Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 2 lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Ta có \[\overrightarrow {AB}  = \left( {4;x - 5;2} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {6; - 3;y + 1} \right)\]

\(A,\,\,B,\,\,C\)thẳng hàng khi \[\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \] cùng phương \[ \Leftrightarrow \frac{4}{6} = \frac{{x - 5}}{{ - 3}} = \frac{2}{{y + 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6\left( {x - 5} \right) =  - 12\\4\left( {y + 1} \right) = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\]

Vậy  \(x + y = 5.\)

\(M \in Ox \Rightarrow M\left( {x;0;0} \right).\)

Ta có: \[\overrightarrow {MA}  = \left( {4 - x;2; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {MB}  = \left( {2 - x;1;0} \right)\]

\[M\] cách đều hai điểm \[A,\,\,B\] khi \[MA = MB \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {4 - x} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {2 - x} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}}  \Leftrightarrow x = 4.\]

Chọn B

A) Sai                B) Sai                               C) Đúng                  D) Đúng

Từ giả thiết, ta có \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b ;\,\,\,\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {DAC'} = \frac{1}{{\sqrt 3 }};\,\,\,\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {BAC'} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)

A) Giả sử \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow d \). Theo quy tắc hình bình hành thì \(\overrightarrow d  \ne \overrightarrow {AC'} \) .

Suy ra \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  \ne \overrightarrow c \).

B) \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = 10\sqrt 2 \) (đường chéo hình vuông cạnh bằng 10).

C) Ta có

\( \bullet \,{(\overrightarrow a  + \overrightarrow c )^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow {c\,}  + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} = {10^2} + 2.10.10\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} = 600\)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow c } \right| = \sqrt {600} \)

\( \bullet \,{(\overrightarrow b  + \overrightarrow c )^2} = {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\,\overrightarrow b .\,\overrightarrow {c\,}  + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} = {10^2} + 2.10.10.\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} = 600\)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right| = \sqrt {600} \)

Vậy \[\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow c } \right| = \left| {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right|.\]ĐÚNG.

D) Giả sử lực tổng hợp là \[\overrightarrow m \], tức là \[\overrightarrow m  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c .\] Do đó

\[\overrightarrow m  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c  \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} + {\overrightarrow c ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + 2\overrightarrow b .\overrightarrow c  + 2\overrightarrow c .\overrightarrow a \]

\[ \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {10^2} + {10^2} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} + 0 + 2.10.10\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} + 2.10.10\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = 900\]

\[ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow m } \right| = 30\]

Vậy cường độ hợp lực của \[\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \] và \[\overrightarrow c \]là \[30(N).\]

a) Đ

b) S

c) Đ

Gọi \(D\left( {x;\,\,y} \right)\). Khi đó $\overrightarrow{AB}=\left(-3;-1;-1\right)$, \(\overrightarrow {DC}  = \left( {1 - x;\,\,1 - y;\, - 2 - z\,} \right)\)

Vì \(ABCD\)là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 = 1 - x\\ - 1 = 1 - y\\ - 1 =  - 2 - z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 2\\z =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy \(D\left( {4;\,\,2;\,\, - 1} \right)\)

d) Đ

Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm tam giác \(ABC\).

Khi đó tọa độ điểm \(H\) thỏa mãn \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} \, = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 2z =  - 1\\x + 2y + 3z = 3\\x - 8y + 5z =  - 17\end{array} \right.\).

Suy ra \(H\left( {\frac{2}{{15}};\frac{{29}}{{15}}; - \frac{1}{3}} \right)\).

Vậy \[OH = \frac{{\sqrt {870} }}{{15}}\].

a) Ta có \(\vec u = m\vec i + 2\vec j - 3\vec k\)\( \Rightarrow \vec u = \left( {m;\,2;\, - 3} \right)\), \(\vec v = m\vec j + 2\vec i + 4\vec k\)\( \Rightarrow \vec v = \left( {2;\,m;\,4} \right)\).

