Đề kiểm tra Phương trình quy về phương trình bậc hai lớp 10 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Nghiệm của phương trình \({x^2} + 5x + 6 = 0\)là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - 2\end{array} \right.\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right.\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = - 3\end{array} \right.\).
Bấm máy tính cầm tay ta được nghiệm của phương trình là: \(\left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = - 3\end{array} \right.\)
Một nghiệm của phương trình \[\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x - 3} \] là
\(2\).
\(1\).
\(11\).
\(3\).
Sử dụng máy tính bỏ túi. Tìm giá trị biểu thức \[\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} - \sqrt {{x^2} + 2x - 3} \] tại \[x = 2;x = 1\]; \[x = 11;x = 3\]. Ta thấy \[x = 1\] thoả mãn phương trình \[\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x - 3} \].
Bình phương cả hai vế của phương trình \[\sqrt {{x^2} + x + 2} = \sqrt {3x + 1} \] rồi biến đổi, thu gọn ta được phương trình nào sau đây?
\[{x^2} + x + 1 = 0\].
\[{x^2} - 2x + 1 = 0\].
\[{x^2} - 2x - 1 = 0\].
\[ - {x^2} + 2x + 1 = 0\].
\[\sqrt {{x^2} + x + 2} = \sqrt {3x + 1} \Leftrightarrow {x^2} + x + 2 = 3x + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0\].
Cho phương trình \[\sqrt {2{x^2} + x + 1} = - x - 1\]. Bình phương hai vế và thu gọn ta được phương trình là
\[{x^2} + 2x + 1 = 0\].
\[{x^2} - 2x + 2 = 0\].
\[{x^2} - x = 0\].
\[{x^2} - x - 2 = 0\].
Bình phương hai vế của phương trình ta được \[2{x^2} + x + 1 = {x^2} + 2x + 1 \Rightarrow {x^2} - x = 0\].
Sau khi thu gọn ta được \[{x^2} - x = 0\].
Cho phương trình \[\sqrt {2{x^2} - x + 3} = x + 1\]. Bình phương hai vế và thu gọn ta được phương trình là
\[{x^2} + 3x + 2 = 0\].
\[2{x^2} - 3x + 1 = 0\].
\[{x^2} - 3x + 2 = 0\].
\[{x^2} + 2x + 1 = 0\].
Bình phương hai vế của phương trình ta được \[2{x^2} - x + 3 = {x^2} + 2x + 1 \Rightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\]
Sau khi thu gọn ta được \[{x^2} - 3x + 2 = 0\].
Tính tổng các nghiệm của phương trình \[\sqrt {{x^2} + x + 11} = \sqrt { - 2{x^2} - 13x + 16} \].
\(\frac{{16}}{3}\).
\(\frac{{14}}{3}\).
\( - \frac{{14}}{3}\).
\( - \frac{{16}}{3}\).
Ta có \[\sqrt {{x^2} + x + 11} = \sqrt { - 2{x^2} - 13x + 16} \,\,\left( 1 \right)\].
Bình phương hai vế của phương trình \[\left( 1 \right)\] ta được \[{x^2} + x + 11 = - 2{x^2} - 13x + 16\,\,\left( 2 \right)\].
Ta có \[\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3{x^2} + 14x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 5\\x = \frac{1}{3}\end{array} \right..\]
Thay lần lượt \[x = - 5\] và \[x = \frac{1}{3}\] vào phương trình \[\left( 1 \right)\] ta thấy \[x = - 5\] và \[x = \frac{1}{3}\] đều thỏa mãn.
Vậy phương trình \[\left( 1 \right)\] có hai nghiệm là \[x = - 5\] và \[x = \frac{1}{3}\].
Nên tổng các nghiệm của phương trình \[\left( 1 \right)\] là \( - 5 + \frac{1}{3} = - \frac{{14}}{3}\).
Biết phương trình \(\sqrt {{x^2} - 9x + 15} = \sqrt {2{x^2} - 4x + 9} \) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\). Tính \(A = {x_1}.{x_2} + {x_1}\).
\(A = 5\).
\(A = 12\).
\(A = 0\).
\(A = - 12\).
Bình phương hai vế của phương trình, ta được
\({x^2} - 9x + 15 = 2{x^2} - 4x + 9 \Leftrightarrow - {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 6\\x = 1\end{array} \right.\)
Thay lần lượt \(x = - 6\) và \(x = 1\) vào phương trình đã cho, ta thấy \(x = - 6\) và \(x = 1\) đều thỏa mãn và \( - 6 < 1\).
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = - 6\\{x_2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow A = \left( { - 6} \right).1 + \left( { - 6} \right) = - 12\).
Phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 6x + 1} = x - 2\) có một nghiệm là
\(x = - 3\).
\(x = 1\).
\(x = - 1\).
\(x = 3\).
Do \(\sqrt {{{2.3}^2} - 6.3 + 1} = 3 - 2\) nên \(x = 3\) là một nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 6x + 1} = x - 2\)
Tìm số nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 3x + 1} = \sqrt {{x^2} + 4x + 3} \,\,\).
\(1\).
\(2\).
\(0\).
\(3\).
Ta có \(\sqrt {2{x^2} + 3x + 1} = \sqrt {{x^2} + 4x + 3} \,\,\left( 1 \right)\)
Bình phương hai vế của ta được \(2{x^2} + 3x + 1 = {x^2} + 4x + 3\,\left( 2 \right)\).
Ta có: \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\).
Do đó, phương trình có hai nghiệm là \(x = - 1\) và \(x = 2\).
Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình,ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.
Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x = - 1\) và \(x = 2\).
Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 8x + 1} = 2x + 1\) bằng
\(0\).
\( - 4\).
\(4\).
\( - 8\).
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(3{x^2} + 8x + 1 = {(2x + 1)^2} \Leftrightarrow 3{x^2} + 8x + 1 = 4{x^2} + 4x + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.\)
Thay \(x = 0\) vào phương trình ta được \(1 = 1\) là mệnh đề đúng nên \(x = 0\) là nghiệm của phương trình.
Thay \(x = 4\) vào phương trình ta được \(\sqrt {81} = 9\) là mệnh đề đúng nên \(x = 4\) là nghiệm của phương trình.
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là \(4\).
Tính \(A = {x_1} + 3{x_2}\)với \({x_1};{x_2}\)\(\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là các nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 5} = \sqrt { - 2{x^2} + 4x + 1} \).
\( - 3\).
\( - 5\).
\(3\).
\(5\).
Bình phương hai vế của phương trình, ta được
\({x^2} - 3x + 5 = - 2{x^2} + 4x + 1 \Leftrightarrow 3{x^2} - 7x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{4}{3}\\x = 1\end{array} \right.\)
Thay lần lượt \(x = 1\)và \(x = \frac{4}{3}\) vào phương trình đã cho, ta thấy \(x = 1\)và \(x = \frac{4}{3}\) đều thỏa mãn.
Suy ra nghiệm của phương trình đã cho là \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{4}{3}\\x = 1\end{array} \right.\).
Mà \(1 < \frac{4}{3} \Rightarrow {x_1} = 1;{x_2} = \frac{4}{3}\). Vậy \(A = {x_1} + 3{x_2} = 1 + 3.\frac{4}{3} = 5\).
Tìm số nghiệm thỏa mãn điều kiện của phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 5x + 6} = \sqrt {2{x^2} + 10x + 12} \)
\(0\).
\(1\).
\(2\).
\(3\).
Bình phương cả hai vế ta được
\(3{x^2} + 5x + 6 = 2{x^2} + 10x + 12\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 6 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = - 1\end{array} \right.\)
Thay lần lượt \(x = 6\) và \(x = - 1\) vào \(3{x^2} + 5x + 6 \ge 0\), ta thầy cả 2 giá trị đều thỏa mãn.
Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x = 6\) và \(x = - 1\).
Cho phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4x - 5} = \sqrt {2{x^2} + 3x + 1} \)(*). Khi đó:
Bình phương hai vế của phương trình (*), ta được \({x^2} - 7x + 6 = 0\)
\(x = - 1\) là nghiệm của phương trình (*)
Tổng các nghiệm của phương trình (*) bằng \[ - 1\]
Phương trình (*) có 1 nghiệm phân biệt
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
\(\sqrt {{x^2} - 4x - 5} - \sqrt {2{x^2} + 3x + 1} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4x - 5} = \sqrt {2{x^2} + 3x + 1} .\)
Bình phương hai vế của phương trình, ta được: \({x^2} - 4x - 5 = 2{x^2} + 3x + 1 \Rightarrow {x^2} + 7x + 6 = 0 \Rightarrow x = - 1\) hoặc \(x = - 6\).
Thay lần lượt \(x = - 1;x = - 6\) vào phương trình đã cho, ta thấy hai giá trị này đều thoả mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \{ - 1; - 6\} \).
Cho các phương trình sau: \(\sqrt {3 - 2x} = x\,\left( 1 \right)\) và \(\sqrt {7x + 11} + x + 1 = 0\,\left( 2 \right)\). Khi đó:
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt
Tổng các nghiệm của phương trình (1) bằng \[1\]
Nghiệm của phương trình (2) nhỏ hơn \(5\)
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
(1) Ta có: \(\sqrt {3 - 2x} = x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{3 - 2x = {x^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{{x^2} + 2x - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{x = 1 \vee x = - 3}\end{array} \Leftrightarrow x = 1} \right.} \right.} \right.\). Vậy tập nghiệm phương trình là: \(S = \{ 1\} \).
(2) Ta có: \(\sqrt {7x + 11} + x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {7x + 11} = - x - 1\)
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} - x - 1 \ge 0\\7x + 11 = {x^2} + 2x + 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \le - 1\\{x^2} - 5x - 10 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \le - 1\\x = \frac{{5 \pm \sqrt {65} }}{2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{{5 - \sqrt {65} }}{3}.} \right.} \right.} \right.\]
Vậy tập nghiệm phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{{5 - \sqrt {65} }}{3}} \right\}\).
Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau:
Phương trình \(\sqrt { - {x^2} + 4x - 3} = 2x - 5\) có 2 nghiệm phân biệt
Phương trình \(\sqrt {{x^2} + 3x + 4} - 3x = 1\) có 2 nghiệm phân biệt
Phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x - 8} = \sqrt 3 (x - 4)\) có 2 nghiệm phân biệt
Phương trình \(\sqrt {11{x^2} - 64x + 97} = 3x - 11\) có 2 nghiệm phân biệt
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
a) \(x = \frac{{14}}{5}\).
b) \(x = \frac{{ - 3 + \sqrt {105} }}{{16}}\).
c) \(x = 4\) hoặc \(x = 7\).
d) Phương trình vô nghiệm.
Cho phương trình \(4{x^2} + \sqrt {2x + 3} = 8x + 1\). Khi đó:
Điều kiện: \(x \ge \frac{3}{2}\)
Phương trình tương đương với phương trình \({\left( {2x - \frac{3}{2}} \right)^2} = {\left( {\sqrt {2x + 3} - \frac{1}{2}} \right)^2}\)
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt
Phương trình có một nghiệm dương lớn hơn \(\frac{3}{2}\)
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Điều kiện: \(2x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \frac{3}{2}\).
\({\rm{ pt }} \Leftrightarrow 4{x^2} - 6x + \frac{9}{4} = {(\sqrt {2x + 3} )^2} - 2\sqrt {2x + 3} + \frac{1}{4} \Leftrightarrow {\left( {2x - \frac{3}{2}} \right)^2} = {\left( {\sqrt {2x + 3} - \frac{1}{2}} \right)^2}\)\(\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}2x - \frac{3}{2} = \sqrt {2x + 3} - \frac{1}{2}\\2x - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} - \sqrt {2x + 3} \end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\sqrt {2x + 3} = 2x - 1\\\sqrt {2x + 3} = 1 - 2x\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = \frac{{5 - \sqrt {21} }}{4}\\x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{4}\end{array}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\)
Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{5 - \sqrt {21} }}{4}\) hoặc \(x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{4}\).
Tìm tập nghiệm phương trình sau: \(\sqrt {2{x^2} - |x| + 3} = - x + 5\).
Trường hợp 1: Với \(x \ge 0\), phương trình đã cho trở thành
\(\sqrt {2{x^2} - x + 3} = - x + 5\). (1)
Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:
\(2{x^2} - x + 3 = {x^2} - 10x + 25 \Rightarrow {x^2} + 9x - 22 = 0 \Rightarrow x = 2\) hoặc \(x = - 11\).
Mà \(x \ge 0\) nên ta nhận \(x = 2\).
Thay \(x = 2\) vào phương trình đã cho, ta thấy giá trị này thoả mãn.
Trường hợp 2: Với \(x < 0\), phương trình trở thành
\(\sqrt {2{x^2} + x + 3} = - x + 5.(2)\)
Bình phương hai vế của phương trình (2), ta được:
\(2{x^2} + x + 3 = {x^2} - 10x + 25 \Rightarrow {x^2} + 11x - 22 = 0\)
\( \Rightarrow x = \frac{{ - 11 + \sqrt {209} }}{2}\) hoặc \(x = \frac{{ - 11 - \sqrt {209} }}{2}.\)
Mà \(x < 0\) nên ta nhận \(x = \frac{{ - 11 - \sqrt {209} }}{2}\).
Thay \(x = \frac{{ - 11 - \sqrt {209} }}{2}\) vào phương trình đã cho, ta thấy giá trị này thoả mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {2;\frac{{ - 11 - \sqrt {209} }}{2}} \right\}\).
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 2x - 2m} = x - 2\) có nghiệm.
\(\sqrt {2{x^2} - 2x - 2m} = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{\rm{ }}x - 2 \ge 0\\2{x^2} - 2x - 2m = {(x - 2)^2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} + 2x - 4 = 2m(*)\end{array}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}\)
Xét hàm số \(f(x) = {x^2} + 2x - 4,(x \ge 2)\)
Phương trình đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow (*)\) có nghiệm \(x \ge 2 \Leftrightarrow 2m \ge 4 \Leftrightarrow m \ge 2\).
Cho phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 2mx - 4} = x - 1\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) sao cho phương trình đã cho có nghiệm.
\(\sqrt {2{x^2} - 2mx - 4} = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 1\\2{x^2} - 2mx - 4 = {x^2} - 2x + 1\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 2(m - 1)x - 5 = 0(*)\end{array}\end{array}} \right.\)
Do pt \((*)\) có \(ac = - 5 < 0\) nên pt \((*)\) luôn có 2 nghiệm trái dấu.
Nên để pt đã cho có nghiệm thì pt \((*)\) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < 1 \le {x_2} \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \le 0\)
\( \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \le 0 \Leftrightarrow - 5 - 2(m - 1) + 1 \le 0 \Leftrightarrow m \ge - 1.{\rm{ }}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi \(m \in [ - 1; + \infty )\).
Tìm \(m\) để phương trình \(\sqrt {{x^2} + mx + 2} = 2x + 1\) có hai nghiệm phân biệt.
. \(Pt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \frac{1}{2}\\3{x^2} + (4 - m)x - 1 = 0\quad \left( * \right)\end{array} \right.\).
