Đề kiểm tra Phương trình quy về phương trình bậc hai lớp 10 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Nghiệm của phương trình \( - 2{x^2} + 4x - 2 = 0\) là
\(x = - 1\).
\(x = - 2\).
\(x = 2\).
\(x = 1\).
\( - 2{x^2} + 4x - 2 = 0 \Leftrightarrow - 2{\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Nghiệm nguyên âm của phương trình \({x^2} + 2x - 3 = 0\) là
x=−3 ; x=−1
x=−3 ; x=1
\(x = - 1\).
\(x = - 3\).
\({x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right..\)
Tập nghiệm của phương trình \(2{x^2} + 5{\rm{x + }}3 = 0\) là
\(x = - 1;x = \frac{3}{2}\).
\(S = \left\{ { - 1;\frac{3}{2}} \right\}\).
\(x = - 1;x = \frac{{ - 3}}{2}\).
\(S = \left\{ { - 1;\frac{{ - 3}}{2}} \right\}\).
\(2{x^2} + 5x{\rm{ + }}3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = \frac{{ - 3}}{2}\end{array} \right..\)
Nghiệm không nguyên của phương trình \(2{x^2} - 5x + 2 = 0\) là
\(x = 2\).
\(x = - 2\).
\(x = \frac{1}{2}\).
\(x = - \frac{1}{2}\).
Bấm máy tính cầm tay ta thấy nghiệm không nguyên của phương trình là: \(x = \frac{1}{2}\)
Một nghiệm của phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 6x + 3} = \sqrt {2{x^2} - 5x + 3} \) là
\(0\).
\(1\).
\(11\).
\(4\).
Sử dụng máy tính bỏ túi. Tìm giá trị biểu thức \(\sqrt {3{x^2} + 6x + 3} - \sqrt {2{x^2} - 5x + 3} \) tại \[x = 0;x = 1\]; \[x = 11;x = 4\]. Ta thấy \[x = 0\] thoả mãn phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 6x + 3} = \sqrt {2{x^2} - 5x + 3} \).
Bình phương cả hai vế của phương trình \[\sqrt {x + 2} = \sqrt {3x + 1} \] rồi biến đổi, thu gọn ta được phương trình nào sau đây?
\[3x - 1 = 0\].
\[2x + 1 = 0\].
\[2x - 1 = 0\].
\[2x + 3 = 0\].
\[\sqrt {x + 2} = \sqrt {3x + 1} \Leftrightarrow x + 2 = 3x + 1 \Leftrightarrow 2x - 1 = 0\].
Cho phương trình \(\sqrt {{x^2} + 5x - 2} = \sqrt {2{x^2} - x + 1} \). Bình phương thu được phương trình nào?
\(3{x^2} + 4x - 1 = 0\).
\( - 3{x^2} - 4x + 3 = 0\).
\({x^2} + 4x + 3 = 0\).
\({x^2} - 6x + 3 = 0\).
Bình phương thu được PT \({x^2} - 6x + 3 = 0\).\(\)
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 3} = 3x - 1.\) là
1.
2.
\(\frac{{ - 1}}{4}\).
3.
Thay số vào phương trình, vậy PT có nghiệm \[x = 1\].
Số nghiệm nguyên dương của phương trình \(2{x^2} - 5x + 3 = 0\) là
1.
0.
2.
3.
Ta có \(2{x^2} - 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \in {\mathbb{Z}^ + }}\\{x = \frac{3}{2} \notin {\mathbb{Z}^ + }}\end{array}} \right.\).
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm nguyên dương.
Gọi \(S\) là tập nghiệm của phương trình \({x^4} - 2{x^2} - 3 = 0\). Tích các phần tử của \(S\) là
0.
3.
\[ - 3\].
1.
Đặt \({x^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)\).
Phương trình đã cho trở thành \({t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 1\,\,\left( l \right)}\\{t = 3\,\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\).
Với \(t = 3 \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 \). Vậy tích các nghiệm của phương trình đã cho là \[ - 3\].
Biết rằng phương trình \({x^2} - 2mx + 5 = 0\)có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = 6\). Nghiệm lớn nhất của phương trình là
\(x = 5\).
\(x = 6\).
\(x = - 1\).
\(x = 3\).
Theo giả thiết \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta ' > 0}\\{{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - 5 > 0}\\{2m = 6}\end{array} \Leftrightarrow m = 3} \right.} \right.\).
Phương trình trở thành \({x^2} - 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 5}\end{array}} \right.\).
Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình đã cho là \(x = 5\).
Gọi \({x_1}\), \({x_2}\) là các nghiệm của phương trình \[{x^2} - 2x - 13 = 0\]. Tính giá trị biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2\).
\(30\).
\( - 24\).
