Trắc nghiệm Bài tập cuối chương II lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)
20 câu hỏi
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi O là tâm của hình lập phương. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {AO} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)\).
\(\overrightarrow {AO} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)\).
\(\overrightarrow {AO} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)\).
\(\overrightarrow {AO} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)\).
Đáp án đúng: B
Theo quy tắc hình hộp \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \) mà O là trung điểm của AC' nên \(\overrightarrow {AC'} = 2\overrightarrow {AO} \).
Do đó \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = 2\overrightarrow {AO} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AO} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)\).
Cho tứ diện ABCD. Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện?
1.
2.
3.
4.
Đáp án đúng: C
Ta có 3 vectơ: \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} \).
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2. Khi đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA} \) bằng
2.
\( - 2\sqrt 3 \).
\(2\sqrt 3 \).
−2.
Đáp án đúng: D
Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = - 2.2.\cos 60^\circ = - 2\).
Cho vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;3} \right)\). Tọa độ của vectơ \( - 3\overrightarrow u \) là:
(3; −3; 9).
(3; −3; −9).
(−3; 3; −9).
(3; 3; 9).
Đáp án đúng: C
\( - 3\overrightarrow u = \left( { - 3;3; - 9} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; −1; 5). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là
(3; 1; 5).
(3; −1; 5).
(−3; −1; 5).
(−3; 1; −5).
Đáp án đúng: B
\(\overrightarrow {OA} = \left( {3; - 1;5} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {\frac{1}{2};1; - 3} \right)\) và \(N\left( {\frac{1}{2}; - 2;4} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {MN} \).
(1; −1; 1).
(0; −3; 7).
(0; 3; −7).
\(\left( {\frac{1}{2}; - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).
Đáp án đúng: B
\(\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{2}; - 2 - 1;4 + 3} \right) = \left( {0; - 3;7} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−2; 1; 0), B(0; −2; 5), C(6; −2; 1). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) là
\(\sqrt {38} .\sqrt {52} \).
\( - \sqrt {38} .\sqrt {52} \).
8.
−8.
Đáp án đúng: D
Ta có\(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3;5} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {6;0; - 4} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 2.6 + \left( { - 3} \right).0 + 5.\left( { - 4} \right) = - 8\).
Trong không gian \[Oxyz\] tìm tọa độ của điểm \[A\] biết điểm \[A\] nằm trên tia \[Oy\] và \[OA = 3\].
\(A\left( {0;\,\,3;\,0} \right)\).
\(A\left( {1;\,\, - 3;\,0} \right)\).
\(A\left( {3;\,0;\,0} \right)\).
\(A\left( {0;\,\,0;\,3} \right)\).
Đáp án đúng: A
Ta có: \[A\] nằm trên tia \[Oy\] và \[OA = 3\] nên \[\overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow j \] suy ra \[A\left( {0;\,3;\,0} \right)\].
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), có \({M_1}\left( { - 1;0;0} \right),{M_2}\left( {0;2;0} \right),{M_3}\left( {0;0; - 3} \right)\)lần lượt là hình chiếu của \(M\) trên các trục \[Ox\,,\,Oy\,,\,Oz\], tọa độ điểm \(M\) là:
\({M_1}\left( {1; - 2;3} \right)\).
\({M_1}\left( { - 1;2;3} \right)\).
\({M_1}\left( { - 1;2; - 3} \right)\).
\({M_1}\left( { - 1; - 2;3} \right)\).
Đáp án đúng: C
\({M_1}\left( { - 1;0;0} \right),{M_2}\left( {0;2;0} \right),{M_3}\left( {0;0; - 3} \right)\)lần lượt là hình chiếu của \(M\) trên các trục \[Ox\,,\,Oy\,,\,Oz\] nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = {x_{{M_1}}} = - 1\\{y_M} = {y_{{M_1}}} = 2\\{z_M} = {z_{{M_1}}} = - 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1;2; - 3} \right)\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \[I\left( { - 5;0;5} \right)\] là trung điểm của đoạn \[MN\], biết \[M\left( {1; - 4;7} \right)\]. Tìmtọa độ của điểm \[N\].
\[N\left( { - 10;4;3} \right)\].
\[N\left( { - 11; - 4;3} \right)\].
\[N\left( { - 2; - 2;6} \right)\].
\[N\left( { - 11;4;3} \right)\].
