Đề kiểm tra Phương trình quy về phương trình bậc hai lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Đặt \({x^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)\).

Phương trình đã cho trở thành \({t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t =  - 1\,\,\left( l \right)}\\{t = 3\,\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\).

Với \(t = 3 \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 3 \). Vậy tích các nghiệm của phương trình đã cho là \[ - 3\].

Theo giả thiết \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta ' > 0}\\{{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - 5 > 0}\\{2m = 6}\end{array} \Leftrightarrow m = 3} \right.} \right.\).

Phương trình trở thành \({x^2} - 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 5}\end{array}} \right.\).

Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình đã cho là \(x = 5\).

Ta có \(\Delta ' = 14\)\( > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lý Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}.{x_2} =  - 13\end{array} \right.\).

Suy ra \[A = x_1^2 + x_2^2\]\[ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2}\]\[ = {2^2} - 2.\left( { - 13} \right)\]\[ = 30\].

\(\sqrt {2{x^2} + x + 3}  + x + 5 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + x + 3}  =  - x - 5\).

Bình phương hai vế của phương trình, ta được:

\(2{x^2} + x + 3 = {x^2} + 10x + 25 \Rightarrow {x^2} - 9x - 22 = 0 \Rightarrow x = 11\) hoặc \(x =  - 2\)

Thay lần lượt \(x = 11;x =  - 2\) vào phương trình đã cho, ta thấy hai giá trị này đều không thỏa mãn. Do đó, phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \emptyset \)

(1) \(\sqrt {5x + 10}  = 8 - x\).

Cách giải 1:

Bình phương hai vế phương trình, ta được:

\(5x + 10 = 64 - 16x + {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 21x + 54 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = 3\\x = 18\end{array}\end{array}.} \right.\)

Thay \(x = 3\) vào phương trình đã cho: \(\sqrt {25}  = 5\) (thỏa mãn).

Thay \(x = 18\) vào phương trình đã cho: \(\sqrt {100}  =  - 10\) (không thỏa mãn). Vậy tập nghiệm phương trình: \(S = \{ 3\} \).

Cách giải 2:

Ta có: \(\sqrt {5x + 10}  = 8 - x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8 - x \ge 0}\\{5x + 10 = 64 - 16x + {x^2}}\end{array}} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \le 8\\{x^2} - 21x + 54 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \le 8\\x = 3 \vee x = 18\end{array}\end{array} \Leftrightarrow x = 3} \right.} \right.\]

Vậy tập nghiệm phương trình: \(S = \{ 3\} \).

(2) \(\sqrt {3{x^2} - 9x + 1}  = x - 2\).

Cách giải 1:

Bình phương hai vế phương trình, ta được:

\(3{x^2} - 9x + 1 = {x^2} - 4x + 4 \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \vee x =  - \frac{1}{2}{\rm{. }}\)

Thay \(x = 3\) vào phương trình đã cho, ta được: \(\sqrt 1  = 1\) (thỏa mãn). Thay \(x =  - \frac{1}{2}\) vào phương trình đã cho, ta được: \(\sqrt {\frac{{25}}{4}}  =  - \frac{5}{2}\) (không thỏa mãn). Vậy tập nghiệm phương trình: \(S = \{ 3\} \).

Cách giải 2:

Ta có: \(\sqrt {3{x^2} - 9x + 1}  = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2 \ge 0}\\{3{x^2} - 9x + 1 = {x^2} - 4x + 4 = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 2\\2{x^2} - 5x + 3 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 2\\x = 3 \vee x =  - \frac{1}{2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow x = 3} \right.} \right.\)

Vậy tập nghiệm phương trình: \(S = \{ 3\} \).

(1) Bình phương hai vế phương trình, ta có:

\({x^2} - x - 2 =  - {x^2} + 2x + 3 \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 5 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1 \vee x = \frac{5}{2}{\rm{. }}\)

Thay các giá trị \(x =  - 1,x = \frac{5}{2}\) vào phương trình đã cho, ta thấy chúng đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm phương trình là: \(S = \left\{ { - 1;\frac{5}{2}} \right\}\).

(2) Bình phương hai vế phương trình, ta có:

\(3{x^2} - x + 1 = x + 2 \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x =  - \frac{1}{3}{\rm{. }}\)

Thay các giá trị \(x = 1,x =  - \frac{1}{3}\) vào phương trình đã cho, ta thấy chúng đều thỏa mãn. Vậy tập nghiệm phương trình là: \(S = \left\{ {1; - \frac{1}{3}} \right\}\).

a) \(x =  - \frac{3}{4};x = 2\).

b) \(x =  - 1 + \sqrt 5 \).

c) \(x =  - 2\) và \(x = \frac{5}{6}\).

d) Phương trình vô nghiệm.

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta được: \(A{C^2} + A{B^2} = B{C^2}\).

Suy ra \(AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{6^2} - {x^2}}  = \sqrt {36 - {x^2}} (\;cm)\).

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác \(ACD\) vuông tại \(A\), ta được: \(A{C^2} + A{D^2} = C{D^2}\).

Suy ra \(AD = \sqrt {C{D^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{8^2} - {x^2}}  = \sqrt {64 - {x^2}} (\;cm)\).

