Tuyển chọn đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay, chọn lọc (đề 10)

Đáp án C

Từ hình vẽ ta thấy M có tọa độ M(-2;1) 

=> M là điểm biểu diễn của số phức ${\mathrm{z}}_3=-2+\mathrm{i}.$ 

Đáp án C

Nhìn vào bảng biến thiên ta có thể thấy hàm số có 3 điểm cực trị, có 2 cực tiểu, có giá trị cực đại bằng 3. => Mệnh đề C sai

Đáp án C

Ta có ${\mathrm{y}}^{\text{'}}=3{\mathrm{ax}}^2+2\mathrm{bx}+\mathrm{c}$ 

Từ hình vẽ ta thấy hàm số đã cho có hệ số a > 0, tại x = 0 thì y(0) = d > 0.

Đồ thị hàm số đã cho có một điểm cực trị tại x = 0 => c = 0 => Loại đáp án A, D.

Mặt khác đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị tại x = 0 và $\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0>0$ nên phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và $\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0>0$ 

$\Rightarrow -\frac{2\mathrm{b}}{3\mathrm{a}}>0\Rightarrow \mathrm{b}<0\to$ Loại đáp án B

Đáp án D                  

${\mathrm{y}}^{\text{'}}=3{\mathrm{x}}^2-1\Rightarrow {\mathrm{y}}^{\text{'}}\left(1\right)=3{.1}^2-1=2$ 

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1;2) là: $\mathrm{y}={\mathrm{y}}^{\text{'}}\left(1\right).\left(\mathrm{x}-1\right)+2$ hay y = 2x.

Đáp án A

     Ta có tập xác định $\mathrm{D}=\left(-1;+\infty \right) \stackrel{}{\to }$ Đáp án D sai do đồ thị có chứa phần x < -1 

     Ta có $\mathrm{y}={\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=-\ln \left(\mathrm{x}+1\right)-1$ 

     Ta nhận thấy đồ thị hàm số y = f '(x) đi qua điểm (0;-1) => Đáp án B, C sai, đáp án A đúng.

Đáp án D

            Từ bảng biến thiên ta thấy với m = 2 hoặc $\mathrm{m}\le 1$ thì đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng y = m tại 2 điểm phân biệt hay phương trình f(x) = m có 2 nghiệm phân biệt.

Đáp án B

Đáp án A

Đáp án A

Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, với O là điểm bất kì trong không gian.

Ta có: $\mathrm{O}\in \left(\mathrm{P}\right)\iff \mathrm{OA}=\mathrm{OB}\iff \mathrm{O}$là tâm của mặt cầu qua A và B.

Vậy tập hợp các tâm O của mặt cầu qua A và B là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Đáp án C

     Theo giả thiết ta có $\mathrm{M}=4{.10}^5,\mathrm{n}=5,\mathrm{r}=0,04.$ 

     Sau 5 năm khu rừng đó sẽ có ${4.10}^5{\left(1+0,04\right)}^5\approx 4,{8666.10}^5{\text{ m}}^3$ gỗ.

Đáp án A

Ta có $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{B}};{\mathrm{y}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{y}}_{\mathrm{B}};{\mathrm{z}}_{\mathrm{A}}-{\mathrm{z}}_{\mathrm{B}}\right)=\left(-1;0;2\right).$ 

Vậy $\overrightarrow{\mathrm{b}}=\left(-1;0;2\right)$ là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Đáp án A

Ta có:

Đáp án A

Đáp án D

Ta thay tọa độ của từng điểm vào phương trình mặt phẳng (P):

Đáp án D

Hình nón có đường sinh hợp với trục một góc bằng $45°$ nên góc ở đỉnh của hình nón là $90°$ Vậy thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân. Suy ra bán kính đáy bằng chiều cao h của hình nón R = h = 2. Độ dài đường sinh của hình nón là $\mathrm{I}=2\sqrt{2}.$ Diện tích xung quanh hình nón là

${\mathrm{S}}_{\mathrm{xq}}=\mathrm{\pi RI}=\mathrm{\pi }.2.2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\mathrm{\pi }$

Đáp án A

Số phần tử của không gian mẫu: $\mathrm{n}\left(\mathrm{\Omega }\right)=6.6=36.$ 

Gọi A là biến cố mặt 6 chấm không xuất hiện.

