Bài tập Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai lớp 10 (có lời giải)
10 câu hỏi
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {2x-1} = \sqrt {3-x} \) là
\(x = \frac{3}{4}\);
\[x = \frac{2}{3}\];
\[x = \frac{4}{3}\];
\[x = \frac{3}{2}\].
Đáp án đúng là: C
Thay các nghiệm x vào phương trình thấy \[x = \frac{4}{3}\] là nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {2x-3} = x-3\) là
T = [2; 6];
T = ∅;
T = {6};
T = {2; 6}.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\sqrt {2x-3} = x-3\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
2x - 3 = x2 - 6x + 9
⇔ x2 - 8x + 12 = 0
⇔ x = 2 hoặc x = 6.
Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy x = 6 thỏa mãn.
Vậy phương trình có tập nghiệm T = {6}.
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2}-3x + 2} = \sqrt {x + 2} \) là:
3;
4;
-1;
-3.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\sqrt {{x^2}-3x + 2} = \sqrt {x + 2} \)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
x2 - 3x + 2 = x + 2
⇔ x2 - 4x = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 4.
Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy x = 0 và x = 4 đều thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình S = {0; 4} nên tổng các nghiệm là 4.
Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {3 - x} = \sqrt {x + 2} \) là:
S = ∅;
\(S = \left\{ {-2; \frac{1}{2}} \right\}\);
\(S = \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\);
\(S = \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\sqrt {3 - x} = \sqrt {x + 2} \)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
3 - x = x + 2
⇔ 2x = 1
⇔ x = \(\frac{1}{2}\)
Thay giá trị trên của x vào phương trình đã cho, ta thấy x = \(\frac{1}{2}\) thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = \(\left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\).
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 4x-1} = x-3\) là:
Vô số;
0;
1;
2.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\sqrt {{x^2} + 4x-1} = x-3\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
x2 + 4x - 1 = x2 - 6x + 9
⇔ 10x = 10
⇔ x = 1
Thay giá trị trên của x vào phương trình đã cho, ta thấy x = 1 không thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2}-7x + 10} = x-4\) thuộc tập nào dưới đây?
(4; 5];
[5; 6);
(5; 6);
[5; 6].
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\sqrt {{x^2}-7x + 10} = x-4\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
x2 - 7x + 10 = x2 - 8x + 16
⇔ x = 6.
Thay giá trị trên của x vào phương trình đã cho, ta thấy x = 6 thỏa mãn.
Mà x = 6 ∈ [5; 6]. Vậy ta chọn phương án D.
Số nghiệm của phương trình \({x^2}-3x + 86-19\sqrt {{x^2}-3x + 16} = 0\) là:
4;
1;
3;
2.
Đáp án đúng là: A
Phương trình \({x^2}-3x + 86-19\sqrt {{x^2}-3x + 16} = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2}-3x + 16-19\sqrt {{x^2}-3x + 16} + 70 = 0\) (*)
Đặt \(t = \sqrt {{x^2}-3x + 16} \), t ≥ 0. Khi đó (*) trở thành
t2 - 19t + 70 = 0
⇔ t = 14 (thỏa mãn) hoặc t = 5 (thỏa mãn)
Với t = 14 ta có \(\sqrt {{x^2}-3x + 16} = 14\)
⇔ x2 - 3x - 180 = 0
⇔ x = 15 hoặc x = -12.
Với t = 5 ta có \(\sqrt {{x^2}-3x + 16} = 5\)
⇔ x2 - 3x - 9 = 0
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 + 3\sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{3-3\sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Giá trị của tham số m để phương trình \[\left( {x-1} \right)\sqrt {x-m} = 0\] có hai nghiệm phân biệt là
m ∈ (-∞; 1);
m ∈ (1; +∞);
m ∈ [1; +∞);
m ∈ (-∞; 1].
Đáp án đúng là: A
Điều kiện: x - m ≥ 0 ⇔ x ≥ m
Phương trình tương đương x = 1 hoặc x = m.
Yêu cầu bài toán ⇔ m < 1.
Vậy m ∈ (-∞; 1).
Giá trị của tham số m để phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 2x - 2m} = x - 2\) có nghiệm là
m ≤ 1;
m ∈ (1; +∞);
m > 2;
m ≥ 2.
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\sqrt {2{x^2} - 2x - 2m} = x - 2\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\2{x^2} - 2x - 2m = {\left( {x - 2} \right)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} + 2x - 4 = 2m \left( * \right)\end{array} \right.\)
Đặt f(x) = x2 + 2x - 4 , (x ≥ 2)
Xét hàm số f(x) trên ℝ, f(x) có a = 1 > 0 nên nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và đồng biến trên khoảng (-1; +∞).
Ta có BBT của f(x) trên khoảng (2; +∞) như sau:
Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ (*) có nghiệm x ≥ 2 ⇔ 2m ≥ 4 ⇔ m ≥ 2.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \({x^2} - 4\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {m - 1} \right) = 0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0; \sqrt {15} } \right)\)?
1;
4;
3;
0.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[{x^2}-4\sqrt {{x^2} + 1} -\left( {m-1} \right) = 0\] \( \Leftrightarrow {x^2} + 1-4\sqrt {{x^2} + 1} -m = 0\).
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \)
Với x ∈ \(\left( {0; \sqrt {15} } \right)\) thì t ∈ (1; 4)
Phương trình trở thành: t2 - 4t - m = 0 ⇔ m = t2 - 4t (*)
Đặt f(t) = t2 - 4t với t ∈ (1; 4).
Xét hàm số f(t) trên ℝ, f(t) có a = 1 > 0 nên nghịch biến trên khoảng (-∞; 2) và đồng biến trên khoảng (2; +∞).
Ta có BBT:
Dựa vào BBT, suy ra phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0; \sqrt {15} } \right)\)
⇔ Phương trình (*) có nghiệm thuộc khoảng t ∈ (1; 4) ⇔ -4 ≤ m ≤ 0
Vậy các giá trị nguyên m thỏa là m ∈ {-4; -3; -2; -1}.