\( - 22\).
28.
Ta có \(\Delta ' = 14\)\( > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lý Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}.{x_2} = - 13\end{array} \right.\).
Suy ra \[A = x_1^2 + x_2^2\]\[ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2}\]\[ = {2^2} - 2.\left( { - 13} \right)\]\[ = 30\].
Cho phương trình \(\sqrt {2{x^2} + x + 3} = - x - 5\,\left( * \right)\). Khi đó:
Bình phương 2 vế của phương trình ta được \({x^2} - 9x - 22 = 0\)
Phương trình \(\sqrt {2{x^2} + x + 3} = - x - 5\)và phương trình \({x^2} - 9x - 22 = 0\) có chung tập nghiệm
\(x = 11;x = - 2\) là nghiệm của phương trình (*)
Tập nghiệm của phương trình (*) là \(S = \emptyset \)
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
\(\sqrt {2{x^2} + x + 3} + x + 5 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + x + 3} = - x - 5\).
Bình phương hai vế của phương trình, ta được:
\(2{x^2} + x + 3 = {x^2} + 10x + 25 \Rightarrow {x^2} - 9x - 22 = 0 \Rightarrow x = 11\) hoặc \(x = - 2\)
Thay lần lượt \(x = 11;x = - 2\) vào phương trình đã cho, ta thấy hai giá trị này đều không thỏa mãn. Do đó, phương trình đã cho vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \emptyset \)
Cho 2 phương trình \(\sqrt {5x + 10} = 8 - x\,\left( 1 \right)\) và \(\sqrt {3{x^2} - 9x + 1} = x - 2\,\left( 2 \right)\). Khi đó:
Phương trình (1) có 1 nghiệm
Phương trình (2) có 2 nghiệm
Phương trình (1) và (2) có chung tập nghiệm
Tổng các nghiệm của phương trình (1) và (2) bằng 6
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
(1) \(\sqrt {5x + 10} = 8 - x\).
Cách giải 1:
Bình phương hai vế phương trình, ta được:
\(5x + 10 = 64 - 16x + {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 21x + 54 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = 3\\x = 18\end{array}\end{array}.} \right.\)
Thay \(x = 3\) vào phương trình đã cho: \(\sqrt {25} = 5\) (thỏa mãn).
Thay \(x = 18\) vào phương trình đã cho: \(\sqrt {100} = - 10\) (không thỏa mãn). Vậy tập nghiệm phương trình: \(S = \{ 3\} \).
Cách giải 2:
Ta có: \(\sqrt {5x + 10} = 8 - x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8 - x \ge 0}\\{5x + 10 = 64 - 16x + {x^2}}\end{array}} \right.\)
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \le 8\\{x^2} - 21x + 54 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \le 8\\x = 3 \vee x = 18\end{array}\end{array} \Leftrightarrow x = 3} \right.} \right.\]
Vậy tập nghiệm phương trình: \(S = \{ 3\} \).
(2) \(\sqrt {3{x^2} - 9x + 1} = x - 2\).
Cách giải 1:
Bình phương hai vế phương trình, ta được:
\(3{x^2} - 9x + 1 = {x^2} - 4x + 4 \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \vee x = - \frac{1}{2}{\rm{. }}\)
Thay \(x = 3\) vào phương trình đã cho, ta được: \(\sqrt 1 = 1\) (thỏa mãn). Thay \(x = - \frac{1}{2}\) vào phương trình đã cho, ta được: \(\sqrt {\frac{{25}}{4}} = - \frac{5}{2}\) (không thỏa mãn). Vậy tập nghiệm phương trình: \(S = \{ 3\} \).
Cách giải 2:
Ta có: \(\sqrt {3{x^2} - 9x + 1} = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2 \ge 0}\\{3{x^2} - 9x + 1 = {x^2} - 4x + 4 = 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 2\\2{x^2} - 5x + 3 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 2\\x = 3 \vee x = - \frac{1}{2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow x = 3} \right.} \right.\)
Vậy tập nghiệm phương trình: \(S = \{ 3\} \).
Cho các phương trình sau \(\sqrt {{x^2} - x - 2} = \sqrt { - {x^2} + 2x + 3} \,\left( 1 \right)\) và \(\sqrt {x + 2} = \sqrt {3{x^2} - x + 1} \,\left( 2 \right)\). Khi đó:
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
Phương trình (2) có 1 nghiệm
Tổng các nghiệm của phương trình (1) bằng \(\frac{3}{2}\)
Tổng các nghiệm của phương trình (2) bằng \[\frac{2}{3}\]
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
(1) Bình phương hai vế phương trình, ta có:
\({x^2} - x - 2 = - {x^2} + 2x + 3 \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \vee x = \frac{5}{2}{\rm{. }}\)
Thay các giá trị \(x = - 1,x = \frac{5}{2}\) vào phương trình đã cho, ta thấy chúng đều thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm phương trình là: \(S = \left\{ { - 1;\frac{5}{2}} \right\}\).