Khi đó $\text{n}\left(\mathrm{A}\right)=5.5=25\Rightarrow \mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{A}\right)}{\mathrm{n}\left(\mathrm{\Omega }\right)}=\frac{25}{36}.$ 

Đáp án D

Từ có ${\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{xlog}}_{3}4<0\iff \mathrm{x}\left({\mathrm{x}}^2+6{\log }_{3}2\right)<0.$ Để ${\mathrm{x}}^2+6{\mathrm{xlog}}_{3}2<0$ thì x > 0 mà ở đây đề không cho x > 0 => D sai

Đáp án B

Đáp án B

Đáp án C

Giả sử phương trình parabol có dạng:

Vậy quãng đường người này chạy được trong 45 phút=0,75h là:

Đáp án C

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(2;-2;-1\right)$ 

Gọi $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng IH

Vì $\mathrm{IH}\perp \left(\mathrm{P}\right)$ nên $\overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(2;-2;-1\right)$

Phương trình đường thẳng IH qua I(1;2;3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{\mathrm{u}}=\left(2;-2;-1\right)$ là $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2-2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=3-\mathrm{t}\end{array}\right.$ 

Tọa độ của $\mathrm{H}\in \mathrm{IH}$ là $\mathrm{H}\left(1+2\mathrm{t};2-2\mathrm{t};3-\mathrm{t}\right)$ 

Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) tại điểm H nên $\mathrm{H}\in \left(\mathrm{P}\right)$ 

Khi đó $2\left(1+2\mathrm{t}\right)-2\left(2-2\mathrm{t}\right)-\left(3-\mathrm{t}\right)-4=0$

$\Rightarrow \mathrm{t}=1\Rightarrow \mathrm{H}\left(3;0;2\right)$

Đáp án C

Bằng định nghĩa, ta tính được: 

Đáp án C

Ta tính ${\mathrm{y}}^{\text{'}}=\frac{-1}{{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2}.$ 

Giả sử tiếp tuyến $\mathrm{\Delta }$ của (C) có tiếp điểm $\mathrm{M}\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)$ và có hệ số góc là k.

Tiếp tuyến của (C) tạo với trục hoành một góc $60°$

Đáp án D

Đáp án C

$\mathrm{\Delta }:\frac{\mathrm{x}-1}{3}=\frac{\mathrm{y}+2}{-2}=\frac{\mathrm{z}-3}{1}$ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{\mathrm{u}}=\left(3;-2;1\right)$ 

Phương trình mặt phẳng cần tìm đi qua M và vuông góc với đường thẳng

$\mathrm{\Delta }:\frac{\mathrm{x}-1}{3}=\frac{\mathrm{y}+2}{-2}=\frac{\mathrm{z}-3}{1}$ nên nhận $\overrightarrow{\mathrm{u}}=\left(3;-2;1\right)$ làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:

$$\begin{gathered} 3\left(\mathrm{x}-3\right)-2\left(\mathrm{y}+1\right)+1\left(\mathrm{z}-1\right)=0 \\ \iff 3\mathrm{x}-2\mathrm{y}+\mathrm{z}-12=0 \end{gathered}$$

Đáp án A

Thể tích kim tự tháp:

Đáp án B

Đáp án C

Giả sử hai phương trình đã cho có nghiệm phức chung ${\mathrm{z}}_0$ khi đó ta có hệ phương trình:

TH1: Nếu m = -2 thì khi đó 2 phương trình trở thành: ${\mathrm{z}}^2-2\mathrm{z}+2=0$ trùng nhau nên có nghiệm chung.