Đáp án đúng: D
Ta có: \[I\left( { - 5;0;5} \right)\] là trung điểm của đoạn \[MN\] nên ta có
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_M} + {z_N}}}{2}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_I} - {x_M}\\{y_N} = 2{y_I} - {y_M}\\{z_N} = 2{z_I} - {z_M}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2\left( { - 5} \right) - 1\\{y_N} = 2.0 - \left( { - 4} \right)\\{z_N} = 2.5 - 7\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = - 11\\{y_N} = 4\\{z_N} = 3\end{array} \right.\]. Suy ra \[N\left( { - 11;4;3} \right)\].
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a và \(AA' = a\sqrt 2 \). Khi đó:
(a) \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \).
(b) Gọi M là trung điểm BC. Khi đó \(\overrightarrow {A'M} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {CM} \).
(c)\(\overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
(d) Góc giữa vectơ \(\overrightarrow {AB'} \) và \(\overrightarrow {BC'} \) bằng 60°.
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \).
b) Ta có \(\overrightarrow {A'M} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AM} \)\( = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} \)\( = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {MC} \)\( = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {CM} \).
c) \(\overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {CM} } \right).\overrightarrow {AC} \)\( = \overrightarrow {A'A} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {AC} \)
\( = - \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CA} \)\[ = \left| {\overrightarrow {AB} .} \right|\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) + \left| {\overrightarrow {CM} } \right|.\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {CM} ,\overrightarrow {CA} } \right)\]
\[ = {a^2}.\cos 60^\circ + \frac{{{a^2}}}{2}.\cos 60^\circ = \frac{{3{a^2}}}{4}\].
d) Ta có \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CC'} } \right)\)
\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} \)
\( = - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BB'} \)
\( = - \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) + {\left| {\overrightarrow {BB'} } \right|^2}\)
\( = - {a^2}.\cos 60^\circ + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}\)
\( = - \frac{{{a^2}}}{2} + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}\)\( = \frac{{3{a^2}}}{2}\).
Khi đó \(\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} }}{{\left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 3 .a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = 60^\circ \).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hình chóp \[ABCD\] có \[AB,AC,AD\] đôi một vuông góc, cạnh \[AB = AC = a\] ,\[M\] là trung điểm của \[CB\],\[H\] là trung điểm của \[MD\]. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?
(a) \(\overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {{\rm{CD}}} }}{{ - 2}}\).
(b) \(\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AD} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{4}\).
(c)\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH} = \frac{{{a^2}}}{4}\).
(d) Góc giữa vectơ \[\overrightarrow {AH} \] và \(\overrightarrow {BC} \) bằng \(60^\circ \).
![Cho hình chóp \[ABCD\] có \[AB,AC,AD\] đôi một vuông góc, cạnh \[AB = AC = a\] ,\[M\] là trung điểm của \[CB\],\[H\] là trung điểm của \[MD\]. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai? (a) \(\overri (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid2-1756605510.png)
a) \(\overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {{\rm{DC}}} }}{2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {{\rm{CD}}} }}{{ - 2}}\)
b) \(\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2}\),\(\overrightarrow {AM} = \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \frac{{\frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4}\)
c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} .(\frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4})\)\( = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{4}\)\( = \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{{a^2}}}{4}\)
d) \[\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \],\(\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4}\)
Vậy \[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = (\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ).(\frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4})\]
\[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} }}{4} - \frac{{\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} }}{2} - \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{4}\]
\[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} }}{4} - \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} }}{4} = 0\] .
Vậy góc giữa vectơ \[\overrightarrow {AH} \] và \(\overrightarrow {BC} \) bằng \(90^\circ \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {8;9;2} \right)\), \(B\left( {3;5;1} \right)\) và \(C\left( {11;10;4} \right)\).
(a) Điểm \(D\) thỏa mãn \(ABCD\) là hình bình hành có tọa độ là \(D\left( {6;6;3} \right)\)
(b) Độ dài trung tuyến \(AM\) bằng \(\frac{{\sqrt {14} }}{2}\).
(c) \(\widehat {BAC} = 30^\circ \).
(d) Điểm \(N\) thuộc mặt phẳng\(\left( {Oxy} \right)\) sao cho ba điểm \(A\), \(B\), \(N\) thẳng hàng có tọa độ là\(N\left( { - 2;1;0} \right)\)
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {DC} = \left( {11 - x;10 - y;4 - z} \right)\).
Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 = 11 - x\\ - 4 = 10 - y\\ - 1 = 4 - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 16\\y = 14\\z = 5.\end{array} \right.\)
Vậy \(D\left( {16;14;5} \right)\).
b) Tọa độ trung điểm \(M\) của \(BC\) là \(M\left( {7;\frac{{15}}{2};\frac{5}{2}} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( { - 1; - \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\). Suy ra \(AM = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\).
c) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)\); \(\overrightarrow {AC} = \left( {3;1;2} \right)\).
Ta có \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{\left( { - 5} \right).3 + \left( { - 4} \right).1 + \left( { - 1} \right).2}}{{\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2} + {2^2}} }} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra \(\widehat {BAC} = 150^\circ \).
d) Vì \(N \in \left( {Oxy} \right)\) nên \(N\left( {x;y;0} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)\); \(\overrightarrow {AN} = \left( {x - 8;y - 9; - 2} \right)\).
Vì 3 điểm \(A,B,N\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\overrightarrow {AN} \). Khi đó:
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 8}}{{ - 5}} = 2\\\frac{{y - 9}}{{ - 4}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 8 = - 10\\y - 9 = - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 1\end{array} \right.\]. Vậy \(N\left( { - 2;1;0} \right)\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; −1; 1), B(−1; 3; −1), C(5; −3; 4).
(a) Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) bằng −52.
(b) Góc ABC là góc tù.
(c) Với điểm D(2; 1; −1) thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
(d) Điểm E(1; 2; x) với ABE vuông tại B thì giá trị x = −6.
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;4; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {BC} = \left( {6; - 6;5} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \left( { - 3} \right).6 + 4.\left( { - 6} \right) + \left( { - 2} \right).5 = - 52\).
b) \(\cos \widehat {ABC} = \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}\)\( = \frac{{52}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{6^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {5^2}} }}\)\( = \frac{{52}}{{\sqrt {2813} }} > 0\).
Suy ra \(\widehat {ABC}\) là góc nhọn.
c) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;4; - 2} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {3; - 4;5} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \ne \overrightarrow {DC} \).
Do đó ABCD không là hình bình hành.
d) Ta có \(\overrightarrow {BE} = \left( {2; - 1;x + 1} \right)\).
Để ABE vuông tại B thì \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BE} = 0\)\( \Rightarrow - 6 - 4 - 2\left( {x + 1} \right) = 0 \Rightarrow x = - 6\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(3; 0; 0), B(0; −2; 0) và C(0; 0; −1).
(a) Điểm A thuộc trục hoành Ox.
(b) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;2;0} \right)\).
(c) Diện tích tam giác OAB bằng 3.
(d) Thể tích tứ diện OABC bằng 1.
a) A(3; 0; 0) Ox.
b) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 2;0} \right)\).
c) Ta có A Ox; B Oy nên tam giác OAB vuông tại O.
Diện tích tam giác OAB bằng \(S = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}\left| {{x_A}} \right|.\left| {{y_B}} \right| = 3\).
d) Ta có A Ox; B Oy; C Oz nên tứ diện OABC có OA; OB; OC đôi một vuông góc.
Suy ra \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{6}.3.2.1 = 1\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Một chiếc máy bay đang bay trong không gian Oxyz, với tọa độ hiện tại là M(40; 10; 40). Đường bay mong muốn của máy bay đi qua hai điểm A(0; 10; 0) và B(20; 0; 10). Hãy tìm khoảng cách ngắn nhất từ vị trí hiện tại của máy bay đến đường bay mong muốn này (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Gọi H(x; y; z) là hình chiếu của M trên đường thẳng AB.
Khi đó mind(M, AB) = MH.
Ta có \(\overrightarrow {MH} = \left( {x - 40;y - 10;z - 40} \right)\), \(\overrightarrow {AH} = \left( {x;y - 10;z} \right)\), \(\overrightarrow {AB} = \left( {20; - 10;10} \right)\).
Vì MH AB và vectơ \(\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {AB} \) cùng phương nên
\(\left\{ \begin{array}{l}20\left( {x - 40} \right) - 10\left( {y - 10} \right) + 10\left( {z - 40} \right) = 0\\\frac{x}{{20}} = \frac{{y - 10}}{{ - 10}} = \frac{z}{{10}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y + z - 110 = 0\\x = 2z\\y = 10 - z\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = - 10\\z = 20\end{array} \right.\).
