Tuyển chọn đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay, chọn lọc (đề 8)
50 câu hỏi
Cho hàm số y=fx=x3−x+1 và bốn hình vẽ lần lượt là 1, 2, 3, 4 dưới đây.
Đồ thị của hàm số y = f(x) là
Hình 1
Hình 2
Hình 3
Hình 4
Đáp án A
Hàm số y=fx=x3−x+1 là hàm đa thức bậc 3 nên loại đáp C.
Đồ thị hàm số có dạng của hàm bậc 3 với hệ số a> 0 => Loại đáp án D.
Đồ thị hàm số không có cực trị tại x = 0 nên loại B.
Giá trị lớn nhất của hàm số y=x+1 trên [0;2] là
0
1
3
Không có
Đáp án C
Có 6 viên bi xanh được đánh số từ 1 đến 6; 5 viên bi đỏ được đánh số từ 1 đến 5; 4 viên bi vàng được đánh số từ 1 đến 4. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra ba viên bi vừa khác màu, vừa khác số?
64
120
40
20
Đáp án A
+ Sắp xếp các viên bi thành ba hàng lần lượt là hàng 1 gồm 4 viên vi vàng đánh số từ 1 đến 4; hàng 2 gồm các 5 viên bi đỏ đánh số từ 1 đến 5, hàng 3 gồm 6 viên bi xanh đánh số từ 1 đến 6 (đóng thẳng cột như hình vẽ).
+ Việc lựa chọn tiến hành theo ba bước sau:
Bước 1: Chọn 1 viên bi vàng ở hàng thứ nhất: có 4 cách thực hiện.
Sau đó ta xóa đi cột chứa viên bi vàng vừa được chọn.
Bước 2: Chọn 1 viên bi đỏ từ hàng thứ hai từ 4 viên bi đỏ còn lại (1 viên bi đỏ bị loại bỏ sau bước thứ nhất): có 4 cách thực hiện.
Sau đó ta tiếp tục xóa cột chứa viên bi đỏ vừa được chọn.
Bước 3: Chọn 1 viên bi xanh từ 4 viên bi xanh còn lại ở hàng thứ ba: có 4 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân, có: 4.4.4 = 64 cách chọn thỏa mãn.
Cho hàm số y=lnx2 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0=e có phương trình là
y=2ex+4.
y=2ex+3.
y=2ex
y=2ex−2.
Đáp án C
Cho a, b là các số thực không âm, khác 1 và m, n là các số tự nhiên. Cho các biểu thức sau
1) am.bn=abm+n.
2) a0=1.
3) amn=am.n.
4) anm=anm.
Số biểu thức đúng là
0
1
2
3
Đáp án A
Vì khi a = 0, b = 0, m = 0, n = 0 khi đó các biểu thức đều không có nghĩa nên không có biểu thức nào đúng.
Bài này em nhớ 00 không có nghĩa
Trong không gian Oxyz, cho vectơ a→=22;−1;4. Vectơ b→ ngược hướng với a→ và có b→=10. Gọi (x, y, z) là tọa độ của b→. Lựa chọn phương án đúng.
xyz=642.
xyz=−642.
xyz=82.
xyz=−82.
Đáp án A
Do vectơ b→ ngược hướng với a→ nên b→=k.a→, k < 0.
Tính môđun của số phức z biết z→=4−3i1+i.
z=252.
z=72.
z=52.
z=2.
Đáp án C
Cách 1: Áp dụng quy tắc nhân, em tính được
* Câu này em có thể sử dụng MTCT kết hợp với tính chất z=z→:
Em ấn MODE 2 SHIFT hyp (để tính mô đun) nhập 4−3i1+i =
Em được kết quả là 52
Cho 0<a≠1. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực dương x, y?
logaxy=logax−logay.
logaxy=logax+logay.
logaxy=logax−y.
logaxy=llogaxlogay.
Đáp án A
Tập xác định của hàm số y=x2−1−2 là
D=ℝ\−1;1.
D=ℝ.
D=ℝ\−1;1.
D=ℝ\−1;1.
Đáp án D
Em cần phải để ý số mũ của hàm số.
Đối với hàm số y=xn (n là số nguyên âm hoặc bằng 0) thì TXĐ là D=ℝ\0
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;1;0), B(-2;4;1). M là điểm trên trục Oy và MA = MB. Lựa chọn phương án đúng
M0;116;0.
M0;1110;0.
M0;−116;0.
M0;0;−112.
Đáp án A
Em cần nhớ điểm thuộc trục Oy có hoành độ và cao độ đều bằng 0. Do vậy em sẽ gọi tọa độ điểm M là (0;m;0).
