Bài tập Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm và vận dụng đo mức độ rủi ro lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Đo chiều cao (tính bằng cm) của 500 học sinh trong một trường THPT ta thu được kết quả như sau:
Chiều cao | [150; 154) | [154; 158) | [158; 162) | [162; 166) | [166; 170) |
Tần số | 25 | 50 | 200 | 175 | 50 |
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là
161,4;
14,48;
8,2;
3,85.
Đáp án đúng là: D
Ta có bảng sau
Chiều cao | [150; 154) | [154; 158) | [158; 162) | [162; 166) | [166; 170) |
Giá trị đại diện | 152 | 156 | 160 | 164 | 168 |
Tần số | 25 | 50 | 200 | 175 | 50 |
Chiều cao trung bình
\(\overline x = \frac{1}{{500}}\left( {152.25 + 156.50 + 160.200 + 164.175 + 168.50} \right) = 161,4\).
Phương sai của mẫu số liệu
\({S^2} = \frac{1}{{500}}\left( {{{152}^2}.25 + {{156}^2}.50 + {{160}^2}.200 + {{164}^2}.175 + {{168}^2}.50} \right) - 161,{4^2} = 14,84\).
Độ lệch chuẩn \(S = \sqrt {14,84} \approx 3,85\).
Bảng dưới đây thống kê số tập bài chấm điểm thi vào 10 môn Toán tại TP Hà Nội năm 2024 tại một tổ chấm.
Số tập bài | [0; 3) | [3; 6) | [6; 9) | [9; 12) | [12; 15) |
Tần số | 1 | 2 | 4 | 11 | 7 |
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
3,14;
3,41;
4,31;
1,34.
Đáp án đúng là: A
Ta có bảng sau
Số tập bài | [0; 3) | [3; 6) | [6; 9) | [9; 12) | [12; 15) |
Giá trị đại diện | 1,5 | 4,5 | 7,5 | 10,5 | 13,5 |
Tần số | 1 | 2 | 4 | 11 | 7 |
Cỡ mẫu n = 25.
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(\overline x = \frac{{1.1,5 + 2.4,5 + 4.7,5 + 11.10,5 + 7.13,5}}{{25}} = 10,02\).
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là
\({S^2} = \frac{{1.1,{5^2} + 2.4,{5^2} + 4.7,{5^2} + 11.10,{5^2} + 7.13,{5^2}}}{{25}} - 10,{02^2} \approx 9,85\).
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(S = \sqrt {9,85} \approx 3,14\).
Theo kết quả thống kê điểm thi giữa kì 2 môn toán khối 11 của một trường THPT, người ta tính được phương sai của bảng thống kê đó là S2 = 0,573. Độ lệch chuẩn của bảng thống kê đó bằng.
0,936;
0,757;
0,812;
0,657.
Đáp án đúng là: B
Độ lệch chuẩn \(S = \sqrt {0,573} \approx 0,757\).
Khảo sát về độ ẩm không khí trung bình các tháng năm 2022 tại Đà Nẵng (đơn vị: %), người ta được một mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Độ ẩm | [71; 74) | [74; 77) | [77; 80) | [80; 83) | [83; 86) |
Số tháng | 1 | 1 | 2 | 6 | 2 |
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
11,1875;
3,34;
80,25;
134,25.
Đáp án đúng là: A
Ta có bảng có giá trị đại diện
Độ ẩm | [71; 74) | [74; 77) | [77; 80) | [80; 83) | [83; 86) |
Giá trị đại diện | 72,5 | 75,5 | 78,5 | 81,5 | 84,5 |
Số tháng | 1 | 1 | 2 | 6 | 2 |
Ta có \(\overline x = \frac{{1.72,5 + 1.75,5 + 2.78,5 + 6.81,5 + 2.84,5}}{{12}} = 80,25\).
Phương sai: \({S^2} = \frac{{1.72,{5^2} + 1.75,{5^2} + 2.78,{5^2} + 6.81,{5^2} + 2.84,{5^2}}}{{12}} - 80,{25^2} = 11,1875\).
Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:
Quãng đường (km) | [2,7; 3,0) | [3,0; 3,3) | [3,3; 3,6) | [3,6; 3,9) | [3,9; 4,2) |
Số ngày | 3 | 6 | 5 | 4 | 2 |
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?
11,62;
0,36;
3,41;
0,017.
Đáp án đúng là: B
Ta có bảng có giá trị đại diện
Quãng đường (km) | [2,7; 3,0) | [3,0; 3,3) | [3,3; 3,6) | [3,6; 3,9) | [3,9; 4,2) |
Giá trị đại diện | 2,85 | 3,15 | 3,45 | 3,75 | 4,05 |
Số ngày | 3 | 6 | 5 | 4 | 2 |
Cỡ mẫu n = 20.