Theo đề bài \(\vec u.\vec v = 8 \Rightarrow 2m + 2m - 3.4 = 8 \Leftrightarrow m = 5.\)

b) Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow u ;\,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }} =  - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow u ;\,\overrightarrow v } \right) = 120^\circ \).

c) Ta có: \(B\left( {2;0;0} \right)\), \(C'\left( {0;2;2} \right)\) nên \(\overrightarrow {BC'}  = \left( { - 2;2;2} \right)\).

\(A'\left( {0;0;2} \right)\), \(C\left( {0;2;0} \right)\) nên \(\overrightarrow {A'C}  = \left( {0;2; - 2} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {BC'} .\overrightarrow {A'C}  = 0\).

d) Công thức tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \), với \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \):\(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)

a) Đ;                  b) S;                       c) S;                   d) Đ.

a) Vì nền nhà là hình chữ nhật nên \[OACB\] là hình chữ nhật, suy ra \({x_A} = {x_B} = 4\), \({y_C} = {y_B} = 5\).

Do điểm \[A\] nằm trên trục \[Ox\] nên tọa độ điểm \[A\left( {4\,;\,0\,;\,0} \right)\]; điểm \[C\] nằm trên trục \[Oy\] nên tọa độ điểm \[C\left( {0;5;0} \right)\].

Tường nhà là hình chữ nhật nên \[OCHE\] là hình chữ nhật, suy ra \({y_H} = {y_c} = 5\), \({z_H} = {z_E} = 3\).

Do \[H\] nằm trên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] nên tọa độ điểm \[H\left( {0;5;3} \right)\].

Tứ giác \[OAFE\] là hình chữ nhật nên \({x_F} = {x_A} = 4\), \({z_F} = {z_E} = 3\)

Do \[H\] nằm trên mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\] nên tọa độ điểm \[F\left( {4;0;3} \right)\].

b) Ta có toạ độ vectơ \(\overrightarrow {AH}  = ( - 4\,;\,5\,;\,3)\).

c) Ta có \[\overrightarrow {AF}  = (0\,;0\,;3)\]. Suy ra \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AF}  = 0 + 0 + 9 = 9\).

d) Để tính góc đốc của mái nhà, ta tính số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng \[FG\], hai mặt lần lượt là \[\left( {FGQP} \right)\] và \[\left( {FGHE} \right)\].

Do mặt phẳng \[\left( {Ozx} \right)\] vuông góc với hai mặt phẳng \[\left( {FGQP} \right)\] và \[\left( {FGHE} \right)\] nên \(\widehat {PFE}\) là góc phẳng nhị diện cần tìm.

Ta có \(\overrightarrow {FP}  = ( - 2\,;\,0\,;\,1)\), \(\overrightarrow {FE}  = ( - 4\,;\,0\,;\,0)\) suy ra \(\cos \widehat {PFE} = \cos (\overrightarrow {FP} ,\overrightarrow {FE} ) = \frac{{\overrightarrow {FP} .\overrightarrow {FE} }}{{\left| {\overrightarrow {FP} } \right|.\left| {\overrightarrow {FE} } \right|}} = \frac{{( - 2)( - 4) + 0.0 + 1.0}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{{( - 4)}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

Do đó, \(\widehat {PFE} \approx 26,6^\circ \). Vậy góc đốc mái nhà khoảng \(26,6^\circ \).

ĐS: \(3,74\).

Ta có: \[{\left| {\vec a + \vec b} \right|^2} = {\left( {\vec a + \vec b} \right)^2} = {\left| {\vec a} \right|^2} + 2\vec a\vec b + {\left| {\vec b} \right|^2}\]\( \Rightarrow 2\vec a\vec b = {\left| {\vec a + \vec b} \right|^2} - {\left| {\vec a} \right|^2} - {\left| {\vec b} \right|^2} = 11\).

\[{\left| {\vec a - \vec b} \right|^2} = {\left( {\vec a - \vec b} \right)^2} = {\left| {\vec a} \right|^2} - 2\vec a\vec b + {\left| {\vec b} \right|^2} = 9 - 11 + 16 = 14\]\( \Rightarrow \left| {\vec a - \vec b} \right| = \sqrt {14}  \approx 3,74\).

