Bài tập Ứng dụng để giải các bài toán thực tế lớp 10 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Để tìm được giá trị của x, ta cần giải phương trình \[\sqrt {{{\left( {8-40x} \right)}^2} + {{\left( {7-40x} \right)}^2}} = 5.\] (1). 

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

(8 - 40x)² + (7 - 40x)² = 25 

⇔ 1 600x² - 640x + 64 + 1 600x² - 560x + 49 = 25

⇔ 3 200x² - 1 200x + 88 = 0

⇔ 400x² - 150x + 11 = 0

⇔ x = 0,1 hoặc x = 0,275. 

Thử lại với điều kiện, ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn phương trình.

Tuy nhiên, thời gian mà ô tô đi từ vị trí A đến O là \(\frac{8}{{40}} = 0,2\) (giờ).

Do đó chỉ có x = 0,1 là thỏa mãn bài toán.

Vậy x = 0,1.

Đáp án đúng là: C

Gọi chiều cao của bức tường là x (mét) (x > 0). 

Vì chiếc thang cao hơn tường 1 m nên chiều cao của chiếc thang là x + 1 (m). 

Quan sát Hình a ta thấy, AC = x, AB = x + 1, tam giác ABC vuông tại C, áp dụng định lý Pythagore ta có: AB² = AC² + BC² 

Suy ra: BC² = AB² - AC² = (x + 1)² - x² = 2x + 1 (m). \[BC = \sqrt {2x + 1} \,\] (m)

Quan sát Hình b, ta thấy chiều cao bức tường không thay đổi nên DG = x (m). 

Khi bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần tường thêm 0,5 m thì GE = BC - 0,5.

Suy ra \[GE = \sqrt {2x + 1} -0,5\,\](m)

Lại có tam giác DGE vuông tại G nên ta có: \[tan\widehat {DEG} = \frac{{DG}}{{GE}}\]

Mà \[\widehat {DEG} = 60^\circ ,\] DG = x, \[GE = \sqrt {2x + 1} -0,5\]

Do đó:

\[\frac{x}{{\sqrt {2x + 1} -0,5}} = tan60^\circ = \sqrt 3 \]

\[ \Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {\sqrt {2x + 1} -0,5} \right) = x\]

\[ \Leftrightarrow x = \sqrt {3\left( {2x + 1} \right)} -\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt {3\left( {2x + 1} \right)} = x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,\]

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\[3\left( {2x + 1} \right) = {\left( {x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {\sqrt 3 - 6} \right)x - \frac{9}{4} = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {\sqrt 3 - 6} \right)x - \frac{9}{4} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 4,7\\x \approx - 0,5\end{array} \right.\]

Do x > 0 nên ta chỉ thay x ≈ 4,7 vào phương trình ta thấy thỏa mãn.

Vậy bức tường cao khoảng 4,7 m.

Đáp án đúng là: B

Đổi: 300 m = 0,3 km; 800 m = 0,8 km; 7,2 phút = 0,12 giờ. 

Gọi độ dài khoảng cách từ vị trí C đến D là x (km, x > 0).

Khi đó ta có: AC = 0,3 km; CD = x km; BC = 0,8 km; DB = BC - CD = 0,8 - x (km). 

Lại có tam giác ACD vuông tại C, áp dụng định lý Pythagore ta có: 

AD² = AC² + CD² = (0,3)² + x² = 0,09 + x² 

Suy ra \[AD = \sqrt {0,09 + {x^2}} \] (km)

Do đó khoảng cách từ vị trí A đến vị trí D là \[AD = \sqrt {0,09 + {x^2}} \] (km), mà vận tốc chèo thuyền là 6 km/h và vận tốc dòng nước không đáng kể nên thời gian người đó chèo thuyền từ vị trí A đến vị trí D là \[{t_1} = \frac{{\sqrt {0,09 + {x^2}} }}{6}\] (giờ). 

Quãng đường từ vị trí D đến vị trí B là 0,8 - x (km) và vận tốc chạy bộ là 10 km/h nên thời gian người đó chạy bộ từ vị trí D đến vị trí B là \[{t_2} = \frac{{0,8 - x}}{{10}}\] (giờ).

Tổng thời gian người đó chèo thuyền là  t₁ + t₂ = t = 0,12 (giờ). 

Khi đó ta có phương trình:

\[\frac{{\sqrt {0,09 + {x^2}} }}{6} + \frac{{0,8 - x}}{{10}} = 0,12\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{5\sqrt {0,09 + {x^2}} }}{{30}} + \frac{{3\left( {0,8 - x} \right)}}{{30}} = 0,12\]

\[ \Leftrightarrow 5\sqrt {0,09 + {x^2}} + 2,4 - 3x = 3,6\]

\[ \Leftrightarrow 5\sqrt {0,09 + {x^2}} = 1,2 + 3x\,\] (1)

Bình phương cả hai vế của (1) ta được:

25.(0,09 + x²) = (1,2 + 3x)² 

⇔ 2,25 + 25x² = 1,44 + 7,2x + 9x² 

⇔ 16x² - 7,2x + 0,81 = 0 

⇔ x = 0,225 (thỏa mãn điều kiện x > 0)

Thay x = 0,225 vào (1) ta thấy thỏa mãn.