TH2: Nếu ${\mathrm{z}}_0=-1$ thay vào hệ ta được:

$\left\{\begin{array}{l}1-\mathrm{m}+2=0\\ -1-2+\mathrm{m}=0\end{array}\right.\iff \mathrm{m}=3.$ 

Vậy giá trị cần tìm là m = -2 và m = 3.

Đáp án B

Đáp án B

Ta có tập xác định D = $\mathrm{ℝ}$ và ${\mathrm{y}}^{\text{'}}=4+\left(\mathrm{m}+1\right)\mathrm{cosx}-\mathrm{msinx}$ 

Hàm số đồng biến trên $\mathrm{ℝ}\iff {\mathrm{y}}^{\text{'}}\ge 0,\forall \mathrm{x}\in \mathrm{D}\iff \underset{\mathrm{ℝ}}{\mathrm{Min}}\left(4+\left(\mathrm{m}+1\right)\mathrm{cosx}-\mathrm{msinx}\right)\ge 0$

Ta có

$\left(\mathrm{m}+1\right)\mathrm{cosx}-\mathrm{msinx}\ge -\sqrt{2{\mathrm{m}}^2+2\mathrm{m}+1},\forall \mathrm{x}$ 

$\Rightarrow 4+\left(\mathrm{m}+1\right)\mathrm{cosx}-\mathrm{msinx}\ge 4-\sqrt{2{\mathrm{m}}^2+2\mathrm{m}+1},\forall \mathrm{x}$ 

$\Rightarrow \underset{\mathrm{ℝ}}{\mathrm{Min}}\left(4+\left(\mathrm{m}+1\right)\mathrm{cosx}-\mathrm{msinx}\right)=4-\sqrt{2{\mathrm{m}}^2+2\mathrm{m}+1}\ge 0$ 

$\iff 2{\mathrm{m}}^2+2\mathrm{m}-15\le 0\iff \frac{-1-\sqrt{31}}{2}\le \mathrm{m}\le \frac{-1+\sqrt{31}}{2}$

Do $\mathrm{m}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\Rightarrow \mathrm{m}\in \mathrm{S}=\left\{-3;-2;-1;0;1;2\right\}.$ Vậy S có 6 phần tử

Đáp án B

Ta có: với số nguyên dương k bất kì thì:

Đáp án C

Từ bảng biến thiên ta thấy $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ge 1>0,\forall \mathrm{x}>-1$ nên phương trình f(x) = 0 có một nghiệm duy nhất ${\mathrm{x}}_0<-1$

Mặt khác ta có $\mathrm{y}=\left|\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right|=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right),\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ge 0\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right),\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)<0\end{array}\right.$ 

Do đó ta có bảng biến thiên của $\text{y=}\left|\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right|$ 

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số $\text{y=}\left|\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right|$ có 3 điểm cực trị

Đáp án A

Đáp án A

Và BC là giao tuyến của (A'BC) và (ABC)

Đáp án C

Cách 1: Xét hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\log }_3\left(3^{\mathrm{x}}+2\right)+{\log }_4\left(5^{\mathrm{x}}+3\right),\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$ 

Ta có: ${\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{3^{\mathrm{x}}}{3^{\mathrm{x}}+2}+\frac{5^{\mathrm{x}}.\ln 5}{\left(5^{\mathrm{x}}+3\right)\ln 4}>0,\forall \mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$ 

Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$ 

Có f(0) = 2

Bất phương trình $\iff \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\le \mathrm{f}\left(0\right)\iff \mathrm{x}\le 0$ 

=> Tập nghiệm của bpt là: $\left(-\infty ;0\right]$

Cách 2:

Cách 3:

+ x = 0: Thay vào VT = 2 thỏa mãn bpt => loại đáp án B, D

+ x = -1: Thay vào VT < 2 thỏa mãn bpt => loại đáp án A và chọn đáp án C

Đáp án C

$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{1}{3{\mathrm{x}}^3}$ là một nguyên hàm của $\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}$ nên

Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có

$\begin{array}{l}\int {\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{lnxdx}=\int \mathrm{lnxd}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)\\ =\mathrm{lnx}.\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\int \frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\\ =\frac{\mathrm{lnx}}{{\mathrm{x}}^3}+\frac{1}{3{\mathrm{x}}^3}+\mathrm{C}\end{array}$

Đáp án A

Gọi P là trung điểm cùa DD' 

A'B'NP là hình bình hành => A'P // B'N 

A'PDM là hình bình hành => A'P // MD 

=> B'N // MD hay B' M, N, D đồng phẳng.

Tứ giác B'NDM là hình bình hành.

Có DM = B'M nên B'NDM là hình thoi.

Đáp án B

$\Rightarrow \left|\overline{\mathrm{z}}-1+\mathrm{i}\right|=\left|\mathrm{z}-3-2\mathrm{i}+2+\mathrm{i}\right|\ge \left|\left|\mathrm{z}-3-2\mathrm{i}\right|-\left|2+\mathrm{i}\right|\right|$

$\Rightarrow \left|\overline{\mathrm{z}}-1+\mathrm{i}\right|\ge \left|1-\sqrt{5}\right|=\sqrt{5}-1$

=> Giá trị nhỏ nhất của $\left|\overline{\mathrm{z}}-1+\mathrm{i}\right|$ là $\sqrt{5}-1$

Đáp án B

Theo giả thiết ta có:

Khi đó $\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+\frac{1}{4}\right){\left(1+2\mathrm{x}\right)}^{2\mathrm{n}}={\left(\mathrm{x}+\frac{1}{2}\right)}^2{\left(1+2\mathrm{x}\right)}^{18}=\frac{1}{4}{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^{20}.$

Do đó hệ số chứa ${\mathrm{x}}^8$ là  $\frac{1}{4}{\mathrm{C}}_{20}^8{\left(2\right)}^8.1^{20-8}=64{\mathrm{C}}_{20}^8.$ 

Đáp án C

     Ta có: ${\mathrm{y}}^{\text{'}}=\frac{-1-\mathrm{m}}{{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2}$ 

     · Trường hợp 1: nếu ${\mathrm{y}}^{\text{'}}>0\Rightarrow \mathrm{m}<-1,$ lúc này hàm số đồng biến

     $\Rightarrow \underset{\left[2;4\right]}{\min }\mathrm{y}=\mathrm{y}\left(2\right)=\frac{2+\mathrm{m}}{2-1}=3\Rightarrow \mathrm{m}=1$ (mâu thuẫn với m < -1) => loại

     · Trường hợp 2: nếu ${\mathrm{y}}^{\text{'}}<0\Rightarrow \mathrm{m}>-1,$ lúc này hàm số nghịch biến

      $\Rightarrow \underset{\left[2;4\right]}{\min }\mathrm{y}=\mathrm{y}\left(4\right)=\frac{4+\mathrm{m}}{4-1}=3\Rightarrow \mathrm{m}=5$(thỏa mãn với m > -1) => chọn

Đối chiếu 4 đáp án thì có đáp án C là thỏa mãn.

Đáp án D

Hàm số đồng biến trên $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ và nghịch biến trên $\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right).$ 

Đáp án A

Tập xác định của hàm số là: D = $\mathrm{ℝ}$ 

Ta có:

Đáp án C

Đặt $\text{w}=\mathrm{x}+\mathrm{yi},\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\in \mathrm{ℝ}\right).$ Số phức w được biểu diễn bởi điểm M(x;y).