Ta có \(\overline x = \frac{{3.2,85 + 6.3,15 + 5.3,45 + 4.3,75 + 2.4,05}}{{20}} = 3,39\).
Phương sai: \({S^2} = \frac{{3.2,{{85}^2} + 6.3,{{15}^2} + 5.3,{{45}^2} + 4.3,{{75}^2} + 2.4,{{05}^2}}}{{20}} - 3,{39^2} = 0,1314\).
Độ lệch chuẩn: \(S = \sqrt {0,1314} \approx 0,36\).
Hai mẫu số liệu ghép nhóm M1; M2 có bảng tần số ghép nhóm như sau:
M1:
Nhóm | [0; 2) | [2; 4) | [4; 6) | [6; 8) | [8; 10) |
Tần số | 1 | 2 | 10 | 15 | 2 |
M2:
Nhóm | [0; 2) | [2; 4) | [4; 6) | [6; 8) | [8; 10) |
Tần số | 0 | 1 | 15 | 13 | 1 |
Gọi s12, s22 lần lượt là phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm M1; M2. Phát biểu nào sau đây là đúng?
s12 = 2s22 ;
\(s_1^2 = \frac{{15}}{8}s_2^2\);
\(s_1^2 = \frac{9}{5}s_2^2\);
3s12 = s22 .
Đáp án đúng là: B
Xét mẫu số liệu ghép nhóm M1
Nhóm | [0; 2) | [2; 4) | [4; 6) | [6; 8) | [8; 10) |
Giá trị đại diện | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
Tần số | 1 | 2 | 10 | 15 | 2 |
Cỡ mẫu n = 30.
Có \(\overline x = \frac{{1.1 + 2.3 + 10.5 + 15.7 + 2.9}}{{30}} = 6\).
Phương sai \(s_1^2 = \frac{{{{1.1}^2} + {{2.3}^2} + {{10.5}^2} + {{15.7}^2} + {{2.9}^2}}}{{30}} - {6^2} = \frac{{43}}{{15}}\).
Mẫu số liệu ghép nhóm M2
Nhóm | [0; 2) | [2; 4) | [4; 6) | [6; 8) | [8; 10) |
Giá trị đại diện | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
Tần số | 0 | 1 | 15 | 13 | 1 |
Cỡ mẫu n = 30.
Có \(\overline x = \frac{{0.1 + 1.3 + 15.5 + 13.7 + 1.9}}{{30}} = \frac{{89}}{{15}}\).
Phương sai \(s_2^2 = \frac{{{{0.1}^2} + {{1.3}^2} + {{15.5}^2} + {{13.7}^2} + {{1.9}^2}}}{{30}} - {\left( {\frac{{89}}{{15}}} \right)^2} = \frac{{344}}{{225}}\).
Suy ra \(s_1^2 = \frac{{15}}{8}s_2^2\).
Để đánh giá chất lượng của một loại pin điện thoại mới, người ta ghi lại thời gian nghe nhạc liên tục của điện thoại được sạc đầy pin cho đến khi hết pin cho kết quả sau:
Thời gian (giờ) | [5; 5,5) | [5,5; 6) | [6; 6,5) | [6,5; 7) | [7; 7,5) |
Số chiệc điện thoại | 2 | 8 | 15 | 10 | 5 |
Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến 4 chữ số thập phân).
0,4252;
0,5314;
0,6214;
0,5268.
Đáp án đúng là: D
Thời gian (giờ) | [5; 5,5) | [5,5; 6) | [6; 6,5) | [6,5; 7) | [7; 7,5) |
Giá trị đại diện | 5,25 | 5,75 | 6,25 | 6,75 | 7,25 |
Số chiệc điện thoại | 2 | 8 | 15 | 10 | 5 |
Có \(\overline x = \frac{{2.5,25 + 8.5,75 + 15.6,25 + 10.6,75 + 5.7,25}}{{40}} = 6,35\).
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:
\({s^2} = \frac{{2.5,{{25}^2} + 8.5,{{75}^2} + 15.6,{{25}^2} + 10.6,{{75}^2} + 5.7,{{25}^2}}}{{40}} - 6,{35^2} = 0,2775\).
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \(s = \sqrt {0,2775} \approx 0,5268\).
Ở cuộc thi nhảy cao của học sinh 12. Kết quả được thống kê như sau
Độ cao (cm) | [160; 164) | [164; 168) | [168; 172) | [172; 176) | [176; 180) |
Số học sinh | 15 | 10 | 8 | 6 | 3 |
Giá trị phương sai về độ cao bằng
26,14;
18,04;
26,41;
26,9.
