Đề kiểm tra Phương trình quy về phương trình bậc hai lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(3{x^2} + 8x + 1 = {(2x + 1)^2} \Leftrightarrow 3{x^2} + 8x + 1 = 4{x^2} + 4x + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.\)

Thay \(x = 0\) vào phương trình ta được \(1 = 1\) là mệnh đề đúng nên \(x = 0\) là nghiệm của phương trình.

Thay \(x = 4\) vào phương trình ta được \(\sqrt {81}  = 9\) là mệnh đề đúng nên \(x = 4\) là nghiệm của phương trình.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là \(4\).

Bình phương cả hai vế ta được

\(3{x^2} + 5x + 6 = 2{x^2} + 10x + 12\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Thay lần lượt \(x = 6\) và \(x =  - 1\) vào \(3{x^2} + 5x + 6 \ge 0\), ta thầy cả 2 giá trị đều thỏa mãn.

Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x = 6\) và \(x =  - 1\).

\(\sqrt {{x^2} - 4x - 5}  - \sqrt {2{x^2} + 3x + 1}  = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4x - 5}  = \sqrt {2{x^2} + 3x + 1} .\)

Bình phương hai vế của phương trình, ta được: \({x^2} - 4x - 5 = 2{x^2} + 3x + 1 \Rightarrow {x^2} + 7x + 6 = 0 \Rightarrow x =  - 1\) hoặc \(x =  - 6\).

Thay lần lượt \(x =  - 1;x =  - 6\) vào phương trình đã cho, ta thấy hai giá trị này đều thoả mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \{  - 1; - 6\} \).

(1) Ta có: \(\sqrt {3 - 2x}  = x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{3 - 2x = {x^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{{x^2} + 2x - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{x = 1 \vee x =  - 3}\end{array} \Leftrightarrow x = 1} \right.} \right.} \right.\). Vậy tập nghiệm phương trình là: \(S = \{ 1\} \).

(2) Ta có: \(\sqrt {7x + 11}  + x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {7x + 11}  =  - x - 1\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} - x - 1 \ge 0\\7x + 11 = {x^2} + 2x + 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \le  - 1\\{x^2} - 5x - 10 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \le  - 1\\x = \frac{{5 \pm \sqrt {65} }}{2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{{5 - \sqrt {65} }}{3}.} \right.} \right.} \right.\]

Vậy tập nghiệm phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{{5 - \sqrt {65} }}{3}} \right\}\).

a) \(x = \frac{{14}}{5}\).

b) \(x = \frac{{ - 3 + \sqrt {105} }}{{16}}\).

c) \(x = 4\) hoặc \(x = 7\).

d) Phương trình vô nghiệm.

Điều kiện: \(2x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - \frac{3}{2}\).

\({\rm{ pt }} \Leftrightarrow 4{x^2} - 6x + \frac{9}{4} = {(\sqrt {2x + 3} )^2} - 2\sqrt {2x + 3}  + \frac{1}{4} \Leftrightarrow {\left( {2x - \frac{3}{2}} \right)^2} = {\left( {\sqrt {2x + 3}  - \frac{1}{2}} \right)^2}\)\(\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}2x - \frac{3}{2} = \sqrt {2x + 3}  - \frac{1}{2}\\2x - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} - \sqrt {2x + 3} \end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\sqrt {2x + 3}  = 2x - 1\\\sqrt {2x + 3}  = 1 - 2x\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = \frac{{5 - \sqrt {21} }}{4}\\x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{4}\end{array}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\)

Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{5 - \sqrt {21} }}{4}\) hoặc \(x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{4}\).

Trường hợp 1: Với \(x \ge 0\), phương trình đã cho trở thành

\(\sqrt {2{x^2} - x + 3}  =  - x + 5\). (1)

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

\(2{x^2} - x + 3 = {x^2} - 10x + 25 \Rightarrow {x^2} + 9x - 22 = 0 \Rightarrow x = 2\) hoặc \(x =  - 11\).

Mà \(x \ge 0\) nên ta nhận \(x = 2\).

Thay \(x = 2\) vào phương trình đã cho, ta thấy giá trị này thoả mãn.

Trường hợp 2: Với \(x < 0\), phương trình trở thành

\(\sqrt {2{x^2} + x + 3}  =  - x + 5.(2)\)

Bình phương hai vế của phương trình (2), ta được:

\(2{x^2} + x + 3 = {x^2} - 10x + 25 \Rightarrow {x^2} + 11x - 22 = 0\)

\( \Rightarrow x = \frac{{ - 11 + \sqrt {209} }}{2}\) hoặc \(x = \frac{{ - 11 - \sqrt {209} }}{2}.\)

Mà \(x < 0\) nên ta nhận \(x = \frac{{ - 11 - \sqrt {209} }}{2}\).

Thay \(x = \frac{{ - 11 - \sqrt {209} }}{2}\) vào phương trình đã cho, ta thấy giá trị này thoả mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {2;\frac{{ - 11 - \sqrt {209} }}{2}} \right\}\).

