Bài tập Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm và vận dụng đo mức độ rủi ro lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Ta có bảng sau

Chiều cao	[150; 154)	[154; 158)	[158; 162)	[162; 166)	[166; 170)
Giá trị đại diện	152	156	160	164	168
Tần số	25	50	200	175	50

Chiều cao trung bình

\(\overline x = \frac{1}{{500}}\left( {152.25 + 156.50 + 160.200 + 164.175 + 168.50} \right) = 161,4\).

Phương sai của mẫu số liệu

\({S^2} = \frac{1}{{500}}\left( {{{152}^2}.25 + {{156}^2}.50 + {{160}^2}.200 + {{164}^2}.175 + {{168}^2}.50} \right) - 161,{4^2} = 14,84\).

Độ lệch chuẩn \(S = \sqrt {14,84} \approx 3,85\).

Đáp án đúng là: A

Ta có bảng sau

Số tập bài	[0; 3)	[3; 6)	[6; 9)	[9; 12)	[12; 15)
Giá trị đại diện	1,5	4,5	7,5	10,5	13,5
Tần số	1	2	4	11	7

Cỡ mẫu n = 25.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\overline x = \frac{{1.1,5 + 2.4,5 + 4.7,5 + 11.10,5 + 7.13,5}}{{25}} = 10,02\).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\({S^2} = \frac{{1.1,{5^2} + 2.4,{5^2} + 4.7,{5^2} + 11.10,{5^2} + 7.13,{5^2}}}{{25}} - 10,{02^2} \approx 9,85\).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(S = \sqrt {9,85} \approx 3,14\).

Đáp án đúng là: B

Độ lệch chuẩn \(S = \sqrt {0,573} \approx 0,757\).

Đáp án đúng là: A

Ta có bảng có giá trị đại diện

Độ ẩm	[71; 74)	[74; 77)	[77; 80)	[80; 83)	[83; 86)
Giá trị đại diện	72,5	75,5	78,5	81,5	84,5
Số tháng	1	1	2	6	2

Ta có \(\overline x = \frac{{1.72,5 + 1.75,5 + 2.78,5 + 6.81,5 + 2.84,5}}{{12}} = 80,25\).

Phương sai: \({S^2} = \frac{{1.72,{5^2} + 1.75,{5^2} + 2.78,{5^2} + 6.81,{5^2} + 2.84,{5^2}}}{{12}} - 80,{25^2} = 11,1875\).

Đáp án đúng là: B

Ta có bảng có giá trị đại diện

Quãng đường (km)	[2,7; 3,0)	[3,0; 3,3)	[3,3; 3,6)	[3,6; 3,9)	[3,9; 4,2)
Giá trị đại diện	2,85	3,15	3,45	3,75	4,05
Số ngày	3	6	5	4	2

Cỡ mẫu n = 20.

Ta có \(\overline x = \frac{{3.2,85 + 6.3,15 + 5.3,45 + 4.3,75 + 2.4,05}}{{20}} = 3,39\).

Phương sai: \({S^2} = \frac{{3.2,{{85}^2} + 6.3,{{15}^2} + 5.3,{{45}^2} + 4.3,{{75}^2} + 2.4,{{05}^2}}}{{20}} - 3,{39^2} = 0,1314\).

Độ lệch chuẩn: \(S = \sqrt {0,1314} \approx 0,36\).

Đáp án đúng là: B

Xét mẫu số liệu ghép nhóm M₁

Nhóm	[0; 2)	[2; 4)	[4; 6)	[6; 8)	[8; 10)
Giá trị đại diện	1	3	5	7	9
Tần số	1	2	10	15	2

Cỡ mẫu n = 30.

Có \(\overline x = \frac{{1.1 + 2.3 + 10.5 + 15.7 + 2.9}}{{30}} = 6\).

Phương sai \(s_1^2 = \frac{{{{1.1}^2} + {{2.3}^2} + {{10.5}^2} + {{15.7}^2} + {{2.9}^2}}}{{30}} - {6^2} = \frac{{43}}{{15}}\).

Mẫu số liệu ghép nhóm M₂

Nhóm	[0; 2)	[2; 4)	[4; 6)	[6; 8)	[8; 10)
Giá trị đại diện	1	3	5	7	9
Tần số	0	1	15	13	1

Cỡ mẫu n = 30.

Có \(\overline x = \frac{{0.1 + 1.3 + 15.5 + 13.7 + 1.9}}{{30}} = \frac{{89}}{{15}}\).

Phương sai \(s_2^2 = \frac{{{{0.1}^2} + {{1.3}^2} + {{15.5}^2} + {{13.7}^2} + {{1.9}^2}}}{{30}} - {\left( {\frac{{89}}{{15}}} \right)^2} = \frac{{344}}{{225}}\).