Đáp án đúng là: C
Ta có bảng có giá trị đại diện
Độ cao (cm) | [160; 164) | [164; 168) | [168; 172) | [172; 176) | [176; 180) |
Giá trị đại diện | 162 | 166 | 170 | 174 | 178 |
Số học sinh | 15 | 10 | 8 | 6 | 3 |
Cỡ mẫu n = 42.
Có \(\overline x = \frac{{15.162 + 10.166 + 8.170 + 6.174 + 3.178}}{{42}} = \frac{{502}}{3}\).
Phương sai:
\({s^2} = \frac{{{{15.162}^2} + {{10.166}^2} + {{8.170}^2} + {{6.174}^2} + {{3.178}^2}}}{{42}} - {\left( {\frac{{502}}{3}} \right)^2} = \frac{{1664}}{{63}} \approx 26,41\).
Kết quả khảo sát năng suất (đơn vị tấn/ha) của một số thửa ruộng được minh họa ở biểu đồ sau
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên gần với giá trị nào nhất?
0,294;
0,301;
0,289;
0,086.
Đáp án đúng là: A
Dựa vào biểu đồ ta có bảng sau
Năng suất (tấn/ha) | [5,5; 5,7) | [5,7; 5,9) | [5,9; 6,1) | [6,1; 6,3) | [6,3; 6,5) | [6,5; 6,7) |
Giá trị đại diện | 5,6 | 5,8 | 6,0 | 6,2 | 6,4 | 6,6 |
Số thửa ruộng | 3 | 4 | 6 | 5 | 5 | 2 |
Cỡ mẫu n = 25
Ta có \(\overline x = \frac{{3.5,6 + 4.5,8 + 6.6,0 + 5.6,2 + 5.6,4 + 2.6,6}}{{25}} = \frac{{761}}{{125}}\).
Phương sai \({s^2} = \frac{{3.5,{6^2} + 4.5,{8^2} + 6.6,{0^2} + 5.6,{2^2} + 5.6,{4^2} + 2.6,{6^2}}}{{25}} - {\left( {\frac{{761}}{{125}}} \right)^2} = \frac{{1354}}{{15625}}\).
Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt {\frac{{1354}}{{15625}}} \approx 0,294\).
Thống kê lợi nhuận hàng tháng (đơn vị: triệu đồng) trong 20 tháng của hai nhà đầu tư được cho như sau:
Lợi nhuận theo tháng của nhà đầu tư nhỏ
Lợi nhuận | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) | [50; 60) |
Số tháng | 2 | 4 | 8 | 4 | 2 |
Lợi nhuận theo tháng của nhà đầu tư lớn
Lợi nhuận | [510; 520) | [520; 530) | [530; 540) | [540; 550) | [550; 560) |
Số tháng | 4 | 3 | 6 | 3 | 4 |
Chọn câu đúng nhất?
Không nên chỉ dựa vào độ lệch chuẩn để đánh giá mức độ rủi ro;
Lợi nhuận trung bình mỗi tháng của nhà đầu tư nhỏ cao hơn nhà đầu tư lớn;
Độ lệch chuẩn của nhà đầu tư lớn cao hơn 14;
Nhà đầu tư lớn có mức độ rủi ro cao hơn.
Đáp án đúng là: A
Lợi nhuận theo tháng của nhà đầu tư nhỏ có giá trị đại diện
Lợi nhuận | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) | [50; 60) |
Giá trị đại diện | 15 | 25 | 35 | 45 | 55 |
Số tháng | 2 | 4 | 8 | 4 | 2 |
Cỡ mẫu n = 20
Có \({\overline x _A} = \frac{{2.15 + 4.25 + 8.35 + 4.45 + 2.55}}{{20}} = 35\).
Phương sai \(S_A^2 = \frac{{{{2.15}^2} + {{4.25}^2} + {{8.35}^2} + {{4.45}^2} + {{2.55}^2}}}{{20}} - {35^2} = 120\).
Độ lệch chuẩn \({S_A} = \sqrt {120} \approx 10,95\).
Lợi nhuận theo tháng của nhà đầu tư lớn có giá trị đại diện
Lợi nhuận | [510; 520) | [520; 530) | [530; 540) | [540; 550) | [550; 560) |
Giá trị đại diện | 515 | 525 | 535 | 545 | 555 |
Số tháng | 4 | 3 | 6 | 3 | 4 |
Cỡ mẫu n = 20
Có \(\overline {{x_B}} = \frac{{4.515 + 3.525 + 6.535 + 3.545 + 4.555}}{{20}} = 535\).
Phương sai \(S_B^2 = \frac{{{{4.515}^2} + {{3.525}^2} + {{6.535}^2} + {{3.545}^2} + {{4.555}^2}}}{{20}} - {535^2} = 190\).