Vậy khoảng cách từ vị trí C đến D là 0,225 km = 225 m.

Đáp án đúng là: D

Đổi 148 phút = \(\frac{{37}}{{15}}\) giờ. 

Gọi khoảng cách từ vị trí B đến M là x (km, x > 0). 

Khi đó ta có: AB = 4 km, BM = x km, BC = 7 km, MC = BC - BM = 7 - x (km).

Tam giác ABM vuông tại B, áp dụng định lí Pythagore ta có: 

AM² = AB² + BM² = 4² + x² = 16 + x² 

\[AM = \sqrt {16 + {x^2}} \] (km).

Do đó khoảng cách từ vị trí A đến M là \[AM = \sqrt {16 + {x^2}} \] (km) và vận tốc chèo thuyền là 3 km/h nên thời gian chèo thuyền từ A đến M là \[{t_1} = \frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3}\] (giờ).

Khoảng cách từ M đến C là 7 - x (km) và người đó đi bộ với vận tốc 5 km/h nên thời gian đi bộ từ M đến C là \[{t_2} = \frac{{7-x}}{5}\] (giờ). 

Thời gian người đó đi từ A đến C chính bằng tổng thời gian người đó đi từ A đến M và từ M đến C nên ta có t₁ + t₂ = t = \(\frac{{37}}{{15}}\) (giờ). 

Khi đó ta có phương trình: 

\[\frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3} + \frac{{7-x}}{5} = \frac{{37}}{{15}}\]

\[ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}} + 3\left( {7-x} \right) = 37\]

\[ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}} = 16 + 3x\] (1)

Bình phương cả hai vế của (1) ta được:

25.(16 + x²) = (16 + 3x)² 

⇔ 400 + 25x² = 256 + 96x + 9x² 

⇔ 16x² - 96x + 144 = 0 

⇔ x = 3 (thỏa mãn điều kiện x > 0)

Thay x = 3 vào phương trình (1) ta thấy thỏa mãn.

Vậy khoảng cách từ vị trí B đến vị trí M là 3 km.

Đáp án đúng là: A

Ta có 135 phút = \(\frac{9}{4}\) giờ

Đặt BM = x (km), (0 ≤ x ≤ 7).

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}AM = \sqrt {{x^2} + 25} \left( {km} \right)\\MC = 7-x \left( {km} \right)\end{array} \right..\)

Thời gian chèo đò từ A đến M là: \({t_{AM}} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4}\) (h).

Thời gian đi bộ từ M đến C là: \({t_{MC}} = \frac{{7-x}}{6}\) (h).

Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C là:

t_AM + t_MC = t (h).

Khi đó ta có phương trình:

\[\frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4} + \frac{{7-x}}{6} = \frac{9}{4} \]

\[ \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 25} + 2\left( {7-x} \right) = 27\]

\[ \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 25} = 13 + 2x\] (1)

Bình phương hai vế của phương trình, ta được:

9(x² + 25) = (13 + 2x)²

⇔ 9x² + 225 = 169 + 52x + 4x²

⇔ 5x² - 52x + 56 = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{26 - 6\sqrt {11} }}{5} \approx 1,22\\x = \frac{{26 + 6\sqrt {11} }}{5} \approx 9,18\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\]

Thay x = 1,22 vào phương trình (1) ta thấy thỏa mãn)

Vậy vị trí của điểm M cách B một khoảng 1,22 km.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác MOB có:

Áp dụng định lí Côsin, ta có:

MB² = OM² + OB² - 2.OM.OB.\(cos\widehat {BOM}\)

⇔ MB² = x² + 2² - 2.x.2.cos60°

\[ \Leftrightarrow MB = \sqrt {{x^2}-2x + 4} \] (km)

Ta lại có: \(\widehat {AOM} + \widehat {BOM} = 180^\circ \)

Do đó \(\widehat {AOM} = 180^\circ -\widehat {BOM} = 180^\circ -60^\circ = 120^\circ \).