\(\sqrt {2{x^2} - 2x - 2m}  = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{\rm{ }}x - 2 \ge 0\\2{x^2} - 2x - 2m = {(x - 2)^2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} + 2x - 4 = 2m(*)\end{array}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}\)

Xét hàm số \(f(x) = {x^2} + 2x - 4,(x \ge 2)\)

Phương trình đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow (*)\) có nghiệm \(x \ge 2 \Leftrightarrow 2m \ge 4 \Leftrightarrow m \ge 2\).

\(\sqrt {2{x^2} - 2mx - 4}  = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 1\\2{x^2} - 2mx - 4 = {x^2} - 2x + 1\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 2(m - 1)x - 5 = 0(*)\end{array}\end{array}} \right.\)

Do pt \((*)\) có \(ac =  - 5 < 0\) nên pt \((*)\) luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Nên để pt đã cho có nghiệm thì pt \((*)\) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < 1 \le {x_2} \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \le 0\)

\( \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \le 0 \Leftrightarrow  - 5 - 2(m - 1) + 1 \le 0 \Leftrightarrow m \ge  - 1.{\rm{ }}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi \(m \in [ - 1; + \infty )\).

. \(Pt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \frac{1}{2}\\3{x^2} + (4 - m)x - 1 = 0\quad \left( * \right)\end{array} \right.\).

Phương trình đã cho có hai nghiệm \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng \( - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \) đồ thị hàm số \(y = 3{x^2} + (4 - m)x - 1\) trên \(\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Xét hàm số \(y = 3{x^2} + (4 - m)x - 1\) trên \(\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\). Ta có \( - \frac{b}{{2a}} = \frac{{m - 4}}{6}\)

+ TH1: Nếu \(\frac{{m - 4}}{6} \le  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow m \le 1\) thì hàm số đồng biến trên \(\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\) nên \(m \le 1\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ TH2: Nếu \(\frac{{m - 4}}{6} >  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow m > 1\):

Ta có bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số \(y = 3{x^2} + \left( {4 - m} \right)x - 1\) trên \(\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow y\left( { - \frac{1}{2}} \right) \ge 0 > y\left( {\frac{{m - 4}}{6}} \right) \Leftrightarrow \frac{{2m - 9}}{4} \ge 0 > \frac{1}{{12}}\left( { - {m^2} + 8m - 28} \right)\) (1)

Vì \( - {m^2} + 8m - 28 =  - {(m - 4)^2} - 12 < 0,\forall m\) nên (1) \( \Leftrightarrow 2m - 9 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{9}{2}\) (thỏa mãn \(m > 1\) )

Vậy \(m \ge \frac{9}{2}\) là giá trị cần tìm.

Ta có \(\sqrt {2{x^2} + mx + 5}  - x = 3\) (1) \( \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + mx + 5}  = x + 3\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge  - 3}\\{2{x^2} + mx + 5 = {{(x + 3)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge  - 3}\\{{x^2} + (m - 6)x - 4 = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Vì phương trình (2) có \(a.c =  - 4 < 0\) nên luôn có hai nghiệm \({x_1} < 0 < {x_2}\).

Vì \({x_2} \ge  - 3\) nên \({x_2}\) là một nghiệm của (1). Do đó để (1) có nghiệm duy nhất thì \({x_1} <  - 3 \Leftrightarrow \frac{{ - m + 6 - \sqrt \Delta  }}{2} <  - 3 \Leftrightarrow \sqrt \Delta   > 12 - m\). \( \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - 12m + 52}  > 12 - m \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{12 - m < 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{12 - m \ge 0}\\{{m^2} - 12m + 52 > {{(12 - m)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 12}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 12}\\{m > \frac{{23}}{3}}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow m > \frac{{23}}{3}.} \right.} \right.}\end{array}} \right.\)

Ta có \(1\;h14\) phút \( = \frac{{37}}{{30}}(\;h)\). Gọi \(AM = x(\;km)(x > 6)\) Suy ra thời gian đi từ \(A\) đến \(M\) là \(\frac{x}{{10}}(\;h)\). Khi đó \(BM = \sqrt {{x^2} - 36} \) và \(CM = 15 - \sqrt {{x^2} - 36} \).

Thời gian đi từ \(M\) đến \(C\) là \(\frac{{15 - \sqrt {{x^2} - 36} }}{{30}}\).

Theo giả thiết ta có phương trình: \(\frac{x}{{10}} + \frac{{15 - \sqrt {{x^2} - 36} }}{{30}} = \frac{{37}}{{30}}\).

Giải phương trình ta được \(x = 10(\;km)\)

Do đó tổng quảng đường phải đi là \(AM + MC = 10 + \left( {15 - \sqrt {{{10}^2} - 36} } \right) = 17(\;km)\)