Ta có:

$\text{w}=\left(3+4\mathrm{i}\right)\mathrm{z}+\mathrm{i}=\mathrm{x}+\mathrm{yi}$

$$\begin{gathered} \iff z=\frac{x+\left(y-1\right)i}{3+4i}=\frac{\left[x+\left(y-1\right)i\right]\left(3-4i\right)}{25} \\ =\frac{\left(3x+4y-4\right)+\left(-4x+3y-3\right)i}{25} \end{gathered}$$

$\Rightarrow \left|\mathrm{z}\right|=\frac{1}{25}\sqrt{{\left(3\mathrm{x}+4\mathrm{y}-4\right)}^2+{\left(-4\mathrm{x}+3\mathrm{y}-3\right)}^2}=4$

$\iff {\left(3\mathrm{x}+4\mathrm{y}-4\right)}^2+{\left(-4\mathrm{x}+3\mathrm{y}-3\right)}^2={100}^2$

$\iff {\left(3\mathrm{x}+4\mathrm{y}\right)}^2+{\left(-4\mathrm{x}+3\mathrm{y}\right)}^2-8\left(3\mathrm{x}+4\mathrm{y}\right)+16-6\left(-4\mathrm{x}+3\mathrm{y}\right)+9=10000$

Vậy số phức w được biểu diễn bởi đường tròn tâm I(0;1), bán kính R = 20 và có phương trình: ${\mathrm{x}}^2+{\left(\mathrm{y}-1\right)}^2=400.$

Đáp án D

· Điều kiện cần:

Giả sử phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt ${\mathrm{x}}_1;{\mathrm{x}}_2;{\mathrm{x}}_3$ lập thành một cấp số cộng

 Khi đó: $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_3=2{\mathrm{x}}_2\\ {\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2+{\mathrm{x}}_3=3\end{array}\right.\iff 3{\mathrm{x}}_2=3\iff {\mathrm{x}}_2=1.$ 

 Với ${\mathrm{x}}_2=1$ thay vào phương trình ta được:

   $1-3+\mathrm{m}+2-\mathrm{m}=0$(luôn đúng).

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt tương đương với phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

Đáp án B

Suy ra ${\mathrm{S}}_1$ là một hình tròn có bán kính bằng $\sqrt{47}$ nên diện tích bằng $47\mathrm{\pi }$

Suy ra ${\mathrm{S}}_2$ là một hình tròn có bán kình bằng $\sqrt{4747}$ nên diện tích bằng $4747\mathrm{\pi }$ 

Tỷ số cần tính là $\frac{{\mathrm{S}}_2}{{\mathrm{S}}_1}=\frac{4747\mathrm{\pi }}{47\mathrm{\pi }}=101$

Đáp án A

Đáp án D

Đáp án A

Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (P).

Vậy điểm H luôn thuộc đường tròn đường kính BK cố định. Bán kính của đường tròn đó là: 

Đáp án B 

     Ta có: $\left(\left(\mathrm{P}\right),{\mathrm{d}}_2\right)\le \left({\mathrm{d}}_1,{\mathrm{d}}_2\right)\Rightarrow {\left(\left(\mathrm{P}\right),{\mathrm{d}}_2\right)}_{\max }=\left({\mathrm{d}}_1,{\mathrm{d}}_2\right)$ khi ${\mathrm{d}}_1$ là hình chiếu vuông góc của ${\mathrm{d}}_2$ trên (P).

=> Phương trình mặt phẳng $\left(\mathrm{P}\right):4\mathrm{x}-\mathrm{y}-7\mathrm{z}+3=0.$

Đáp án A

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+9$ và trục hoành là:

${\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+9=0\iff \mathrm{x}=0.$ 

Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+9$ và 2 đường thẳng x= 0; y = 0 là:

Phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k và cắt trục tung tại điểm A(0;4) là: y = kx +4

Gọi B là giao điểm của (d) và trục hoành $\Rightarrow \mathrm{B}\left(-\frac{4}{\mathrm{k}};0\right).$ 

Để (d) chia (H) thành 2 phần có diện tích bằng nhau thì: