Trắc nghiệm Phương sai và độ lệch chuẩn lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Đáp án đúng: B

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\bar x = \frac{{4.42,5 + 14.47,5 + 8.52,5 + 10.57,5 + 6.62,5 + 2.67,5}}{{44}} = \frac{{585}}{{11}}\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({s^2} = \frac{{4.42,{5^2} + 14.47,{5^2} + 8.52,{5^2} + 10.57,{5^2} + 6.62,{5^2} + 2.67,{5^2}}}{{44}} - {\left( {\frac{{585}}{{11}}} \right)^2} \approx 46,13\).

Ta có bảng thống kê thời gian chờ khám bệnh của các bệnh nhân tại phòng khám X

a) Khoảng biến thiên là \(20 - 0 = 20\).

b) Số trung bình của mẫu là \(\bar x = \frac{{2,5.3 + 7,5.12 + 12,5.15 + 17,5.8}}{{3 + 12 + 15 + 8}} \approx 11,18\).

c) Phương sai \({S^2} = \frac{1}{{38}}\left( {3.2,{5^2} + 12.7,{5^2} + 15.12,{5^2} + 8.17,{5^2}} \right) - {\left( {11,18} \right)^2} \approx 19,42\).

d)Tìmkhoảng tứ phân vị thời gian chờ khám bệnh của các bệnh nhân tại phòng khám X:

- Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{10}} \in \left[ {5;10} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất là

\({Q_1} = 5 + \frac{{\frac{{38}}{4} - 3}}{{12}}.\left( {10 - 5} \right) \approx 7,71\).

- Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{29}} \in \left[ {10;15} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba là

\({Q_3} = 10 + \frac{{3.\frac{{38}}{4} - \left( {3 + 12} \right)}}{{15}}.\left( {15 - 10} \right) = 14,5\)

Vậy khoảng tứ phân vị là \({\Delta _{Q(X)}} = {Q_3} - {Q_1} \approx 14,5 - 7,71 \approx 6,79\)

Do \({\Delta _{Q(X)}} \approx 6,79 < {\Delta _{Q(Y)}} = 9,23\) nên thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám Y phân tán hơn thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám X.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(R = 300 - 50 = 250\left( {{\rm{\;km}}} \right)\).

b) Cỡ mẫu \(n = 5 + 10 + 9 + 4 + 2 = 30\).

Gọi \({x_1}; \ldots ;{x_{30}}\) là mẫu số liệu gốc về độ dài quãng đường bác tài xế đã lái xe mỗi ngày trong một tháng được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_8} \in \left[ {100;150} \right)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 100 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 5}}{{10}}\left( {150 - 100} \right) = 112,5\).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{23}} \in \left[ {150;200} \right)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 150 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - \left( {5 + 10} \right)}}{9}\left( {200 - 150} \right) = \frac{{575}}{3}\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{575}}{3} - 112,5 \approx 79,17\).

c) Ta có bảng sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(\overline x = \frac{{5.75 + 10.125 + 9.175 + 4.225 + 2.275}}{{30}} = 155\)

d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({S^2} = \frac{1}{{30}}\left[ {{{5.75}^2} + {{10.125}^2} + {{9.175}^2} + {{4.225}^2} + {{2.275}^2}} \right] - {155^2} = 3100\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(S = \sqrt {{S^2}} = \sqrt {3100} \approx 55,68\).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Xét số liệu ở Đà Lạt : Khoảng biến thiên là: \(R = 91,5 - 78,3 = 13,2\)

b) Xét số liệu ở Vũng Tàu:

+ Số phần tử của mẫu là \(n = 12\).

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1} = \frac{{{x_3} + {x_4}}}{2}\) mà x₃; x₄$\in$ [75; 78,3).

Tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = 75 + \left( {\frac{{3 - 0}}{5}} \right).3,3 = 76,98\).

\({Q_3} = \frac{{{x_9} + {x_{10}}}}{2}\) mà x₉; x₁₀$\in$ [78,3; 81,6).

Ta có tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = 78,3 + \left( {\frac{{9 - 5}}{6}} \right).3,3 = 80,5\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \({Q_3} - {Q_1} = 80,5 - 76,98 = 3,52\).

c) Xét số liệu ở Đà Lạt :

+ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\overline {{x_1}} = \frac{{0.76,65 + 2.79,95 + 83,25 + 6.86,55 + 3.89,85}}{{12}} = 86\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(s_1^2 = \frac{{0.76,{{65}^2} + 2.79,{{95}^2} + 83,{{25}^2} + 6.86,{{55}^2} + 3.89,{{85}^2}}}{{12}} - {86^2} = \frac{{847}}{{80}}\).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({s_1} = \sqrt {{s_1}^2} = \sqrt {\frac{{847}}{{80}}} \approx 3,25\).

d) Xét số liệu ở Vũng Tàu:

+ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(\overline {{x_2}} = \frac{{5.76,65 + 6.79,95 + 83,25}}{{12}} = 78,85\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(s_2^2 = \frac{{5{{(76,65 - 78,85)}^2} + 6{{(79,95 - 78,85)}^2} + {{(83,25 - 78,85)}^2}}}{{12}} = 4,235\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({s_2} = \sqrt {s_2^2} = \sqrt {4,235} \approx 2,06\)

Vũng Tàu có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn vì độ lệch chuẩn nhỏ hơn.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) Mẫu số liệu trên có khoảng biến thiên \[R = 80 - 0 = 80.\]

b) Vì có 30 tỉnh, thành phố có tỉ lệ che phủ rừng nhỏ hơn 40% .

c) Cỡ mẫu n = 17 + 6 + 3 + 4 + 9 + 15 + 5 + 1 = 60.

Gọi x₁; x₂; …; x₆₀ là tỉ lệ che phủ rừng của 60 tỉnh được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có \({Q_1} = \frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}\) mà x₁₅; x₁₆$\in$ [0; 10] nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Khi đó \({Q_1} = 0 + \frac{{\frac{{60}}{4} - 0}}{{17}}.10 = \frac{{150}}{{17}}\).

Ta có \({Q_3} = \frac{{{x_{45}} + {x_{46}}}}{2}\) mà x₄₅; x₄₆$\in$ [50; 60] nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

Khi đó \({Q_3} = 50 + \frac{{\frac{{3.60}}{4} - 39}}{{15}}.10 = 54\).

Suy ra \({\Delta _Q} = 54 - \frac{{150}}{{17}} \approx 45,18\).

d) Ta có

Trung bình của mẫu số liệu:

\[\overline x = \frac{{17.5 + 6.15 + 3.25 + 4.35 + 9.45 + 15.55 + 5.65 + 1.75}}{{60}} = \frac{{101}}{3} \approx 33,67\]

Phương sai của mẫu số liệu:

\[\begin{array}{l}{s^2} = \frac{{17.{{\left( {\overline x - 5} \right)}^2} + 6.{{\left( {\overline x - 15} \right)}^2} + 3.{{\left( {\overline x - 25} \right)}^2} + 4.{{\left( {\overline x - 35} \right)}^2}}}{{60}}\\{\rm{ + }}\frac{{9.{{\left( {\overline x - 45} \right)}^2} + 15.{{\left( {\overline x - 55} \right)}^2} + 5.{{\left( {\overline x - 65} \right)}^2} + 1.{{\left( {\overline x - 75} \right)}^2}}}{{60}} = \frac{{23257}}{{45}}.\end{array}\]

\[ \Rightarrow s = \sqrt {\frac{{23257}}{{45}}} \approx 22,73.\]

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Ta có bảng thống kê giá đóng cửa theo giá trị đại diện:

a) Xét mẫu số liệu của cổ phiếu \(A\):

Cỡ mẫu của cổ phiếu \(A\): \({n_A} = 8 + 9 + 12 + 10 + 11 = 50\).

b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\({\bar x_1} = \frac{{8.121 + 9.123 + 12.125 + 10.127 + 11.129}}{{50}} = 125,28.{\rm{ }}\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S_1^2 = \frac{1}{{50}}\left( {{{8.121}^2} + {{9.123}^2} + {{12.125}^2} + {{10.127}^2} + {{11.129}^2}} \right) - {(125,28)^2} = 7,5216\).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \({S_1} = \sqrt {S_1^2} = \sqrt {7,5216} \).

c) Xét mẫu số liệu của cổ phiếu \(B\):

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\({\bar x_2} = \frac{{16.121 + 4.123 + 3.125 + 6.127 + 21.129}}{{50}} = 125,48.{\rm{ }}\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S_2^2 = \frac{1}{{50}}\left( {{{16.121}^2} + {{4.123}^2} + {{3.125}^2} + {{6.127}^2} + {{21.129}^2}} \right) - {(125,48)^2} = 12,4096.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \({S_2} = \sqrt {S_2^2} = \sqrt {12,4096} \).

d) Vậy nếu đánh giá độ rủi ro theo phương sai và độ lệch chuẩn thì cổ phiếu \(A\)có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu \(B\).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Ta có bảng sau:

Cỡ mẫu là \[n = 13 + 45 + 24 + 12 + 6 = 100.\]

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[\overline x = \frac{{13.19,25 + 45.19,75 + 24.20,25 + 12.20,75 + 6.21,25}}{{100}} = 20,015\]

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\begin{array}{l}{S^2} = \frac{1}{{100}}\left[ {13.{{\left( {19,25 - 20,015} \right)}^2} + 45.{{\left( {19,75 - 20,015} \right)}^2} + 24.{{\left( {20,25 - 20,015} \right)}^2} + 12.{{\left( {20,75 - 20,015} \right)}^2} + 6.{{\left( {21,25 - 20,015} \right)}^2}} \right]\\ \approx 0,277.\end{array}\)

Suy ra \(a = 0;b = 2 \Rightarrow a + b = 2.\)

Trả lời: 2.

Từ biểu đồ, ta có bảng thống kê sau:

Cỡ mẫu là \[n = 2 + 4 + 7 + 5 = 18.\]

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[\overline x = \frac{{2.7,3 + 4.7,5 + 7.7,7 + 5.7,9}}{{18}} = \frac{{23}}{3}\]

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[{S^2} = \frac{1}{{18}}\left[ {2.{{\left( {7,3 - \frac{{23}}{3}} \right)}^2} + 4.{{\left( {7,5 - \frac{{23}}{3}} \right)}^2} + 7.{{\left( {7,7 - \frac{{23}}{3}} \right)}^2} + 5.{{\left( {7,9 - \frac{{23}}{3}} \right)}^2}} \right] \approx 0,04.\]

Trả lời: 0,04.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[\overline x \, = \frac{{35.2 + 45.10 + 55.16 + 65.8 + 75.2 + 85.2}}{{40}} = 56\]

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[\begin{array}{l}s\, = \sqrt {\frac{1}{{40}}\left[ {2.{{\left( {35 - 56} \right)}^2} + 10.{{\left( {45 - 56} \right)}^2} + 16.{{\left( {55 - 56} \right)}^2} + 8.{{\left( {65 - 56} \right)}^2} + 2.{{\left( {75 - 56} \right)}^2} + 2.{{\left( {85 - 56} \right)}^2}} \right]} \\ = 11,4\end{array}\]

Trả lời: 11,4.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[\overline x \, = \frac{{37.9 + 39.15 + 41.25 + 43.30 + 45.21}}{{100}} = 41,78\]

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[\begin{array}{l}s\, = \sqrt {\frac{1}{{100}}\left[ {9.{{\left( {37 - 41,78} \right)}^2} + 15.{{\left( {39 - 41,78} \right)}^2} + 25.{{\left( {41 - 41,78} \right)}^2} + 30.{{\left( {43 - 41,78} \right)}^2} + 21.{{\left( {45 - 41,78} \right)}^2}} \right]} \\ = 2,45\end{array}\]

Trả lời: 2,45.

Chọn giá trị đại diện cho nhóm số liệu ta có:

Hiệu điện thế trung bình của mạch điện là

\(\overline x = \frac{1}{{12}}\left( {2.3,875 + 3.3,925 + 5.3,975 + 2.4,025} \right) \approx 3,954\,\left( {\rm{V}} \right)\).

Độ lệch chuẩn của hiệu điện thế của mạch điện là

\(s = \sqrt {\frac{1}{{12}}\left( {2.3,{{875}^2} + 3.3,{{925}^2} + 5.3,{{975}^2} + 2.4,{{025}^2}} \right) - 3,{{954}^2}} \approx 0,06\).

Trả lời: 0,06.