(2) Bình phương hai vế phương trình, ta có:
\(3{x^2} - x + 1 = x + 2 \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = - \frac{1}{3}{\rm{. }}\)
Thay các giá trị \(x = 1,x = - \frac{1}{3}\) vào phương trình đã cho, ta thấy chúng đều thỏa mãn. Vậy tập nghiệm phương trình là: \(S = \left\{ {1; - \frac{1}{3}} \right\}\).
Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau:
Phương trình \(\sqrt {4{x^2} - 3x - 3} = \sqrt {2x + 3} \) có 2 nghiệm phân biệt
Phương trình \(\sqrt {{x^2} + 12x + 28} = \sqrt {2{x^2} + 14x + 24} \)có 2 nghiệm phân biệt
Phương trình \(\sqrt { - 4{x^2} - 5x + 8} - \sqrt {2{x^2} + 2x - 2} = 0\)có 2 nghiệm phân biệt
Phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 12x - 14} = \sqrt {5{x^2} - 26x - 6} \)có 2 nghiệm phân biệt
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
a) \(x = - \frac{3}{4};x = 2\).
b) \(x = - 1 + \sqrt 5 \).
c) \(x = - 2\) và \(x = \frac{5}{6}\).
d) Phương trình vô nghiệm.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 6\;cm\). Điểm \(D\) nằm trên tia \(AB\) sao cho \(DB = 3\;cm,DC = 8\;cm\) (xem hình vẽ). Đặt \(AC = x\). Tính diện tích tam giác \(BCD\) (làm tròn kết quả đến hàng phân mười).
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta được: \(A{C^2} + A{B^2} = B{C^2}\).
Suy ra \(AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {{6^2} - {x^2}} = \sqrt {36 - {x^2}} (\;cm)\).
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác \(ACD\) vuông tại \(A\), ta được: \(A{C^2} + A{D^2} = C{D^2}\).
Suy ra \(AD = \sqrt {C{D^2} - A{C^2}} = \sqrt {{8^2} - {x^2}} = \sqrt {64 - {x^2}} (\;cm)\).
Mà \(AB + BD = AD\) nên \(\sqrt {36 - {x^2}} + 3 = \sqrt {64 - {x^2}} \) (1).
Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:
\(36 - {x^2} + 6\sqrt {36 - {x^2}} + 9 = 64 - {x^2} \Rightarrow \sqrt {36 - {x^2}} = \frac{{19}}{6} \Rightarrow {x^2} = \frac{{935}}{{36}} \Rightarrow x \approx 5,1.\)
Diện tích của tam giác \(BCD\) là: \(\frac{1}{2} \cdot 5,1 \cdot 3 = 7,65\left( {\;c{m^2}} \right)\).
Một chú thỏ ngày nào cũng ra bờ suối ở vị trí \(A\), cách cửa hang của mình tại vị trí \(B\) là \(370\;m\) để uống nước, sau đó chú thỏ sẽ đến vị trí \(C\) cách vị trí \(A120\;m\) để ăn cỏ rồi trở về hang. Tuy nhiên, hôm nay sau khi uống nước ở bờ suối, chú thỏ không đến vị trí \(C\) như mọi ngày mà chạy đến vị trí \(D\) để tìm cà rốt rồi mới trở về hang (xem hình bên dưới). Biết rằng, tổng thời gian chú thỏ chạy từ vị trí \(A\) đến vị trí \(D\) rồi về hang là 30 giây (không kể thời gian tìm cà rốt), trên đoạn \(AD\) chú thỏ chạy với vận tốc là \(13\;m/s\), trên đoạn \(BD\) chú thỏ chạy với vận tốc là \(15\;m/s\). Tính khoảng cách giữa hai vị trí \(C\) và \(D\).
Gọi thời gian chú thỏ chạy trên đoạn \(AD\) là \(x(0 < x < 30)\) (giây), khi đó thời gian
chú thỏ chạy trên đoạn \(BD\) là \(30 - x\) (giây). Do đó, quãng đường \(AD\) và \(BD\) lần lượt là \(13x(\;m)\) và \(15(30 - x)(m)\).
Độ dài quãng đường \(BC\) là: \(\sqrt {{{370}^2} - {{120}^2}} = 350(\;m)\).
Tam giác \(ACD\) vuông tại \(C\) nên \(CD = \sqrt {{{(13x)}^2} - {{120}^2}} (\;m)\).
Mặt khác, \(CD = BC - BD = 350 - 15(30 - x)(m)\).