ĐS: \(27,7\)

Ta có: \[P = \left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right|\].

Vẽ hình vuông \(OAEB\), ta có \[\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OE} \]. (Quy tắc hình bình hành)

Vẽ hình chữ nhật \(OCFE\), ta có \[\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OE}  = \overrightarrow {OF} \]. (Quy tắc hình bình hành)

Suy ra: \[P = \left| {\overrightarrow {OF} } \right| = OF\].

Xét hình vuông \(OAEB\), cạnh \(16\), có đường chéo \(OE = 16\sqrt 2 \).

Xét tam giác vuông \(OEF\), vuông tại \(E\), có \(OF = \sqrt {O{E^2} + E{F^2}}  = \sqrt {{{\left( {16\sqrt 2 } \right)}^2} + {{16}^2}}  = 16\sqrt 3  \approx 27,7\)

Vậy \(P \approx 27,7\)(N).

Do điểm \(M \in {\rm{Ox}}\) nên ta gọi \(M\left( {x;0;0} \right)\) ta có \(MB = MC \Leftrightarrow M{B^2} = M{C^2}\).

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {1^2} + {0^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {4^2} + {5^2} \Leftrightarrow {x^2} - 4{\rm{x}} + 5 = {x^2} - 2{\rm{x}} + 42 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 37}}{2}.\)

Vậy \(M\left( { - \frac{{37}}{2};0;0} \right) \Rightarrow \,2x + y + z =  - 37\).

Ta có: \({\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 16 - 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos 120^\circ  + 9 = 37\)

Tương tự \({\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 16 + 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos 120^\circ  + 9 = 13\)

Do đó \(A = \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {37}  + \sqrt {13}  \approx \,9,69\).

Trả lời: \(6\)

Trong mặt phẳng \(OQNF\):

Qua điểm \[{K_0}\] kẻ đường thẳng song song với \(NQ\), đường thẳng này cắt \(OQ,NF\)lần lượt tại \({Q_0};{N_0}\). Khi đó: \({Q_0}\left( {0;0;25} \right);{N_0}\left( {90;120;25} \right)\).

Trung điểm \[{K_0}\] của \({Q_0}{N_0}\) có tọa độ: \({K_0}\left( {45;60;25} \right)\).

Qua điểm \[{K_1}\] kẻ đường thẳng song song với \(NQ\), đường thẳng này cắt \(OQ,NF\)lần lượt tại \({Q_1};{N_1}\). Khi đó: \({Q_1}\left( {0;0;19} \right);{N_1}\left( {90;120;19} \right)\).

Trung điểm \[{K_1}\] của \({Q_1}{N_1}\) có tọa độ: \({K_1}\left( {45;60;19} \right)\).

Khi đó: \(\overrightarrow {{K_0}{K_1}}  = \left( {0;0; - 6} \right)\)\( \Rightarrow P = a + b - c = 6\).

Trả lời: \(2\)

Đặt \(\overrightarrow {OA}  = \vec a,\overrightarrow {OB}  = \vec b,\overrightarrow {OC}  = \vec c\).

Khi đó, \(\left| {\vec a\left|  =  \right|\vec b\left|  =  \right|\vec c} \right| = 1\) và \(\vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot \vec c = \vec b \cdot \vec c = 0\).

Ta có: \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OM}  \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} \left|  \cdot  \right|\overrightarrow {AC} } \right|}}\).

Mặt khác, do \(\overrightarrow {OM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b} \right)\)

và \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OA}  = \vec c - \vec a\) nên \(\overrightarrow {OM}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b} \right) \cdot \left( {\vec c - \vec a} \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\vec a \cdot \vec c - {{\vec a}^2} + \vec b \cdot \vec c - \vec b \cdot \vec a} \right) =  - \frac{1}{2}.\)

Ta lại có: \[\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = \sqrt 2 \].

Do đó, \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OM}  \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} \left|  \cdot  \right|\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\frac{{ - 1}}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{ - 1}}{2}\).

Vậy \(Q = a.b = 2\).