Đề kiểm tra Phương trình quy về phương trình bậc hai lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Bấm máy tính cầm ta được nghiệm của phương trình là: \(x = 5\)

Sử dụng máy tính bỏ túi. Tìm giá trị biểu thức \[\sqrt {3 + 2x - {x^2}}  - \sqrt {{x^2} - 4x + 3} \] tại \[x = 2;x = 3\]; \[x = 4;x = 6\]. Ta thấy \[x = 3\] thoả mãn phương trình \[\sqrt {3 + 2x - {x^2}}  = \sqrt {{x^2} - 4x + 3} \].

\[\sqrt {{x^2} + 3x + 2}  = \sqrt {3{x^2} + 1}  \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 3{x^2} + 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 1 = 0\].

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\) thỏa mãn \({x_1}.{x_2} =  - 8\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{x_1}.{x_2} =  - 8\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 6 > 0\\m - 5 =  - 8\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 6\\m =  - 3\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow m =  - 3\].

Khi đó phương trình có dạng \[{x^2} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 2\end{array} \right.\].

Vậy phương trình có 1 nghiệm nguyên âm.

Bình phương hai vế ta được

\[\begin{array}{l}4{x^2} - 6x - 6 = {x^2} - 6\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\end{array}\]

Thay các giá trị tìm được vào phương trình trên thì thấy chỉ có nghiệm \(x = 2\) thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 2 \right\}\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:\(2{x^2} + 3x - 1 = {\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x - 1 = {x^2} + 2x + 1 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Thay \(x = 1\) vào phương trình ta được \(2 = 2\) là mệnh đề đúng nên \(x = 1\) là nghiệm của phương trình.

Thay \(x =  - 2\) vào phương trình ta được \(\sqrt 1  =  - 5\) là mệnh đề sai nên \(x =  - 2\) không là nghiệm của phương trình.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 1.

Bình phương hai vế của phương trình ta được:\(2{x^2} - x + 1 = {\left( {x + 3} \right)^2} \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 1 = {x^2} + 6x + 9 \Leftrightarrow {x^2} - 7x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 8\end{array} \right.\)

Thay \(x =  - 1\) vào phương trình ta được \(2 = 2\) là mệnh đề đúng nên \(x =  - 1\) là nghiệm của phương trình.

Thay \(x = 8\) vào phương trình ta được \(\sqrt {121}  = 11\) là mệnh đề đúng nên \(x = 8\) là nghiệm của phương trình.

Vậy tích các nghiệm của phương trình là \( - 8\).

Bình phương hai vế phương trình ta được

\(3{x^2} + 7x - 2 = {x^2} + 2x + 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x =  - 3\end{array} \right.\). Thay lần lượt hai giá trị của \(x\) vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ \(x = \frac{1}{2}\) thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình đã cho có \(1\) nghiệm.

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 17}  = x + 3\) ta được

\(2{x^2} + 17 = {x^2} + 6x + 9\)

Sau khi thu gọn ta được \({x^2} - 6x + 8 = 0\).

Bình phương hai vế của phương trình, ta được

\( - {x^2} + 28 = {x^2} - 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 4\\x = 4\end{array} \right.\)

Thay lần lượt \(x =  - 4\) và \(x = 4\) vào phương trình đã cho, ta thấy \(x =  - 4\) và \(x = 4\) đều thỏa mãn; Vì \(4 > 0\)

Suy ra nghiệm của phương trình đã cho là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 4\\{x_2} =  - 4\end{array} \right.\).

Vậy \(S = 2{x_1} + {x_2} = 2.4 + \left( { - 4} \right) = 4\).

Ta có \( - 6 + \sqrt {25{x^2} - 10x + 1}  = x \Leftrightarrow \sqrt {25{x^2} - 10x + 1}  = x + 6\)

Bình phương hai vế phương trình ta được

\(25{x^2} - 10x + 1 = {x^2} + 12x + 36 \Leftrightarrow 24{x^2} - 22x - 35 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{7}{4}\\x = \frac{{ - 5}}{6}\end{array} \right.\). Thay lần lượt hai giá trị của \(x\)vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình.