Suy ra \(s_1^2 = \frac{{15}}{8}s_2^2\).

Đáp án đúng là: D

Thời gian (giờ)	[5; 5,5)	[5,5; 6)	[6; 6,5)	[6,5; 7)	[7; 7,5)
Giá trị đại diện	5,25	5,75	6,25	6,75	7,25
Số chiệc điện thoại	2	8	15	10	5

Có \(\overline x = \frac{{2.5,25 + 8.5,75 + 15.6,25 + 10.6,75 + 5.7,25}}{{40}} = 6,35\).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:

\({s^2} = \frac{{2.5,{{25}^2} + 8.5,{{75}^2} + 15.6,{{25}^2} + 10.6,{{75}^2} + 5.7,{{25}^2}}}{{40}} - 6,{35^2} = 0,2775\).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \(s = \sqrt {0,2775} \approx 0,5268\).

Đáp án đúng là: C

Ta có bảng có giá trị đại diện

Độ cao (cm)	[160; 164)	[164; 168)	[168; 172)	[172; 176)	[176; 180)
Giá trị đại diện	162	166	170	174	178
Số học sinh	15	10	8	6	3

Cỡ mẫu n = 42.

Có \(\overline x = \frac{{15.162 + 10.166 + 8.170 + 6.174 + 3.178}}{{42}} = \frac{{502}}{3}\).

Phương sai:

\({s^2} = \frac{{{{15.162}^2} + {{10.166}^2} + {{8.170}^2} + {{6.174}^2} + {{3.178}^2}}}{{42}} - {\left( {\frac{{502}}{3}} \right)^2} = \frac{{1664}}{{63}} \approx 26,41\).

Đáp án đúng là: A

Dựa vào biểu đồ ta có bảng sau

Năng suất (tấn/ha)	[5,5; 5,7)	[5,7; 5,9)	[5,9; 6,1)	[6,1; 6,3)	[6,3; 6,5)	[6,5; 6,7)
Giá trị đại diện	5,6	5,8	6,0	6,2	6,4	6,6
Số thửa ruộng	3	4	6	5	5	2

Cỡ mẫu n = 25

Ta có \(\overline x = \frac{{3.5,6 + 4.5,8 + 6.6,0 + 5.6,2 + 5.6,4 + 2.6,6}}{{25}} = \frac{{761}}{{125}}\).

Phương sai \({s^2} = \frac{{3.5,{6^2} + 4.5,{8^2} + 6.6,{0^2} + 5.6,{2^2} + 5.6,{4^2} + 2.6,{6^2}}}{{25}} - {\left( {\frac{{761}}{{125}}} \right)^2} = \frac{{1354}}{{15625}}\).

Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt {\frac{{1354}}{{15625}}} \approx 0,294\).

Đáp án đúng là: A

Lợi nhuận theo tháng của nhà đầu tư nhỏ có giá trị đại diện

Lợi nhuận	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)
Giá trị đại diện	15	25	35	45	55
Số tháng	2	4	8	4	2

Cỡ mẫu n = 20

Có \({\overline x _A} = \frac{{2.15 + 4.25 + 8.35 + 4.45 + 2.55}}{{20}} = 35\).

Phương sai \(S_A^2 = \frac{{{{2.15}^2} + {{4.25}^2} + {{8.35}^2} + {{4.45}^2} + {{2.55}^2}}}{{20}} - {35^2} = 120\).

Độ lệch chuẩn \({S_A} = \sqrt {120} \approx 10,95\).

Lợi nhuận theo tháng của nhà đầu tư lớn có giá trị đại diện

Lợi nhuận	[510; 520)	[520; 530)	[530; 540)	[540; 550)	[550; 560)
Giá trị đại diện	515	525	535	545	555
Số tháng	4	3	6	3	4

Cỡ mẫu n = 20

Có \(\overline {{x_B}} = \frac{{4.515 + 3.525 + 6.535 + 3.545 + 4.555}}{{20}} = 535\).

Phương sai \(S_B^2 = \frac{{{{4.515}^2} + {{3.525}^2} + {{6.535}^2} + {{3.545}^2} + {{4.555}^2}}}{{20}} - {535^2} = 190\).

Độ lệch chuẩn \({S_B} = \sqrt {190} \approx 13,78\).

Độ lệch chuẩn cho lợi nhuận hàng tháng của nhà đầu tư lớn cao hơn của nhà đầu tư nhỏ. Lợi nhuận trung bình của hai nhà đầu tư khác nhau rất nhiều, do đó ta không nên dùng độ lệch chuẩn để so sánh mức độ rủi ro của hai nhà đầu tư này.