Suy ra \(H\left( {40; - 10;20} \right) \Rightarrow MH = 20\sqrt 2 \approx 28,3\).
Trả lời:28,3.
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy km, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(1000; 600; 14) đến điểm N trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng Q(1400; 800; 16). Tính tổng hoành độ và tung độ của điểm N.
Gọi N(x; y; z).
Ta có \(\overrightarrow {MQ} = \left( {400;200;2} \right)\); \(\overrightarrow {NQ} = \left( {1400 - x;800 - y;16 - z} \right)\).
Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên \(\overrightarrow {MQ} \) và \(\overrightarrow {NQ} \) cùng hướng.
Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ M đến Q gấp 4 lần thời gian bay từ N đến Q nên MQ = 4NQ.
Suy ra \(\overrightarrow {MQ} = 4\overrightarrow {NQ} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}400 = 4\left( {1400 - x} \right)\\200 = 4\left( {800 - y} \right)\\2 = 4\left( {16 - z} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1300\\y = 750\\z = 15,5\end{array} \right.\)\( \Rightarrow N\left( {1300;750;15,5} \right)\).
Tổng hoành độ và tung độ của điểm N là: 1300 + 750 = 2050.
Trả lời:2050.
Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc 80° và có độ lớn đều bằng 50 N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc 60° và có độ lớn bằng 60 N. Độ lớn của hợp lực của ba lực trên đạt bao nhiêu Niutơn? (làm tròn đến hàng đơn vị).
Cả hai lực tạo với nhau một góc 80° là \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \), ta có \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 50N\).
Lực còn lại là \(\overrightarrow {{F_3}} \), ta có \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 60N\).
Gọi \(\overrightarrow F \) là hợp lực của ba lực trên ta có:
\(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}^2} + 2\left( {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) + \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_3}} } \right) + \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right)} \right)} \)
\( = \sqrt {{{50}^2} + {{50}^2} + {{60}^2} + 2\left( {50.50.\cos 80^\circ + 50.60.\cos 60^\circ + 60.50.\cos 60^\circ } \right)} \approx 124\) N.
Trả lời: 124.
Một trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao 80 m, sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi 500 km được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất sao cho trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam, trục Oz hướng thẳng đứng lên phía trên (tham khảo hình) (đơn vị trên mỗi trục tính theo km).
Một máy bay tại vị trí A cách mặt đất 10 km, cách 300 km về phía đông và 200 km về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu. Tính khoảng cách từ máy bay đến ra đa (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Theo giả thiết, ra đa ở vị trí có tọa độ B(0; 0; 0,08); điểm A(−300; −200; 10).
Vậy khoảng cách từ máy bay đến ra đa là:
\(BA = \sqrt {{{\left( { - 300 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 200 - 0} \right)}^2} + {{\left( {10 - 0,08} \right)}^2}} \approx 361\) km.
Trả lời: 361.
Một chiếc đèn trang trí hình tròn được treo song song với mặt phẳng trần nhà nằm ngang bởi ba sợi dây không giãn \(OA,\,OB,\,OC\) đôi một vuông góc (như hình vẽ dưới đây). Biết lực căng dây tương ứng trên mỗi dây \(OA,\,OB,\,OC\) lần lượt là \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} \) thỏa mãn \[\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 16\](N). Tính trọng lượng (đơn vị: N) của chiếc đèn đó. (Làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Ta có: \[P = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right|\].
Vẽ hình vuông \(OAEB\), ta có \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OE} \]. (Quy tắc hình bình hành)
Vẽ hình chữ nhật \(OCFE\), ta có \[\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OF} \]. (Quy tắc hình bình hành)
Suy ra: \[P = \left| {\overrightarrow {OF} } \right| = OF\].
Xét hình vuông \(OAEB\), cạnh \(16\), có đường chéo \(OE = 16\sqrt 2 \).
Xét tam giác vuông \(OEF\), vuông tại \(E\), có \(OF = \sqrt {O{E^2} + E{F^2}} = \sqrt {{{\left( {16\sqrt 2 } \right)}^2} + {{16}^2}} = 16\sqrt 3 \approx 27,7\)
Vậy \(P \approx 27,7\)(N).
Trả lời: 27,7.