Phương trình đã cho có hai nghiệm \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng \( - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \) đồ thị hàm số \(y = 3{x^2} + (4 - m)x - 1\) trên \(\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
Xét hàm số \(y = 3{x^2} + (4 - m)x - 1\) trên \(\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\). Ta có \( - \frac{b}{{2a}} = \frac{{m - 4}}{6}\)
+ TH1: Nếu \(\frac{{m - 4}}{6} \le - \frac{1}{2} \Leftrightarrow m \le 1\) thì hàm số đồng biến trên \(\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\) nên \(m \le 1\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ TH2: Nếu \(\frac{{m - 4}}{6} > - \frac{1}{2} \Leftrightarrow m > 1\):
Ta có bảng biến thiên
Suy ra đồ thị hàm số \(y = 3{x^2} + \left( {4 - m} \right)x - 1\) trên \(\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow y\left( { - \frac{1}{2}} \right) \ge 0 > y\left( {\frac{{m - 4}}{6}} \right) \Leftrightarrow \frac{{2m - 9}}{4} \ge 0 > \frac{1}{{12}}\left( { - {m^2} + 8m - 28} \right)\) (1)
Vì \( - {m^2} + 8m - 28 = - {(m - 4)^2} - 12 < 0,\forall m\) nên (1) \( \Leftrightarrow 2m - 9 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{9}{2}\) (thỏa mãn \(m > 1\) )
Vậy \(m \ge \frac{9}{2}\) là giá trị cần tìm.
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình: \(\sqrt {2{x^2} + mx + 5} - x = 3\) có đúng một nghiệm.
Ta có \(\sqrt {2{x^2} + mx + 5} - x = 3\) (1) \( \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + mx + 5} = x + 3\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge - 3}\\{2{x^2} + mx + 5 = {{(x + 3)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge - 3}\\{{x^2} + (m - 6)x - 4 = 0}\end{array}} \right.} \right.\)
Vì phương trình (2) có \(a.c = - 4 < 0\) nên luôn có hai nghiệm \({x_1} < 0 < {x_2}\).
Vì \({x_2} \ge - 3\) nên \({x_2}\) là một nghiệm của (1). Do đó để (1) có nghiệm duy nhất thì \({x_1} < - 3 \Leftrightarrow \frac{{ - m + 6 - \sqrt \Delta }}{2} < - 3 \Leftrightarrow \sqrt \Delta > 12 - m\). \( \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - 12m + 52} > 12 - m \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{12 - m < 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{12 - m \ge 0}\\{{m^2} - 12m + 52 > {{(12 - m)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 12}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 12}\\{m > \frac{{23}}{3}}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow m > \frac{{23}}{3}.} \right.} \right.}\end{array}} \right.\)
Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí \(A\) cách bờ biển một khoảng cách. \(AB = 6\;km\). Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí \(C\) cách \(B\) một khoảng là \(15\;km\).
Để nhận lương thực và các nhu yếu phẩm mỗi tháng người canh hải đăng phải đi xuống máy từ \(A\) đến bến tàu \(M\) trên bờ biển với vận tốc \(10\;km/h\) rồi đi xe gắn máy đến \(C\) với vận tốc \(30\;km/h\) (xem hình vẽ).
Tính tổng quảng đường người đó phải đi biết rằng thời gian đi từ \(A\) đến \(C\) là 1h14 phút.
Ta có \(1\;h14\) phút \( = \frac{{37}}{{30}}(\;h)\). Gọi \(AM = x(\;km)(x > 6)\) Suy ra thời gian đi từ \(A\) đến \(M\) là \(\frac{x}{{10}}(\;h)\). Khi đó \(BM = \sqrt {{x^2} - 36} \) và \(CM = 15 - \sqrt {{x^2} - 36} \).
Thời gian đi từ \(M\) đến \(C\) là \(\frac{{15 - \sqrt {{x^2} - 36} }}{{30}}\).
Theo giả thiết ta có phương trình: \(\frac{x}{{10}} + \frac{{15 - \sqrt {{x^2} - 36} }}{{30}} = \frac{{37}}{{30}}\).
Giải phương trình ta được \(x = 10(\;km)\)
Do đó tổng quảng đường phải đi là \(AM + MC = 10 + \left( {15 - \sqrt {{{10}^2} - 36} } \right) = 17(\;km)\)