Độ lệch chuẩn \({S_B} = \sqrt {190} \approx 13,78\).
Độ lệch chuẩn cho lợi nhuận hàng tháng của nhà đầu tư lớn cao hơn của nhà đầu tư nhỏ. Lợi nhuận trung bình của hai nhà đầu tư khác nhau rất nhiều, do đó ta không nên dùng độ lệch chuẩn để so sánh mức độ rủi ro của hai nhà đầu tư này.
Bạn An sử dụng vòng đeo tay thông minh để ghi lại số bước chân đi mỗi ngày trong một tháng. Kết quả được ghi lại ở bảng sau:
Nhóm | [3; 5) | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) |
Số bước đại diện | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
Số ngày | 6 | 7 | 6 | 6 | 5 |
Phương sai của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào sau đây?
7,65.
7,56.
7,54.
7,45.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Cỡ mẫu là n = 6 + 7 + 6 + 6 + 5 = 30.
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(\bar x = \frac{{6 \cdot 4 + 7 \cdot 6 + 6 \cdot 8 + 6 \cdot 10 + 5 \cdot 12}}{{30}} = 7,8\).
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({S^2} = \frac{1}{{30}}\left( {6 \cdot {4^2} + 7 \cdot {6^2} + 6 \cdot {8^2} + 6 \cdot {{10}^2} + 5 \cdot {{12}^2}} \right) - {7,8^2} = 7,56\).
Người ta đo đường kính của 61 cây gỗ được trồng sau 12 năm (đơn vị: cm), họ thu được bảng tần số ghép nhóm sau:
Đường kính | [20; 25) | [25; 30) | [30; 35) | [35; 40) | [40; 45) |
Số cây | 4 | 12 | 26 | 13 | 6 |
Phương sai của mẫu số liệu gần nhất với giá trị nào sau đây?
27.
26,5.
26.
27,5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là:B
Giá trị đại diện tương ứng cho các nhóm là: 22,5; 27,5; 32,5; 37,5; 42,5.
Cỡ mẫu là n = 4 + 12 + 26 + 13 + 6 = 61.
Số trung bình của mẫu số liệu:
\(\bar x = \frac{{4 \cdot 22,5 + 12 \cdot 27,5 + 26 \cdot 32,5 + 13 \cdot 37,5 + 6 \cdot 42,5}}{{61}} \approx 32,91\).
Phương sai của mẫu số liệu là:
\[{S^2} = \frac{1}{{61}}\left( {4 \cdot {{22,5}^2} + 12 \cdot {{27,5}^2} + 26 \cdot {{32,5}^2} + 13 \cdot {{37,5}^2} + 6 \cdot {{42,5}^2}} \right) - {32,91^2} \approx 26,4606\].
Hằng ngày ông Thắng đều đi xe buýt từ nhà đến cơ quan. Dưới đây là bảng thống kê thời gian của 100 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan:
Thời gian (phút) | [15; 18) | [18; 21) | [21; 24) | [24; 27) | [27; 30) | [30; 33) |
Số lượt | 22 | 38 | 27 | 8 | 4 | 1 |
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào sau đây?
10,84.
2,93.
3,28.
6,78.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: 16,5; 19,5; 22,5; 25,5; 28,5; 31,5.
Số trung bình là:
\(\bar x = \frac{{22 \cdot 16,5 + 38 \cdot 19,5 + 27 \cdot 22,5 + 8 \cdot 25,5 + 4 \cdot 28,5 + 1 \cdot 31,5}}{{100}} = 20,61\).
Phương sai là:
\({S^2} = \frac{1}{{100}}(22 \cdot {16,5^2} + 38 \cdot {19,5^2} + 27 \cdot {22,5^2} + 8 \cdot {25,5^2} + 4 \cdot {28,5^2} + 1 \cdot {31,5^2}) - {20,61^2} \approx 10,7379.\)
Độ lệch chuẩn là:
\(S = \sqrt {10,7379} \approx 3,28\).
Dũng tự thống kê lại thời gian giải khối rubik 3x3 trong 25 lần giải liên tiếp ở bảng sau:
Thời gian giải (giây) | [8; 10) | [10; 12) | [12; 14) | [14; 16) | [16; 18) |
Số lần | 4 | 6 | 8 | 4 | 3 |
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?
5,98.
6.
2,44.
2,5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Giá trị đại diện tương ứng là: 9; 11; 13; 15; 17.
Số trung bình của mẫu số liệu là:
\(\bar x = \frac{{4 \cdot 9 + 6 \cdot 11 + 8 \cdot 13 + 4 \cdot 15 + 3 \cdot 17}}{{25}} = 12,68\).
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({S^2} = \frac{1}{{25}}(4 \cdot {9^2} + 6 \cdot {11^2} + 8 \cdot {13^2} + 4 \cdot {15^2} + 3 \cdot {17^2}) - {12,68^2} = 5,9776\).
Độ lệch chuẩn là:
\(S = \sqrt {5,9776} \approx 2,44\).
Thầy Tuấn thống kê lại điểm trung bình cuối năm của các học sinh lớp 11A và 11B ở bảng sau:
Điểm trung bình | [5; 6) | [6; 7) | [7; 8) | [8; 9) | [9; 10) |
Lớp 11A | 1 | 0 | 11 | 22 | 6 |
Lớp 11B | 0 | 6 | 8 | 14 | 12 |
Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh lớp nào có điểm trung bình ít phân tán (ổn định hơn)?
Học sinh lớp 11A có điểm trung bình ít phân tán hơn.
Học sinh lớp 11B có điểm trung bình ít phân tán hơn.
Học sinh lớp 11A và 11B có điểm trung bình phân tán như nhau.
Không thể so sánh được.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: 5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5.
Cỡ mẫu của cả hai lớp đều là 40.
Đối với lớp 11A:
\({\bar x_A} = \frac{{1 \cdot 5,5 + 11 \cdot 7,5 + 22 \cdot 8,5 + 6 \cdot 9,5}}{{40}} = 8,3\).
\(S_A^2 = \frac{1}{{40}}(1 \cdot {5,5^2} + 11 \cdot {7,5^2} + 22 \cdot {8,5^2} + 6 \cdot {9,5^2}) - {8,3^2} = 0,61\).
Độ lệch chuẩn lớp 11A là \({S_A} = \sqrt {0,61} \approx 0,78\).
Đối với lớp 11B:
\({\bar x_B} = \frac{{6 \cdot 6,5 + 8 \cdot 7,5 + 14 \cdot 8,5 + 12 \cdot 9,5}}{{40}} = 8,3\).
\(S_B^2 = \frac{1}{{40}}(6 \cdot {6,5^2} + 8 \cdot {7,5^2} + 14 \cdot {8,5^2} + 12 \cdot {9,5^2}) - {8,3^2} = 1,06\).
Độ lệch chuẩn lớp 11B là \({S_B} = \sqrt {1,06} \approx 1,03\).
Vì \({S_A} < {S_B}\) nên điểm trung bình của học sinh lớp 11A ít phân tán hơn lớp 11B.
Cân nặng của một số quả mít trong một khu vườn được thống kê ở bảng dưới đây. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Cân nặng (kg) | [4; 6) | [6; 8) | [8; 10) | [10; 12) | [12; 14) |
Số quả mít | 6 | 12 | 19 | 9 | 4 |
Cỡ mẫu của mẫu số liệu là 50.
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 8,72.
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là 4,9.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là 2,2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d)Sai.
Giá trị đại diện lần lượt là: 5; 7; 9; 11; 13.
a) Đúng. Cỡ mẫu là n=6+12+19+9+4=50.
b) Đúng. Số trung bình là:
\(\bar x = \frac{{6 \cdot 5 + 12 \cdot 7 + 19 \cdot 9 + 9 \cdot 11 + 4 \cdot 13}}{{50}} = 8,72\).
c) Sai. Phương sai của mẫu số liệu là:
\({S^2} = \frac{1}{{50}}(6 \cdot {5^2} + 12 \cdot {7^2} + 19 \cdot {9^2} + 9 \cdot {11^2} + 4 \cdot {13^2}) - {8,72^2} \approx 4,80\).
d)Sai. Độ lệch chuẩn là \(S = \sqrt {4,80} \approx 2,19\).
Tốc độ của 20 xe hơi khi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ (đơn vị: km/h) được ghép nhóm lại như sau:
Tốc độ (km/h) | [42; 46) | [46; 50) | [50; 54) | [54; 58) | [58; 62) |
Số xe | 3 | 7 | 4 | 3 | 3 |
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm là 20.
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 51,2.
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là 26,56.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là 32,2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Cỡ mẫu là n=3+7+4+3+3=20.
b) Đúng. Số trung bình là:
\(\bar x = \frac{{3 \cdot 44 + 7 \cdot 48 + 4 \cdot 52 + 3 \cdot 56 + 3 \cdot 60}}{{20}} = 51,2\).
c) Đúng. Phương sai là:
\({S^2} = \frac{1}{{20}}(3 \cdot {44^2} + 7 \cdot {48^2} + 4 \cdot {52^2} + 3 \cdot {56^2} + 3 \cdot {60^2}) - {51,2^2} = 26,56\).
d) Sai. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \(S = \sqrt {26,56} \approx 5,15\).
