Trắc nghiệm Phương trình quy về phương trình bậc hai lớp 10 (có đáp án)
15 câu hỏi
Phương trình: \[\sqrt {{x^2} + x + 4} + \sqrt {{x^2} + x + 1} = \sqrt {2{x^2} + 2x + 9} \] có tích các nghiệm là:
P = 1;
P = – 1;
P = 0;
P = 2.
Đáp án đúng là C
Tập xác định D = ℝ, đặt t = x2 + x + 1 (t ≥ 0).
Phương trình đã cho trở thành \[\sqrt {t + 3} + \sqrt t = \sqrt {2t + 7} \]\[ \Leftrightarrow 2t + 3 + 2\sqrt {t\left( {t + 3} \right)} = 2t + 7\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt {t\left( {t + 3} \right)} = 2\]
⇔ t(t + 3) = 4
⇔ t2 + 3t – 4 = 0
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 4\end{array} \right.\]
Kết hợp điều kiện thấy t = 1 thỏa mãn.
Với t = 1 ta có x2 + x + 1 = 1\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\].
Thay lần lượt các giá trị x = 0 và x = -1 vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.
Vậy tích các nghiệm của phương trình (-1).0 = 0.
Nghiệm của phương trình\[\sqrt {5{x^2} - 6x - 4} = 2(x - 1)\] là:
x = – 4;
x = 2;
x = 1;
\[\left[ \begin{array}{l}x = - 4\\x = 2\end{array} \right.\].
Đáp án đúng là: B
Điều kiện của phương trình 5x2 – 6x – 4 ≥ 0 \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le \frac{{3 - \sqrt {29} }}{5}\\x \ge \frac{{3 + \sqrt {29} }}{5}\end{array} \right.\]
\[\sqrt {5{x^2} - 6x - 4} = 2(x - 1)\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {x - 1} \right) \ge 0\\5{x^2} - 6x - 4 = 4{\left( {x - 1} \right)^2}\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} + 2x - 8 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\].
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.
Nghiệm của phương trình \[\sqrt {3x + 13} = x + 3\] là:
\[\left[ \begin{array}{l}x = - 4\\x = 1\end{array} \right.\];
x = - 4;
\[\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 1\end{array} \right.\];
x = 1.
Đáp án đúng là: D
\[\sqrt {3x + 13} = x + 3\]
⇒ 3x + 13 = x2 + 6x + 9
⇒ x2 + 3x – 4 = 0
⇒ x = 1 hoặc x = -4.
Thay hai giá trị của x vào phương trình đã cho ta thấy x = 1 thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho nghiệm là x = 1.
Số nghiệm của phương trình \[\sqrt {{x^2} + 5} = {x^2} - 1\] là:
1;
2;
0;
4.
Đáp án đúng là: B
Điều kiện của phương trình x2 + 5 ≥ 0 với \[\forall x \in \mathbb{R}\]
\[\sqrt {{x^2} + 5} = {x^2} - 1\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 \ge 0\\{x^2} + 5 = {\left( {{x^2} - 1} \right)^2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le - 1\end{array} \right.\\{x^4} - 3{x^2} - 4 = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le - 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} = - 1\left( {VL} \right)\\{x^2} = 4\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le - 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 2\end{array} \right.\](thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình có 2 nghiệm.
Số nghiệm của phương trình \[\sqrt {3 - x + {x^2}} - \sqrt {2 + x - {x^2}} = 1\] là:
0;
1;
2;
3.
Đáp án đúng là: C
Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l}3 - x + {x^2} \ge 0\\2 + x - {x^2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2\]
Ta có \[\sqrt {3 - x + {x^2}} - \sqrt {2 + x - {x^2}} = 1\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 2\\3 - x + {x^2} = 1 + 2 + x - {x^2} + 2\sqrt {2 + x - {x^2}} \end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 2\\2 + x - {x^2} + \sqrt {2 + x - {x^2}} - 2 = 0(1)\end{array} \right.\] .