Mà \(AB + BD = AD\) nên \(\sqrt {36 - {x^2}}  + 3 = \sqrt {64 - {x^2}} \) (1).

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

\(36 - {x^2} + 6\sqrt {36 - {x^2}}  + 9 = 64 - {x^2} \Rightarrow \sqrt {36 - {x^2}}  = \frac{{19}}{6} \Rightarrow {x^2} = \frac{{935}}{{36}} \Rightarrow x \approx 5,1.\)

Diện tích của tam giác \(BCD\) là: \(\frac{1}{2} \cdot 5,1 \cdot 3 = 7,65\left( {\;c{m^2}} \right)\).

Gọi thời gian chú thỏ chạy trên đoạn \(AD\) là \(x(0 < x < 30)\) (giây), khi đó thời gian

chú thỏ chạy trên đoạn \(BD\) là \(30 - x\) (giây). Do đó, quãng đường \(AD\) và \(BD\) lần lượt là \(13x(\;m)\) và \(15(30 - x)(m)\).

Độ dài quãng đường \(BC\) là: \(\sqrt {{{370}^2} - {{120}^2}}  = 350(\;m)\).

Tam giác \(ACD\) vuông tại \(C\) nên \(CD = \sqrt {{{(13x)}^2} - {{120}^2}} (\;m)\).

Mặt khác, \(CD = BC - BD = 350 - 15(30 - x)(m)\).

Do đó, ta có: \(\sqrt {{{(13x)}^2} - {{120}^2}}  = 350 - 15(30 - x)\).

Giải phương trình này và kết hợp với điều kiện \(0 < x < 30\), ta nhận \(x = 10\) (giây).

Vậy khoảng cách giữa vị trí \(C\) và vị trí \(D\) là: \(350 - 15 \cdot (30 - 10) = 50(\;m)\).

Trường hợp 1: Với \(2x + 1 \ge 0\) hay \(x \ge  - \frac{1}{2}\), phương trình đã cho trở thành:

\(\sqrt {{x^2} - 4x - 1}  - (2x + 1) = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4x - 1}  = 2x + 2\)(1)

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

\({x^2} - 4x - 1 = 4{x^2} + 8x + 4 \Rightarrow 3{x^2} + 12x + 5 = 0\)

\( \Rightarrow x = \frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}\) hoặc \(x = \frac{{ - 6 - \sqrt {21} }}{3}.\)

Mà \(x \ge  - \frac{1}{2}\) nên ta nhận \(x = \frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}.\)

Thay \(x = \frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}\) vào phương trình đã cho, ta thấy giá trị này thoả mãn.

Trường hợp 2: Với \(2x + 1 < 0\) hay \(x <  - \frac{1}{2}\), phương trình đã cho trở thành \(\sqrt {{x^2} - 4x - 1}  + 2x + 1 = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4x - 1}  =  - 2x.\) (2)

Bình phương hai vế của phương trình (2), ta được:

\({x^2} - 4x - 1 = 4{x^2} \Rightarrow 3{x^2} + 4x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{{ - 1}}{3}\)hoặc \(x =  - 1.\)

Mà \(x <  - \frac{1}{2}\)nên ta nhận \(x =  - 1\).

Thay \(x =  - 1\) vào phương trình đã cho, ta thấy giá trị này thoả mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}; - 1} \right\}\).

Đặt \(AB = x > 0\). Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có: \(AC = \sqrt {{x^2} + 4} \).

Theo tính chất định lí Ta-lét, ta có: \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{x^2} + 16} }}{x} = \frac{5}{3}\)

\( \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 16}  = 5x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}5x \ge 0\\9({x^2} + 16) = 25{x^2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\16{x^2} = 144\end{array}\end{array} \Leftrightarrow x = 3.} \right.} \right.\)

Vậy hai vị trí \(A,B\) cách nhau \(3\;m\).

Ta có: \(\sqrt {2{x^2} + x + 1}  = \sqrt {{x^2} + mx + m - 1}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} + x + 1 \ge 0}\\{2{x^2} + x + 1 = {x^2} + mx + m - 1}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}2{x^2} + x + 1 \ge 0\\{x^2} + (1 - m)x + 2 = 0\quad (*)\end{array}\end{array}} \right.\)

Dễ thấy \(2{x^2} + x + 1 = 2{\left( {x + \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{7}{8} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Do đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình \((*)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  = {(1 - m)^2} - 4(2 - m) \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 7 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow m \ge  - 1 + 2\sqrt 2 {\rm{ }} \vee {\rm{ }}m \le  - 1 - 2\sqrt 2 {\rm{. }}\)

Vậy phương trình có nghiệm khi \(m \in ( - \infty ; - 1 - 2\sqrt 2 ] \cup [ - 1 + 2\sqrt 2 ; + \infty )\).

pt \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + x + 1 \ge 0}\\{{x^2} + x + 1 = 2{x^2} + mx + m + 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + x + 1 \ge 0}\\{{x^2} + (m - 1)x + m = 0\quad (*)}\end{array}} \right.} \right.\)

Vì \({x^2} + x + 1 = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \((*)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow {(m - 1)^2} - 4m > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 1 > 0 \Leftrightarrow m < 3 - 2\sqrt 2 \) hoặc \(m > 3 + 2\sqrt 2 \).