^2}=\frac{1}{{\mathrm{OA}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{OB}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{OC}}^2}$

Đáp án A

Dựa vào đồ thị của hàm số y = f '(x), em suy ra được bảng biến thiên như sau:

Đáp án C

Từ (1), (2) => HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC

Tam giác SHA vuông tại A có đường cao HK nên $\frac{1}{{\mathrm{HK}}^2}=\frac{1}{{\mathrm{SH}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{AH}}^2}=\frac{4}{3{\mathrm{a}}^2}+\frac{4}{{\mathrm{a}}^2}=\frac{16}{3{\mathrm{a}}^2}.$

$\Rightarrow \mathrm{HK}=\frac{\sqrt{3}\mathrm{a}}{4}.$

Đáp án C

Đáp án A

Từ bảng biến thiên em thấy ${\mathrm{P}}_{\min }=\mathrm{P}\left(\frac{-2+\sqrt{10}}{4}\right)=\frac{2\sqrt{10}-3}{2}$

Đáp án A

Cách 2:

Gọi I và I’ là tâm của 2 đáy của hình trụ như hình vẽ.

Đáp án B

Giá thuê công nhân nhỏ nhất khi chiếc bể có diện tích nhỏ nhất.

=> Tiền công = 150.500000 = 75 triệu đồng

Đáp án A

+ Do các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

+ Mà tam giác ABC vuông tại B nên trung điểm H của AC chính là hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy $\Rightarrow \mathrm{SH}\perp \left(\mathrm{ABC}\right)$.

Góc giữa SA và mặt đáy chính là góc giữa SA và AC hay $\stackrel{⏜}{\mathrm{SAC}}=60°$ 

$\Rightarrow \mathrm{\Delta SAC}$ đều => Trọng tâm G chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC và $\mathrm{G}\in \mathrm{SH}$.

Đáp án D

Để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ thì $\mathrm{y}\text{'}>0,\forall \mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$

Xét hàm số $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}}$ có $\mathrm{y}\text{'}=\frac{1}{\left({\mathrm{x}}^2+1\right)\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}}>0,\forall \mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$ => Hàm số y' luôn đồng biến.

Ta có:$\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+1}}=-1$

Vậy để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ thì $\mathrm{m}\le -1$.

Đáp án D

Theo giả thiết, các mặt bên tạo với đáy một góc $45°$ nên hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) chính là tâm đường tròn nội tiếp $\mathrm{\Delta ABC}$ hay H là tâm đường tròn nội tiếp $\mathrm{\Delta ABC}$.

 Áp dụng công thức Hê-rông em tính được $\mathrm{p}=\frac{9\mathrm{a}}{2}$ và ${\mathrm{S}}_{\mathrm{\Delta ABC}}=\frac{3\sqrt{15}{\mathrm{a}}^2}{4}$.

Em lại có: ${\mathrm{S}}_{\mathrm{\Delta ABC}}=\mathrm{p}.\mathrm{r}$ với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Từ H, em kẻ HM, HN, HP lần lượt vuông góc với AB, AC, BC thì

=> Góc giữa (SAC) và (ABC) chính là góc giữa SN và HN hay $\stackrel{⏜}{\mathrm{SNH}}=45°$

Đáp án D

Do $\left(\mathrm{\alpha }\right)$ qua M song song với mặt đáy nên em kẻ $\mathrm{MN}//\mathrm{AB}\left(\mathrm{N}\in \mathrm{SB}\right)$;

Chú ý: Em nhớ rằng, công thức tính tỉ số thể tích chỉ áp dụng cho khối chóp tam giác. Còn với khối chóp tứ giác, ngũ giác, lục giác,… em cần chia ra thành các khối chóp tam giác và áp dụng công thức.

Công thức giải nhanh:

Cắt khối chóp bởi mặt phẳng song song với đáy: Xét khối chóp $\mathbf{S}\mathbf{.}{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{A}}_{\mathbf{2}}\mathbf{.}\mathbf{..}{\mathbf{A}}_{\mathbf{n}}$, mặt phẳng (P) song song với mặt đáy cắt cạnh ${\mathbf{SA}}_{\mathbf{1}}$ tại m thỏa mãn $\frac{\mathbf{SM}}{{\mathbf{SA}}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\mathbf{k}$. Khi đó (P) chia khối chóp thành 2 khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V' và khối đa diện ban đầu có thể tích V thì $\frac{\mathbf{V}\mathbf{\text{'}}}{\mathbf{V}}\mathbf{=}{\mathbf{k}}^{\mathbf{3}}$

Nên $\mathbf{\Rightarrow }\frac{{\mathbf{V}}_{\mathbf{SMNPQ}}}{{\mathbf{V}}_{\mathbf{SABCD}}}\mathbf{=}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{27}}$

Đáp án C

Để tìm đường thẳng đã cho trước hết ta cần xác định mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d. Khi đó đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ cần tìm nằm trên (P).

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;0), bán kính $\mathrm{R}=\sqrt{2}$.

Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{\mathrm{u}}=\left(2;1;1\right)$.

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d suy ra $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}=\overrightarrow{\mathrm{u}}=\left(2;1;1\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(\mathrm{P}\right):2\left(\mathrm{x}-1\right)+\mathrm{y}+\mathrm{z}=0\iff \left(\mathrm{P}\right):2\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}-2=0$.

Giả sử tiếp điểm $\mathrm{\Delta }$ và mặt cầu (S) là điểm M(x;y;z)

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là

Đáp án A

Thay tọa độ điểm A, B vào biểu thức vế trái của phương trình

Gọi A'(x';y';z') đối xứng A qua (P), K là trung điểm của AA'.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}=\left(1;-2;-1\right)$. Khi đó:

MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất khi $\mathrm{M}\equiv \mathrm{I}$ là giao điểm của A'B và (P).

Điểm I(x;y;z) thỏa mãn

Đáp án A

Tập hợp các tứ giác được lập từ bốn đỉnh của đa giác là: ${\mathrm{C}}_{30}^4=27405$

Ta có: số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều là 15

Để tứ giác thu được là hình chữ nhật. Chọn 2 đường chéo từ 15 đường chéo đi qua tâm:

${\mathrm{C}}_{15}^2=105$

Xác suất tìm được là $\frac{1}{261}$

Đáp án A

Khi đó đường thẳng d vuông góc với $∆$ tại A. Chọn $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{d}}}=\left[\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}},\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}\right]=\left(-1;6;4\right)$.

Như vậy (Q) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau a và $∆$.

Do đó (Q) đi qua A và nhận vectơ $\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{Q}}}=\left[\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{\Delta }}},\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{\mathrm{d}}}\right]=\left(10;-7;13\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(\mathrm{Q}\right):10\left(\mathrm{x}-2\right)-7\left(\mathrm{y}-1\right)+13\mathrm{z}=0\iff 10\mathrm{x}-7\mathrm{y}+13\mathrm{z}-13=0$