Do đó, ta có: \(\sqrt {{{(13x)}^2} - {{120}^2}} = 350 - 15(30 - x)\).
Giải phương trình này và kết hợp với điều kiện \(0 < x < 30\), ta nhận \(x = 10\) (giây).
Vậy khoảng cách giữa vị trí \(C\) và vị trí \(D\) là: \(350 - 15 \cdot (30 - 10) = 50(\;m)\).
Tìm tập nghiệm phương trình sau: \(\sqrt {{x^2} - 4x - 1} - |2x + 1| = 1\)
Trường hợp 1: Với \(2x + 1 \ge 0\) hay \(x \ge - \frac{1}{2}\), phương trình đã cho trở thành:
\(\sqrt {{x^2} - 4x - 1} - (2x + 1) = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4x - 1} = 2x + 2\)(1)
Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:
\({x^2} - 4x - 1 = 4{x^2} + 8x + 4 \Rightarrow 3{x^2} + 12x + 5 = 0\)
\( \Rightarrow x = \frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}\) hoặc \(x = \frac{{ - 6 - \sqrt {21} }}{3}.\)
Mà \(x \ge - \frac{1}{2}\) nên ta nhận \(x = \frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}.\)
Thay \(x = \frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}\) vào phương trình đã cho, ta thấy giá trị này thoả mãn.
Trường hợp 2: Với \(2x + 1 < 0\) hay \(x < - \frac{1}{2}\), phương trình đã cho trở thành \(\sqrt {{x^2} - 4x - 1} + 2x + 1 = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4x - 1} = - 2x.\) (2)
Bình phương hai vế của phương trình (2), ta được:
\({x^2} - 4x - 1 = 4{x^2} \Rightarrow 3{x^2} + 4x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{{ - 1}}{3}\)hoặc \(x = - 1.\)
Mà \(x < - \frac{1}{2}\)nên ta nhận \(x = - 1\).
Thay \(x = - 1\) vào phương trình đã cho, ta thấy giá trị này thoả mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}; - 1} \right\}\).
Người ta làm ra một cái thang bắc lên tầng hai của một ngôi nhà (hình vẽ), muốn vậy họ cần làm một thanh đỡ \(BC\) có chiều dài bằng \(4\;m\), đồng thời muốn đảm bảo kỹ thuật thì tỉ số độ dài \(\frac{{CE}}{{BD}} = \frac{5}{3}\). Hỏi vị trí \(A\) cách vị trí \(B\) bao nhiêu mét?
Đặt \(AB = x > 0\). Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có: \(AC = \sqrt {{x^2} + 4} \).
Theo tính chất định lí Ta-lét, ta có: \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{x^2} + 16} }}{x} = \frac{5}{3}\)
\( \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 16} = 5x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}5x \ge 0\\9({x^2} + 16) = 25{x^2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\16{x^2} = 144\end{array}\end{array} \Leftrightarrow x = 3.} \right.} \right.\)
Vậy hai vị trí \(A,B\) cách nhau \(3\;m\).
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình sau có nghiệm \(\sqrt {2{x^2} + x + 1} = \sqrt {{x^2} + mx + m - 1} \).
Ta có: \(\sqrt {2{x^2} + x + 1} = \sqrt {{x^2} + mx + m - 1} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} + x + 1 \ge 0}\\{2{x^2} + x + 1 = {x^2} + mx + m - 1}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}2{x^2} + x + 1 \ge 0\\{x^2} + (1 - m)x + 2 = 0\quad (*)\end{array}\end{array}} \right.\)
Dễ thấy \(2{x^2} + x + 1 = 2{\left( {x + \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{7}{8} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
Do đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình \((*)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta = {(1 - m)^2} - 4(2 - m) \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 7 \ge 0\)
\( \Leftrightarrow m \ge - 1 + 2\sqrt 2 {\rm{ }} \vee {\rm{ }}m \le - 1 - 2\sqrt 2 {\rm{. }}\)
Vậy phương trình có nghiệm khi \(m \in ( - \infty ; - 1 - 2\sqrt 2 ] \cup [ - 1 + 2\sqrt 2 ; + \infty )\).
Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt \(\sqrt {{x^2} + x + 1} = \sqrt {2{x^2} + mx + m + 1} \).
pt \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + x + 1 \ge 0}\\{{x^2} + x + 1 = 2{x^2} + mx + m + 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + x + 1 \ge 0}\\{{x^2} + (m - 1)x + m = 0\quad (*)}\end{array}} \right.} \right.\)
Vì \({x^2} + x + 1 = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \((*)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow {(m - 1)^2} - 4m > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 1 > 0 \Leftrightarrow m < 3 - 2\sqrt 2 \) hoặc \(m > 3 + 2\sqrt 2 \).