Xét tam giác MOA, áp dụng định lí Côsin, ta có:

MA² = OM² + OA² - 2.OM.OA.\(cos\widehat {AOM}\)

⇔ MA² = x² + 1² - 2.x.1.cos120°

⇔ MA² = x² + 1 + x

\( \Leftrightarrow MA = \sqrt {{x^2} + x + 1} \) (km)

Để khoảng cách từ tàu đến B bằng \(\frac{4}{5}\) khoảng cách từ tàu đến A thì

\(\sqrt {{x^2}-2x + 4} = \frac{4}{5}\sqrt {{x^2} + x + 1} \)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

x² - 2x + 4 = \(\frac{{16}}{{25}}\)(x² + x + 1)

⇔ 25x² - 50x + 100 = 16x² + 16x + 16

⇔ 9x² - 66x + 84 = 0

\( \Leftrightarrow x = \frac{{11 \pm \sqrt {37} }}{3}\)

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy với \(x = \frac{{11-\sqrt {37} }}{3}\) hoặc \(x = \frac{{11 + \sqrt {37} }}{3}\) thì khoảng cách từ tàu đến B bằng \(\frac{4}{5}\) khoảng cách từ tàu đến A.

Đáp án đúng là: B

Trạm hải đăng ở vị trí A; bến Bính ở B và thôn Hoành ở C.

Giả sử bác Việt chèo thuyền cập bến ở vị trí M và ta đặt BM = x (km) (x > 0).

Ta có: BC = BM + MC, suy ra MC = BC - BM = 9,25 - x (km) hay quãng đường của anh Nam từ thôn Hoành đến điểm gặp nhau của 2 người là 9,25 - x (km). 

Vận tốc của anh Nam là 5 km/h nên thời gian di chuyển của anh Nam đến điểm hẹn gặp nhau là: \(\frac{{9,25-x}}{5}\) (giờ). 

Tam giác ABC vuông tại B, theo định lí Pythagore ta có: 

AM² = AB² + BM² = 4² + x² = x² + 16 

Suy ra \(AM = \sqrt {{x^2} + 16} \) (km) hay quãng đường di chuyển của bác Việt đến điểm hẹn là \(\sqrt {{x^2} + 16} \) (km). 

Vận tốc của bác Việt là 4 km/h nên thời gian di chuyển của bác Việt tới điểm hẹn gặp nhau là: \(\frac{{\sqrt {{x^2} + 16} }}{4}\) (giờ). 

Để hai người không phải chờ nhau thì thời gian chèo thuyền bằng thời gian kéo xe nên ta có phương trình: 

\(\frac{{\sqrt {{x^2} + 16} }}{4} = \frac{{9,25-x}}{5}\)

\( \Leftrightarrow 5\sqrt {{x^2} + 16} = 37-4x\) (1)

Bình phương hai vế phương trình trên ta được:

25(x² + 16) = 1 369 - 296x + 16x² 

⇔ 9x² + 296x - 969 = 0 

⇔ x = 3 hoặc x = \( - \frac{{323}}{9}\)

Thử lại ta thấy cả hai giá trị x = 3 và x = \( - \frac{{323}}{9}\) đều thỏa mãn phương trình (1). 

Mà điều kiện của x là x > 0 nên ta chọn x = 3. 

Vậy vị trí hai người hẹn gặp nhau cách bến Bính 3 km hay cách thôn Hoành 9,25 - 3 = 6,25 km.

Đáp án đúng là: B

Đổi 300 m = 0,3 km; 1 400 m = 1,4 km.

Đặt CH = x (km) (x > 0). Ta có: \(AC = \sqrt {0,{3^2} + {x^2}} \), CB = 1,4 - x.

Vì hai người gặp nhau cùng lúc tại C nên

\(\frac{{\sqrt {0,{3^2} + {x^2}} }}{3} = \frac{{1,4 - x}}{6}\)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt {0,09 + {x^2}} = 1,4-x\)

Bình phương hai vế phương trình trên ta được:

4(0,09 + x²) = (1,4 - x)² 

⇔ 4x² + 0,36 = 1,96 - 2,8x + x² 

⇔ 3x² + 2,8x - 1,6 = 0 

⇔ x = 0,4 hoặc x = \(-\frac{4}{3}\)

Vì x > 0 nên x = 0,4 (km) = 400 m.

Vậy khoảng cách CB = 1 400 - 400 = 1 000 (m).

Đáp án đúng là: C

Đặt độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x (m) (0 < x < 50).

Vì độ dài đường chéo hình chữ nhật bằng đường kính hình tròn nên độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật đó là \(\sqrt {2 500-{x^2}} \) (m).

Khi đó, tổng quãng đường đi xung quanh vườn hoa bằng chu vi hình chữ nhật nên ta có phương trình

\(2\left( {\sqrt {2 500-{x^2}} + x} \right) = 140\)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt {2 500-{x^2}} + 2x = 140\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {2 500-{x^2}} = 70-x\) (1)

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được:

2 500 - x² = (70 - x)²

⇔ 2 500 - x² = 4 900 - 140x + x²

⇔ 2x² - 140x + 2 400 = 0

⇔ x² - 70x + 1 200 = 0

⇔ x = 30 hoặc x = 40.

Nếu x = 30 (m) thì độ dài cạnh còn lại là 40 (m) và ngược lại.

Vậy diện tích vườn hoa hình chữ nhật là: 30.40 = 1 200 (m²).