Bảng phân bố tần số ghép nhóm về độ dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành (đơn vị: cm) như sau:
Độ dài (cm) | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) |
Tần số | 18 | 8 | 10 | 24 |
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Tổng các giá trị đại diện của nhóm 2 và nhóm 4 bằng 70.
Độ dài trung bình là \(\bar x = 30\).
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\frac{{1460}}{9}\).
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ 12,74.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Nhóm 2 có giá trị đại diện là 25, nhóm 4 là 45. Tổng là 25+45=70.
b) Sai. Độ dài trung bình là:
\(\bar x = \frac{{18 \cdot 15 + 8 \cdot 25 + 10 \cdot 35 + 24 \cdot 45}}{{60}} = \frac{{95}}{3} \approx 31,67\).
c) Đúng. Phương sai là:
\({S^2} = \frac{{18 \cdot {{15}^2} + 8 \cdot {{25}^2} + 10 \cdot {{35}^2} + 24 \cdot {{45}^2}}}{{60}} - {\left( {\frac{{95}}{3}} \right)^2} = \frac{{1460}}{9}\).
d) Đúng. Độ lệch chuẩn là \(S = \sqrt {\frac{{1460}}{9}} \approx 12,736 \approx 12,74\).
Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên:
Cự li (m) | [19; 19,5) | [19,5; 20) | [20; 20,5) | [20,5; 21) | [21; 21,5) |
Tần số | 13 | 45 | 24 | 12 | 6 |
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Cỡ mẫu của mẫu số liệu là 105.
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 20,015.
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ 0,277.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm bằng 0,277.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
Giá trị đại diện của các khoảng: 19,25; 19,75; 20,25; 20,75; 21,25.
a) Sai. Cỡ mẫu n=13+45+24+12+6=100.
b) Đúng. Số trung bình là:
\(\bar x = \frac{{13 \cdot 19,25 + 45 \cdot 19,75 + 24 \cdot 20,25 + 12 \cdot 20,75 + 6 \cdot 21,25}}{{100}} = 20,015\).
c) Đúng. Phương sai là:
\({S^2} = \frac{1}{{100}}(13 \cdot {19,25^2} + 45 \cdot {19,75^2} + \ldots + 6 \cdot {21,25^2}) - {20,015^2} \approx 0,277\).
d) Sai. Độ lệch chuẩn \(S = \sqrt {0,277} \approx 0,526 \ne 0,277\).
Trạm kiểm soát đã ghi lại tốc độ (km/h) của 30 chiếc ô tô trên hai con đường A và B như sau:
Tốc độ | [50; 60) | [60; 70) | [70; 80) | [80; 90] |
Đường A | 0 | 10 | 11 | 9 |
Đường B | 1 | 10 | 16 | 3 |
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Giá trị trung bình của hai mẫu số liệu ghép nhóm là \({\bar x_A} \approx 74,6\), \({\bar x_B} = 72\).
Phương sai của tốc độ xe trên đường A là \(\frac{{143}}{3}\).
Độ lệch chuẩn của tốc độ xe trên đường B xấp xỉ 6,9.
Dựa vào độ lệch chuẩn, xe chạy trên con đường B đồng đều và an toàn (ít rủi ro) hơn đường A.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
Giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là: 55; 65; 75; 85.
a) Đúng. Ta tính được:
\({\bar x_A} = \frac{{10 \cdot 65 + 11 \cdot 75 + 9 \cdot 85}}{{30}} \approx 74,6\).
\({\bar x_B} = \frac{{1 \cdot 55 + 10 \cdot 65 + 16 \cdot 75 + 3 \cdot 85}}{{30}} = 72\).
b) Sai. Phương sai của đường A là:
\(S_A^2 = \frac{1}{{30}}(10 \cdot {65^2} + 11 \cdot {75^2} + 9 \cdot {85^2}) - {74,6^2} = \frac{{5488}}{{75}} \approx 73,17\).
c) Đúng. Phương sai của đường B là \(S_B^2 = \frac{{143}}{3} \approx 47,67\), độ lệch chuẩn \({S_B} = \sqrt {47,67} \approx 6,9.\)
d) Đúng. Độ lệch chuẩn \({S_A} = \sqrt {73,17} \approx 8,55\), và \({S_B} \approx 6,9\). Vì \({S_B} < {S_A}\) nên trên đường B có tốc độ đồng đều hơn, xe chạy an toàn và ít rủi ro hơn.
Kết quả điều tra tổng thu nhập trong năm 2024 của một số hộ gia đình ở thành phố Nha Trang được ghi lại ở bảng sau:
Thu nhập (triệu đồng) | [200; 250) | [250; 300) | [300; 350) | [350; 400) | [400; 450) |
Số hộ gia đình | 24 | 62 | 34 | 21 | 9 |
Tính phương sai của mẫu số liệu trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3023
Cỡ mẫu n = 24 + 62 + 34 + 21 + 9 = 150.
Giá trị đại diện tương ứng: 225; 275; 325; 375; 425.
Số trung bình của mẫu số liệu:
\(\bar x = \frac{{24 \cdot 225 + 62 \cdot 275 + 34 \cdot 325 + 21 \cdot 375 + 9 \cdot 425}}{{150}} = \frac{{904}}{3}\).
Phương sai là:
\({S^2} = \frac{1}{{150}}(24 \cdot {225^2} + 62 \cdot {275^2} + 34 \cdot {325^2} + 21 \cdot {375^2} + 9 \cdot {425^2}) - {\left( {\frac{{904}}{3}} \right)^2} \approx 3023\).
Một bác tài xế thống kê lại độ dài quãng đường (đơn vị: km) bác đã lái xe mỗi ngày trong một tháng ở bảng sau:
Quãng đường (km) | [50; 100) | [100; 150) | [150; 200) | [200; 250) | [250; 300) |
Số ngày | 5 | 10 | 9 | 4 | 2 |
Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu (làm tròn đến hàng phần chục).
Hướng dẫn giải:
Đáp án:55,7
Cỡ mẫu \(n = 5 + 10 + 9 + 4 + 2 = 30\).
Giá trị đại diện các nhóm: 75; 125; 175; 225; 275.
Số trung bình là:
\(\bar x = \frac{{5 \cdot 75 + 10 \cdot 125 + 9 \cdot 175 + 4 \cdot 225 + 2 \cdot 275}}{{30}} = 155\)
Phương sai là:
\({S^2} = \frac{1}{{30}}(5 \cdot {75^2} + 10 \cdot {125^2} + 9 \cdot {175^2} + 4 \cdot {225^2} + 2 \cdot {275^2}) - {155^2} = 3100\)
Độ lệch chuẩn là:
\(S = \sqrt {3100} \approx 55,7\)
Một giống cây xoan đào được trồng tại hai địa điểm A và B. Người ta thống kê đường kính thân của một số cây xoan đào 5 năm tuổi ở bảng sau:
Đường kính (cm) | [30; 32) | [32; 34) | [34; 36) | [36; 38) | [38; 40) |
Số cây ở địa điểm A | 25 | 38 | 20 | 10 | 7 |
Số cây ở địa điểm B | 22 | 27 | 19 | 18 | 14 |
Được biết độ phân tán càng thấp thì sự phát triển của cây càng ổn định và đồng đều. Tính độ lệch chuẩn của nhóm cây trồng tại địa điểm có đường kính đồng đều hơn (làm tròn 1 chữ số sau dấu phẩy).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2,3
Giá trị đại diện: 31; 33; 35; 37; 39. Cỡ mẫu ở A và B đều là n = 100.
Đường kính trung bình tại A và B là:
\({\bar x_A} = \frac{{25 \cdot 31 + 38 \cdot 33 + 20 \cdot 35 + 10 \cdot 37 + 7 \cdot 39}}{{100}} = 33,72\);
\({\bar x_B} = \frac{{22 \cdot 31 + 27 \cdot 33 + 19 \cdot 35 + 18 \cdot 37 + 14 \cdot 39}}{{100}} = 34,5\).
Phương sai tại A và B là:
\(S_A^2 = \frac{1}{{100}}(25 \cdot {31^2} + 38 \cdot {33^2} + 20 \cdot {35^2} + 10 \cdot {37^2} + 7 \cdot {39^2}) - {33,72^2} \approx 5,402\);
\(S_B^2 = \frac{1}{{100}}(22 \cdot {31^2} + 27 \cdot {33^2} + 19 \cdot {35^2} + 18 \cdot {37^2} + 14 \cdot {39^2}) - {34,5^2} = 7,31\).
Độ lệch chuẩn tại A và B là:
\({S_A} = \sqrt {5,402} \approx 2,324\); \({S_B} = \sqrt {7,31} \approx 2,704\).
Vì \({S_A} < {S_B}\) nên cây trồng tại địa điểm A có đường kính đồng đều hơn. Độ lệch chuẩn của nó làm tròn là 2,3.
Anh An đầu tư số tiền bằng nhau vào hai lĩnh vực kinh doanh A, B. Anh An thống kê số tiền thu được mỗi tháng trong vòng 60 tháng theo mỗi lĩnh vực cho kết quả như sau:
Số tiền (triệu đồng) | [5; 10) | [10; 15) | [15; 20) | [20; 25) | [25; 30) |
Số tháng lĩnh vực A | 5 | 10 | 30 | 10 | 5 |
Số tháng lĩnh vực B | 20 | 5 | 10 | 5 | 20 |
Biết rằng đầu tư vào lĩnh vực nào có độ lệch chuẩn của số tiền thu được hàng tháng cao hơn thì rủi ro hơn. Tính độ lệch chuẩn của số tiền thu được hàng tháng đối với lĩnh vực kinh doanh có mức độ rủi ro cao hơn (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải:
Đáp án:8,42
Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: 7,5; 12,5; 17,5; 22,5; 27,5.