Đặt \[\sqrt {2 + x - {x^2}} = t(t \ge 0)\]
Từ (1) ta có phương trình t2 + t – 2 = 0 \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right.\]
Kết hợp với điều kiện t = 1 thỏa mãn
Với t = 1 ta có \[\sqrt {2 + x - {x^2}} = 1\]\[ \Rightarrow {x^2} - x - 1 = 0\]\[ \Leftrightarrow x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\]( thỏa mãn)
Vậy phương trình có 2 nghiệm.
Nghiệm của phương trình: \[\sqrt {x + 1} + \sqrt {4x + 13} = \sqrt {3x + 12} \] là:
x = 1;
x = – 1;
x = 4;
x = – 4.
Đáp án đúng là: B
Điều kiện xác định \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x \ge - \frac{{13}}{4}\\x \ge - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge - 1\]
Ta có: \[\sqrt {x + 1} + \sqrt {4x + 13} = \sqrt {3x + 12} \]
⇒ 2\(\sqrt {4{x^2} + 17x + 13} = - 2x - 2\)
⇒ 4x2 + 17x + 13 = x2 + 2x + 1
⇒ 3x2 + 15x + 12 = 0
⇒ x = -1 hoặc x = -4
Thay lần lượt hai giá trị của x vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có x = -1 là thỏa mãn.
Vậy đáp án đúng là B
Nghiệm của phương trình \[\sqrt {8 - {x^2}} = \sqrt {x + 2} \] là
x = – 3;
x = – 2;
x = 2;
\(\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 3\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: C
Xét phương trình\[\sqrt {8 - {x^2}} = \sqrt {x + 2} \]
⇒ 8 – x2 = x + 2
⇒ x2 + x – 6 = 0
⇒ x = 2 hoặc x = -3.
Thay lần lượt hai giá trị vào phương trình đã cho ta thấy x = 2 là thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2.
Đáp án đúng là C.
Số nghiệm của phương trình\[\sqrt {{x^2} - 4x - 12} = x - 4\] là:
1;
2;
0;
3.
Đáp án đúng là: A
Điều kiện của phương trình: x2 – 4x – 12 ≥ 0\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 6\\x \le - 2\end{array} \right.\]
\[\sqrt {{x^2} - 4x - 12} = x - 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 6\\{x^2} - 4x - 12 = {x^2} - 8x + 16\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 6\\4x - 28 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 7\]
Vậy phương trình có 1 nghiệm
Nghiệm của phương trình \[\sqrt {2{x^2} - 6x - 4} = x - 2\] là:
\[\left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 4\end{array} \right.\];
x = 2;
x = – 2;
x = 4.
Đáp án đúng là: D
Điều kiện của phương trình: 2x2 – 6x – 4 ≥ 0 \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\\x \le \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\]
2x2−6x−4=x−2⇔x≥22x2−6x−4=x−22⇔x≥2x2−2x−8=0⇔x=4
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 4.
Nghiệm của phương trình \[\sqrt {2x + 7} = x - 4\] thuộc khoảng nào dưới đây:
(0; 2);
(9; 10);
[7; 9];
(-1; 1].
Đáp án đúng là: C
Điều kiện của phương trình: 2x + 7 ≥ 0 \[ \Leftrightarrow x \ge - \frac{7}{2}\]
2x+7=x−4⇔x≥42x+7=x−42⇔x≥4x2−10x+9=0⇔x≥4x=1x=9⇔x=9
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 9 ∈ [7; 9].
Đáp án đúng là C.
Gọi k là số nghiệm âm của phương trình :\(\sqrt { - {x^2} + 6x - 5} = 8 - 2x\). Khi đó k bằng:
k = 0;
k = 1;
k = 2;
k = 3.