Vậy tổng hai nghiệm là \(\frac{7}{4} + \frac{{ - 5}}{6} = \frac{{11}}{{12}}\).

Ta có \(\sqrt { - {x^2} + 13x - 2m - 12}  = \sqrt { - 2{x^2} + 10x - 8} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2{x^2} + 10x - 8 \ge 0\\{x^2} + 3x - 4 = 2m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 4\\{x^2} + 3x - 4 = 2m\,\,(1)\end{array} \right.\)

Để phương trình đã cho có nghiệm thì phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn \[\left[ {1;4} \right]\]

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 3x - 4\) và đường thẳng \(y = 2m\).

Xét hàm số \(y = {x^2} + 3x - 4\) có đồ thị như hình vẽ

Dựa vào đồ thị hàm số, để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn \[\left[ {1;4} \right]\] thì \[m \in \left[ {0;12} \right]\]

a) Ta có: \({x^2} + 2 \ge 0\) đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Bình phương hai vế ta được \(5{x^2} - 8x + 2 = {x^2} + 2 \Leftrightarrow 4{x^2} - 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array}\end{array}} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{ 0;2\} \).

Điều kiện: \(2x + 7 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - \frac{7}{2}\).

\((x - 2)\sqrt {2x + 7}  = {x^2} - 4 \Leftrightarrow (x - 2)\sqrt {2x + 7}  = (x - 2)(x + 2)\)

\( \Leftrightarrow (x - 2)[\sqrt {2x + 7}  - (x + 2)] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2 = 0}\\{\sqrt {2x + 7}  = x + 2}\end{array}} \right.\).

+) \(x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) (thỏa mãn).

+) \(\sqrt {2x + 7}  = x + 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2 \ge 0}\\{2x + 7 = {{(x + 2)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge  - 2}\\{{x^2} + 2x - 3 = 0}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy phương trình (3) có hai nghiệm \(x = 2\) và \(x = 1\).

a) \(x = 8\).

b) \(x = 3\).

c) \(x =  - \frac{1}{9}\) hoặc \(x = 3\).

d) \(x = 2\) hoặc \(x = 4\). (HD: pt \( \Leftrightarrow \sqrt {3x - 3}  = \sqrt {2x - 4}  + \sqrt {5 - x} \))

Điều kiện: \(x \ge  - 1.pt \Leftrightarrow 2{(x - 2)^2} + 2(x + 1) - 5(x - 2)\sqrt {x + 1}  = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {2{{(x - 2)}^2} - (x - 2)\sqrt {x + 1} } \right] + \left[ {2{{(\sqrt {x + 1} )}^2} - 4(x - 2)\sqrt {x + 1} } \right] = 0\\ \Leftrightarrow (x - 2)[2(x - 2) - \sqrt {x + 1} ] - 2\sqrt {x + 1} [2(x - 2) - \sqrt {x + 1} ] = 0\\ \Leftrightarrow [2(x - 2) - \sqrt {x + 1} ][(x - 2) - 2\sqrt {x + 1} ] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}2(x - 2) - \sqrt {x + 1}  = 0\\2\sqrt {x + 1}  - (x - 2) = 0\end{array}\end{array}} \right.\end{array}\)

\((1) \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  = 2(x - 2) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 2}\\{4{x^2} - 17x + 15 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 2}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{x = \frac{5}{4}}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow x = 3} \right.} \right.\).

\((2) \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 2}\\{{x^2} - 8x = 0}\end{array} \Leftrightarrow x = 8} \right.\).

So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: \(x = 3\) hoặc \(x = 8\).

Đặt \(t = \sqrt[3]{{3x - 2}} \Rightarrow {t^3} = 3x - 2 \Rightarrow \frac{{{t^3} + 2}}{3} = x\).