Khi đó em có:
Cho hàm số y=ax a>0,a≠1. Khẳng định nào sau đây là sai?
Tập xác định D=ℝ
Hàm số có tiệm cận ngang y = 0
limx→+∞ y=+∞
Đồ thị hàm số luôn ở phía trên trục hoành
Đáp án C
@ Chọn câu C vì nếu 0 < a < 1 thì limx→+∞y=0.
Kết quả của phép tính: P=1+i+i2+...+i2016+i2017
P = 0
P = 1
P = 1 + i
P = 2i
Đáp án C
Em thấy trong biểu thức P gồm bao nhiêu số hạng và các số hạng có quan hệ gì?
+ P có 2018 số hạng. Nếu em tính riêng mỗi số hạng ik với k=1,2,3...,2016,2017 thì việc cộng các kết quả đó cũng không đơn giản chút nào.
+ Kể từ số hạng thứ hai, số hạng sau gấp số hạng đứng ngay trước nó là i. Vậy nên P là tổng của 2018 số hạng đầu của một cấp số nhân, với số hạng đầu là u1=1 và công bội q = i. Sử dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng dầu u1 và công bội q:
Cho hình chữ nhật ABCD được chia thành 24 hình vuông đơn vị như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật ở hình bên với các đỉnh nằm trên mắt lưới ô vuông, các cạnh của hình chữ nhật đó hoặc song song, hoặc nằm trên các cạnh của hình chữ nhật ABCD?
120
210
420
240
Đáp án B
Lưới hình vuông ở trên được tạo thành bởi 7 đường kẻ dọc và 5 đường kẻ ngang. Với mỗi cách chọn hai đường kẻ ngang và hai đường kẻ dọc ta thu được đúng một hình chữ nhật với các đỉnh là giao điểm của các đường đó. Từ đó suy ra số hình chữ nhật cần tìm là:
C72.C52=210.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A(0;1;1), B(-1;0;2), C(-1;1;0). Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng
65+3+2.
625+3+2.
265+3+2.
6.5+3+2.
Đáp án A
Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, 2p là chu vi của tam giác đó thì
Tính limx→−23x2−3x−8
-2
5
9
10
Đáp án D
Ta có limx→−23x2−3x−8=12+6−8=10
Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 1?
90
80
126
120
Đáp án C
Trước tiên ta đếm số các số lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau lập được từ các số đã cho: có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị, có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn, có A42=6. 2 cách chọn hai chữ số hàng trăm và hàng chục. Như vậy có 3.4.6.2=144 số như trên.
Tiếp theo ta đếm số các số lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và không có mặt chữ số 1: Tương tự trường hợp trên, ta được số các số thuộc loại này là: 2.3.3=18.
Vậy số các số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau mà phải có mặt số 1 là: 144 - 18 = 126
Cho hàm số fx=2x−1x3−x. Kết luận nào sau đây là đúng?
Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = -1
Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0
Hàm số f(x) liên tục tại điểm x=12
Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 1
Đáp án C
Hàm số đã cho không xác định tại x = 0; x = -1; x = 1 nên không liên tục tại các điểm đó.
Hàm số chỉ liên tục tại x = 0,5 vì f0,5=limx→0,5fx=0.
Biểu thức B=sin4x+cos4x−1tan2x+cot2x+2 có giá trị không đổi bằng:
2
1
-2
-1
Đáp án C
Cho hai đường thẳng d và d'song song với nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành đường thẳng d'?
Không có phép tịnh tiến nào
Có duy nhất một phép tịnh tiến
Chỉ có hai phép tịnh tiến
Có rất nhiều phép tịnh tiến
Đáp án D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho α là mặt phẳng chứa hai đường thẳng d1:x−13=y+2−1=z+12 và d2: x=12−3ty=tz=10−2t. Phương trình mặt phẳng α là
15x−11y−17z−54=0.
15x+11y−17z+10=0.
15x−11y−17z−24=0.
15x+11y−17z−10=0.
Đáp án D
Đường thẳng d1 đi qua M11;−2;−1 và có VTCP u1→=3;−1;2.
Đường thẳng d2 đi qua M212;0;10 và có VTCP u2→=−3;1;−2.
Như vậy: u1→=−u2→, M1∉d2. Suy ra d1//d2.
Chú ý: Hai đường thẳng d1 và d2 song song nên em không thể lấy tích có hướng của hai VTCP để tìm VTPT của mặt phẳng vì tích có hướng của hai vectơ cùng phương là vectơ-không.
Gọi n→ là một VTPT của mặt phẳng α thì vuông n→ góc với hai vectơ không cùng phương
Nghiệm của phương trình sinx5=−12 là (*)
x=−π6+2kπ, k∈ℤ vàx=7π6+2kπ, k∈ℤ
x=−5π6+2kπ, k∈ℤvà x=35π6+2kπ, k∈ℤ
x=−5π6+10kπ, k∈ℤvà x=35π6+10kπ, k∈ℤ
x=−5π6+k1800°, k∈ℤvà x=35π6+k1800°, k∈ℤ
Đáp án C
Ta có:
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Góc giữa B'D và mặt phẳng (AA'D'D) gần nhất với góc nào sau đây?
20°
35°
45°
60°
Đáp án B
=> A' là hình chiếu vuông góc của B' trên (AA'D'D)
=> A'D là hình chiếu vuông góc của B'D trên (AA'D'D)
Mệnh đề nào sau đây đúng.
z.z¯¯≠z¯.z¯.
z'z=z.z'z2.
z.z¯=2a.
z+z¯=2a.
Đáp án D
Kiểm tra từ đáp án đơn giản đến phức tạp em thấy:
Đặt z=a+bi, a,b∈ℝ⇒z¯=a−bi nên z+z¯=a+bi+a−bi=2a.
Phương trình 3.22x+6−2x=3−x−3x−10.2x có tổng các nghiệm là
1−log213.
1+log23.
log213.
log223.
Đáp án D
Coi là phương trình bậc hai ẩn t, tính ∆ theo biến em có:
Xét hàm số fx=2x đồng biến trên −∞;+∞, hàm số gx=3−x nghịch biến trên −∞;+∞
Mà f(1) = g(1) => Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm => tổng các nghiệm là
1+log213=log22+log213=log223
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số có hai điểm cực tiểu
Hàm số có ba điểm cực trị
Hàm số có giá trị cực đại bằng 1
Hàm số có hai điểm cực trị
Đáp án D
Từ bảng biến thiên em thấy:
Hàm số có hai điểm cực trị là x = -5 và x = 1.
Hàm số không xác định tại x=3 nên x=3 không là điểm cực trị.
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x.
∫cos3xdx=3sin3x+C.
∫cos3xdx=sin3x3+C.
∫cos3xdx=−sin3x3+C.
∫cos3xdx=sin3x+C.
Đáp án B
∫cos3xdx=∫13cos3xd3x=13sin3x+C
Cho I=∫etan2x+31−sin22xdx và u=tan2x+3. Chọn mệnh đề đúng
du=11−sin22xdx.
I=∫eudu.
I=etan2x+32+C.
I=2∫eudu.
Đáp án C
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1;-2) và hai mặt phẳng (P): 3x - y +1 = 0, (Q): x - 2z - 3 = 0. Phương trình đường thẳng d qua điểm A đồng thời song song với cả hai mặt phẳng (P), (Q) là
x=2+ty=−6+tz=1−2t.
x=5+2ty=13+6tz=t.
x=1+2ty=1−6tz=−2+t.
x=2+ty=6+tz=1−2t.
Đáp án B
Vì A1;1;−2∈d nên phương trình của đường thẳng d là: x=1+2ty=1+6tz=−2+t
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z−1=z+3−2i. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là
Đường thẳng
Đường tròn
Một điểm xác định
Elip
Đáp án A
Em hãy thực hiện câu này theo cả 2 cách nhé!
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng có phương trình: 2x - y + 3 = 0
Em thấy, điểm M cách đều hai điểm A, B nên M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Em có thể tìm phương trình đường trung trực ∆ của đoạn thẳng AB như sau:
AB→=−4;2, trung điểm của AB là I−1;1, ∆ qua điểm I nhận AB→=−4;2 làm vectơ pháp tuyến.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=13x3−x2+m+1x+2 có hai cực trị là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 5
m=−32.
m = 1
m=○.
m = -2
Đáp án C
Để hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn đề bài ⇔ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x1>0; x2>0 và x12+x22=5
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S:x2+y2+z2−2x+2y−4z−3=0. Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc mặt cầu (S)?
P:2x+y−2z+3=0.
Q:2x+2y−z−7=0.
R:3x+4y−10=0.
T:x+2y−5z+11=0.
Đáp án B
Mặt cầu (S) có tâm I(1;-1;2) và bán kính R = 3.
Kiểm tra thấy tâm I thuộc hai mặt phẳng (P) và (T) => Loại A, D.
Tính khoảng cách từ I đến hai mặt phẳng (Q) và (R) em được:
Cho hàm số f(x) thỏa mãn ∫−42x+4f'xdx=10 và f(2) = 5. Giá trị của I=∫−42fxdx là
I = 20
I = 2
I = 5
I = -5
Đáp án A
Đặt u=x+4dv=f'xdx⇒du=dxv=fx
Vậy ⇒∫x+4f'xdx=x+4.fx −42 −∫−42fxdx⇔10=30−I⇒I=20.
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x+1x2+x+1 lần lượt là
12 và −12
1 và −13
Không xác định
1 và 0
Đáp án B
Em thấy hàm số có giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất là −13
Cho tam giác đều ABC có diện tích 3 quay xung quanh cạnh AC, thể tích khối tròn xoay được tạo thành là
2π.
π.
74π.
78π.
Đáp án B
SΔABC=3⇒AB=AC=BC=2
Giả sử chọn hệ tọa độ Oxy như hình bên.
=> Phương trình AB là y=3x−1.
=> Thể tích khối ABI quay quanh trục AC là
V=π∫013x−12dx=π
=> Thể tích khối ABC quay quanh trục AC là 2π.
Gọi z1, z2, z3 và z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z4−z2−12=0. Tính tổng T=z1+z2+z3+z4
T = 4
T=23.
T=4+23.
T = 0
Đáp án C
Cho hình chóp ABCD có đáy BCD là tam giác vuông cân tại B, CD=a2, AB vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = b. Khoảng cách từ B đến (ACD) là
ab2b2+a2.
2b2+a2ab.
1ab.
ab.
Đáp án A
Em nhận thấy, AB, BC, BD đôi một vuông góc nên em có:
(Với H là hình chiếu vuông góc của B trên (ACD))
Em có tam giác BCD vuông cân tại B, CD=a2 nên BC = BD = a
Công thức giải nhanh: Nếu hình chóp O.ABC có OA, OB và OC đôi một vuông góc với nhau thì
dO,ABC=OH và 1OH2=1OA2+1OB2+1OC2
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị y = f '(x) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ a < b < c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
fb>fc>fa.
fa>fb>fc.
fc>fb>fa.
fb>fa>fc.
Đáp án A
Dựa vào đồ thị của hàm số y = f '(x), em suy ra được bảng biến thiên như sau:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là
2a2.
a2.
3a4.
3a2.
Đáp án C
Từ (1), (2) => HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC
Tam giác SHA vuông tại A có đường cao HK nên 1HK2=1SH2+1AH2=43a2+4a2=163a2.
⇒HK=3a4.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên 0;+∞ thỏa mãn ∫1xftdt=x24+7log2x. Tìm f(2)
69ln2+48
138ln2+54
69ln2+144
138ln2+48
Đáp án C
Xét các số thực dương a, b thỏa mãn log21−aba+b=2ab+a+b−3. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P=a+2b
Pmin=210−32.
Pmin=310−72.
Pmin=210−12.
Pmin=210−52.
Đáp án A
Từ bảng biến thiên em thấy Pmin=P−2+104=210−32
Cho hình trụ có bán kính đáy là R, độ dài đường cao là b. Đường kính MN của đáy dưới vuông góc với đường kính PQ đáy trên. Thể tích của khối tứ diện MNPQ bằng
23R2h.
16R2h.
13R2h.
2R2h.
Đáp án A
Cách 2:
Gọi I và I’ là tâm của 2 đáy của hình trụ như hình vẽ.
Người ta cần xây một bể chứa nước hình khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích 5003m3. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê công nhân để xây hồ là 500000 đồng/m2. Hãy xác định kích thước của hồ để chi phí thuê nhân công là thấp nhất. Chi phí đó là
74 triệu đồng
75 triệu đồng
76 triệu đồng
77 triệu đồng
Đáp án B
Giá thuê công nhân nhỏ nhất khi chiếc bể có diện tích nhỏ nhất.
=> Tiền công = 150.500000 = 75 triệu đồng
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh huyền AC = 6cm, các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc 60°. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là
48π cm2.
12π cm2.
16π cm2.
24π cm2.
Đáp án A
+ Do các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
+ Mà tam giác ABC vuông tại B nên trung điểm H của AC chính là hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy ⇒SH⊥ABC.
Góc giữa SA và mặt đáy chính là góc giữa SA và AC hay SAC⏜=60°
⇒ΔSAC đều => Trọng tâm G chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC và G∈SH.
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y=x2+1−mx−1 đồng biến trên khoảng −∞;+∞?
−∞;1.
1;+∞.
−1;1.
−∞;−1.
Đáp án D
Để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng −∞;+∞ thì y'>0, ∀x∈ℝ
Xét hàm số y=xx2+1 có y'=1x2+1x2+1>0, ∀x∈ℝ => Hàm số y' luôn đồng biến.
Ta có:limx→−∞xx2+1=−1
Vậy để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng −∞;+∞ thì m≤−1.
Cho hình chóp S.ABC có AB = 2a, AC = 4a, BC = 3a. Gọi H là hình chiếu của S nằm trong tam giác ABC. Các mặt bên tạo với đáy một góc 45°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
V=15a36.
V=315a34.
V=15a38.
V=5a38.
Đáp án D
Theo giả thiết, các mặt bên tạo với đáy một góc 45° nên hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) chính là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC hay H là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC.
Áp dụng công thức Hê-rông em tính được p=9a2 và SΔABC=315a24.
Em lại có: SΔABC=p.r với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Từ H, em kẻ HM, HN, HP lần lượt vuông góc với AB, AC, BC thì
=> Góc giữa (SAC) và (ABC) chính là góc giữa SN và HN hay SNH⏜=45°
Cho hình chóp S.ABCD. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho SM=13SA. Mặt phẳng α qua M và song song với mặt đáy lần lượt cắt SB, SC, SD tại N, P, Q. Tỉ số thể tích của khối chóp S.MNPQ với khối chóp S.ABCD là
19
13
181
127
Đáp án D
Do α qua M song song với mặt đáy nên em kẻ MN//AB N∈SB;
Chú ý: Em nhớ rằng, công thức tính tỉ số thể tích chỉ áp dụng cho khối chóp tam giác. Còn với khối chóp tứ giác, ngũ giác, lục giác,… em cần chia ra thành các khối chóp tam giác và áp dụng công thức.
Công thức giải nhanh:
Cắt khối chóp bởi mặt phẳng song song với đáy: Xét khối chóp S.A1A2...An, mặt phẳng (P) song song với mặt đáy cắt cạnh SA1 tại m thỏa mãn SMSA1=k. Khi đó (P) chia khối chóp thành 2 khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V' và khối đa diện ban đầu có thể tích V thì V'V=k3
Nên ⇒VSMNPQVSABCD=(13)2=127
Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;0;0) và mặt cầu S:x2+y2+z2−2x−4y+3=0. Có bao nhiêu tiếp tuyến Δ của (S) biết Δ đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d:x−12=y1=z1
1
0
2
3
Đáp án C
Để tìm đường thẳng đã cho trước hết ta cần xác định mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d. Khi đó đường thẳng Δ cần tìm nằm trên (P).
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;0), bán kính R=2.
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương u→=2;1;1.
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d suy ra nP→=u→=2;1;1.
Phương trình mặt phẳng P:2x−1+y+z=0⇔P:2x+y+z−2=0.
Giả sử tiếp điểm Δ và mặt cầu (S) là điểm M(x;y;z)
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;1;2) và B(1;3;-1) và mặt phẳng (P) có phương trình x - 2y - z + 1 = 0. M là điểm trên mặt phẳng (P) thỏa mãn MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa độ điểm M là
M32;1;12.
M−32;1;−52.
M1;1;0.
Không có M
Đáp án A
Thay tọa độ điểm A, B vào biểu thức vế trái của phương trình
Gọi A'(x';y';z') đối xứng A qua (P), K là trung điểm của AA'.
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến nP→=1;−2;−1. Khi đó:
MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M≡I là giao điểm của A'B và (P).
Điểm I(x;y;z) thỏa mãn
Cho đa giác đều có 30 cạnh. Gọi S là tập hợp các tứ giác được lập từ 4 đỉnh thuộc đa giác. Tính xác suất để tứ giác lập được là hình chữ nhật
1261
13261
163
263
Đáp án A
Tập hợp các tứ giác được lập từ bốn đỉnh của đa giác là: C304=27405
Ta có: số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều là 15
Để tứ giác thu được là hình chữ nhật. Chọn 2 đường chéo từ 15 đường chéo đi qua tâm:
C152=105
Xác suất tìm được là 1261
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình x−22=y−11=z−1 và mặt phẳng P:−2x+y−2z+3=0. Mặt phẳng (Q) chứa ∆ và tạo với (P) một góc nhỏ nhất, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (Q).
1;1;1013
−2;3;110
113;2;0
310;1;−2
Đáp án A
Khi đó đường thẳng d vuông góc với ∆ tại A. Chọn ud→=uΔ→,nP→=−1;6;4.
Như vậy (Q) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau a và ∆.
Do đó (Q) đi qua A và nhận vectơ uQ→=uΔ→,ud→=10;−7;13.
Phương trình mặt phẳng Q:10x−2−7y−1+13z=0⇔10x−7y+13z−13=0