Đáp án đúng là: A
Điều kiện của phương trình : – x2 + 6x – 5 ≥ 0 \[ \Leftrightarrow 1 \le x \le 5\]
Ta có: \[\sqrt { - {x^2} + 6x - 5} = 8 - 2x\]
⇔1≤x≤4−x2+6x−5=(8-2x)2
⇔1≤x≤4−5x2+38x−69=0
⇔1≤x≤4x=3x=235⇔x=3
Do đó phương trình không có nghiệm âm. Suy ra k = 0.
Tổng các nghiệm của phương trình \[\left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7} = {x^2} - 4\] bằng:
0;
1;
2;
3.
Đáp án đúng là: D
Điều kiện của phương trình: 2x + 7 ≥ 0 \[ \Leftrightarrow x \ge - \frac{7}{2}\]
Xét với x = 2 là nghiệm của phương trình
Với x ≠ 2 ta có \[\left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7} = {x^2} - 4 \Leftrightarrow \sqrt {2x + 7} = x + 2\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\2x + 7 = {(x + 2)^2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\{x^2} + 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\]
Suy ra phương trình có 2 nghiệm là x = 1; x = 2.
Vậy tổng các nghiệm S = 3.
Số nghiệm của phương trình :\(\sqrt {2 - x} + \frac{4}{{\sqrt {2 - x} + 3}} = 2\) là:
0;
1;
2;
3.
Đáp án đúng là: B
Điều kiện của phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\\sqrt {2 - x} + 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le 2\)
Đặt \[\sqrt {2 - x} = t(t \ge 0)\] ta có \(\sqrt {2 - x} + \frac{4}{{\sqrt {2 - x} + 3}} = 2\) \( \Leftrightarrow t + \frac{4}{{t + 3}} = 2\)
\( \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right.\)
Kết hợp điều kiện t = 1 thỏa mãn
Với t = 1 ta có \[\sqrt {2 - x} = 1 \Leftrightarrow x = 1\]
Vậy phương trình có một nghiệm x = 1.
Số nghiệm của phương trình \[4\sqrt {{x^2} - 6x + 6} = {x^2} - 6x + 9\] là:
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: D
Điều kiện của phương trình x2 – 6x + 6 ≥ 0 \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 3 + \sqrt 3 \\x \le 3 - \sqrt 3 \end{array} \right.\]
Đặt \[\sqrt {{x^2} - 6x + 6} = t(t \ge 0)\]
\[4\sqrt {{x^2} - 6x + 6} = {x^2} - 6x + 9 \Leftrightarrow 4t = {t^2} + 3\]
\[ \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 3\end{array} \right.\]
Với t = 1 ta có phương trình \[\sqrt {{x^2} - 6x + 6} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.\]
Với t = 3 ta có phương trình \[\sqrt {{x^2} - 6x + 6} = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 + 2\sqrt 3 \\x = 3 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\]
Kết hợp với điều kiện cả bốn nghiệm đều thỏa mãn.
Vậy phương trình có 4 nghiệm.
Tích các nghiệm của phương trình \[(x + 4)(x + 1) - 3\sqrt {{x^2} + 5x + 2} = 6\]là:
– 5;
– 9;
– 14;
– 4;
Đáp án đúng là: C
Điều kiện của phương trình: x2 + 5x + 2 ≥ 0\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \frac{{ - 5 + \sqrt {17} }}{2}\\x \le \frac{{ - 5 - \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\]
\[(x + 4)(x + 1) - 3\sqrt {{x^2} + 5x + 2} = 6 \Leftrightarrow {x^2} + 5x + 4 - 3\sqrt {{x^2} + 5x + 2} = 6\]
Đặt \[\sqrt {{x^2} + 5x + 2} = t(t \ge 0)\]
\[{x^2} + 5x + 4 - 3\sqrt {{x^2} + 5x + 2} = 6 \Leftrightarrow {t^2} - 3t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 4\end{array} \right.\]
Kết hợp với điều kiện t = 4 thỏa mãn
Với t = 4 ta có \[\sqrt {{x^2} + 5x + 2} = 4 \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 14 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 7\end{array} \right.\]
Vậy tích các nghiệm của phương trình là – 14.