Phương trình trở thành: \(2t + 3\sqrt {6 - 5 \cdot \frac{{{t^3} + 2}}{3}}  - 8 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\sqrt {\frac{{8 - 5{t^3}}}{3}}  = 8 - 2t \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}8 - 2t \ge 0\\9.\frac{{8 - 5{t^3}}}{3} = 64 - 32t + 4{t^2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}t \le 4\\24 - 15{t^3} = 64 - 32t + 4{t^2}\end{array}\end{array}} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}t \le 4\\15{t^3} + 4{t^2} - 32t + 40 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}t \le 4\\15{t^3} + 4{t^2} - 32t + 40 = 0\end{array}\end{array}} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}t \le 4\\(t + 2)(15{t^2} - 26t + 20) = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}t \le 4\\t =  - 2\end{array}\end{array} \Leftrightarrow t =  - 2.} \right.} \right.\end{array}\)

Với \(t =  - 2\) thì \(x = \frac{{{{( - 2)}^3} + 2}}{3} =  - 2\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \{  - 2\} \).

\(\sqrt {{x^2} + 2x - m}  = 2x - 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 1 \ge 0}\\{{x^2} + 2x - m = {{(2x - 1)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge \frac{1}{2}}\\{3{x^2} - 6x + 1 =  - m(*)}\end{array}} \right.} \right.\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình \((*)\) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng \(\frac{1}{2}\).

Xét hàm số \(f(x) = 3{x^2} - 6x + 1\) trên \(\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \( - 2 <  - m \le  - \frac{5}{4}\) \( \Leftrightarrow \frac{5}{4} \le m < 2\).

Gọi \(x(m)(x > 0)\) là đường kính của nửa đường tròn.

Khi đó hình chữ nhật có hai kích thước là \(x\) và \(\sqrt {5,{2^2} - {x^2}} \).

Diện tích nửa hình tròn là \(\frac{{\pi {x^2}}}{8}\) và diện tích hình chữ nhật là \(x\sqrt {5,{2^2} - {x^2}} \).

Theo giả thiết ta có: \(\frac{{\pi {x^2}}}{8} = \frac{3}{{10}}x\sqrt {5,{2^2} - {x^2}}  \Leftrightarrow \frac{5}{{12}}\pi x = \sqrt {5,{2^2} - {x^2}} \) \( \Leftrightarrow \frac{{25}}{{144}}{\pi ^2}{x^2} = \frac{{676}}{{25}} - {x^2} \Leftrightarrow {x^2}\left( {\frac{{25}}{{144}}{\pi ^2} + 1} \right) = \frac{{676}}{{25}} \Leftrightarrow x \approx 3,2(\;m)\).

Diện tích cánh cửa là: \(\frac{{\pi  \cdot 3,{2^2}}}{8} + 3,2\sqrt {5,{2^2} - 3,{2^2}}  \approx 17,1\left( {\;{m^2}} \right)\).

Do đó số tiên ông An phải trả là: \(1300000 \cdot 17,1 = 22230000\) (đồng).

Ta có \(\sqrt {{x^2} - 7x + 10}  = 3x - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 1 \ge 0\\{x^2} - 7x + 10 = 9{x^2} - 6x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{3}\\8{x^2} + x - 9 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{3}\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - \frac{9}{8}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}\).

Vậy phương trình đã cho có \(1\) nghiệm.

Điều kiện: \(x \ge  - \frac{7}{2}\).

Ta có: \(\left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7}  = {x^2} - 4\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7}  - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\sqrt {2x + 7}  = x + 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\{x^2} + 2x - 3 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\).

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = 1\) và \(x = 2\) nên tổng các nghiệm của phương trình là \(3\).

TB=TC2+CB2−2TC.CB.cos60°=x2−3x+9

TA=TC2+CA2−2TC.CA.cos120°=x2+2x+4

Với TA = TB suy ra

x2−3x+9=x2+2x+4