Số tiền trung bình thu được khi đầu tư vào lĩnh vực A và B tương ứng là:
\({\bar x_A} = \frac{1}{{60}}(5 \cdot 7,5 + 10 \cdot 12,5 + 30 \cdot 17,5 + 10 \cdot 22,5 + 5 \cdot 27,5) = 17,5\)(triệu đồng);
\({\bar x_B} = \frac{1}{{60}}(20 \cdot 7,5 + 5 \cdot 12,5 + 10 \cdot 17,5 + 5 \cdot 22,5 + 20 \cdot 27,5) = 17,5\)(triệu đồng).
Độ lệch chuẩn của số tiền thu được hàng tháng khi đầu tư vào các lĩnh vực tương ứng là:
\({S_A} = \sqrt {{{\bar x}_A} = \frac{1}{{60}}\left( {5 \cdot {{7,5}^2} + 10 \cdot {{12,5}^2} + 30 \cdot {{17,5}^2} + 10 \cdot {{22,5}^2} + 5 \cdot {{27,5}^2}} \right) - {{17,5}^2}} = 5\);
\({S_B} = \sqrt {{{\bar x}_B} = \frac{1}{{60}}\left( {20 \cdot {{7,5}^2} + 5 \cdot {{12,5}^2} + 10 \cdot {{17,5}^2} + 5 \cdot {{22,5}^2} + 20 \cdot {{27,5}^2}} \right) - {{17,5}^2}} \approx 8,42\).
Do \({S_B} > {S_A}\) nên lĩnh vực B có độ rủi ro cao hơn.
Độ lệch chuẩn của lĩnh vực rủi ro cao hơn là xấp xỉ 8,42.
Giá đóng cửa của một cổ phiếu là giá của cổ phiếu đó cuối một phiên giao dịch. Bảng sau thống kê giá đóng cửa (đơn vị: nghìn đồng) của hai mã cổ phiếu A và B trong 50 ngày giao dịch liên tiếp:
Giá đóng cửa | [120; 122) | [122; 124) | [124; 126) | [126; 128) | [128; 130) |
Cổ phiếu A | 8 | 9 | 12 | 10 | 11 |
Cổ phiếu B | 16 | 4 | 3 | 6 | 21 |
Người ta có thể dùng phương sai để so sánh mức độ rủi ro của các loại cổ phiếu có giá trị trung bình gần bằng nhau. Cổ phiếu nào có phương sai cao hơn thì được coi là có độ rủi ro lớn hơn. Dựa vào quan điểm trên, hãy tính phương sai của mẫu số liệu giá đóng cửa đối với cổ phiếu có độ rủi ro lớn hơn (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải:
Đáp án:12,4
Giá trị đại diện của giá đóng cửa tương ứng là: 121; 123; 125; 127; 129.
Xét mẫu số liệu của cổ phiếu A:
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({\bar x_A} = \frac{{8 \cdot 121 + 9 \cdot 123 + 12 \cdot 125 + 10 \cdot 127 + 11 \cdot 129}}{{50}} = 125,28\).
Phương sai của mẫu số liệu là:
\(S_A^2 = \frac{1}{{50}}(8 \cdot {121^2} + 9 \cdot {123^2} + 12 \cdot {125^2} + 10 \cdot {127^2} + 11 \cdot {129^2}) - {125,28^2} = 7,5216\).
Độ lệch chuẩn là \({S_A} = \sqrt {7,5216} \).
Xét mẫu số liệu của cổ phiếu B:
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({\bar x_B} = \frac{{16 \cdot 121 + 4 \cdot 123 + 3 \cdot 125 + 6 \cdot 127 + 21 \cdot 129}}{{50}} = 125,48\).
Phương sai của mẫu số liệu là:
\(S_B^2 = \frac{1}{{50}}(16 \cdot {121^2} + 4 \cdot {123^2} + 3 \cdot {125^2} + 6 \cdot {127^2} + 21 \cdot {129^2}) - {125,48^2} = 12,4096\).
Độ lệch chuẩn là \({S_B} = \sqrt {12,4096} \).
Nhận thấy \(S_B^2 > S_A^2\), do đó cổ phiếu B có độ rủi ro lớn hơn cổ phiếu A.
Phương sai của cổ phiếu rủi ro lớn hơn xấp xỉ bằng 12,4.
