Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 2 lớp 12 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho tứ diện ABCD. Có bao nhiêu véctơ có điểm đầu là \(A\) và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện.
\(1\).
\(2\)
\(3\).
\(4\).
Ba véc tơ: \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \).
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Hai véc tơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng\(\left( {ABCD} \right)\).
\[\overrightarrow {DD'} ,\overrightarrow {AC} \].
\(\overrightarrow {AD'} ,\overrightarrow {AD} \)
\(\overrightarrow {AD'} ,\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \).
Hai véc tơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) có giá cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là \[a\]. Hai véc tơ nào có cùng độ dài.
\[\overrightarrow {DD'} ,\overrightarrow {AC} \].
\(\overrightarrow {AD'} ,\overrightarrow {AD} \)
\(\overrightarrow {AD'} ,\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \).
Vì \(\left| {\overrightarrow {AD'} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 2 \) nên hai véc tơ có cùng độ dài là \(\overrightarrow {AD'} ,\overrightarrow {AC} \).
Cho hình lập phương ABCD . A ′B ′C ′D ′ có cạnh là \[a\]. Véc tơ nào bằng véc tơ D'C'→
DD'→
\(\overrightarrow {AD} \)
\(\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {CD} \).
Vì véc tơ \(\overrightarrow {AB} \)có cùng hướng và cùng độ dài với véc tơ \(\overrightarrow {D'C'} \)nên: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {D'C'} \).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1\,;\, - 1\,;\,2} \right)\)và \(B\left( {2\,;\,1\,;\, - 4} \right)\). Véctơ \(\overrightarrow {AB} \) có tọa độlà
\(\left( {1\,;\,2\,;\, - 6} \right)\).
\(\left( {1\,;\,0\,;\, - 6} \right)\).
\(\left( { - 1\,;\, - 2\,;\,6} \right)\).
\(\left( {3\,;\,0\,;\, - 2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1\,;\,1 - \left( { - 1} \right)\,;\, - 4 - 2} \right) = \left( {1\,;\,2\,;\, - 6} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho biểu diễn của vectơ \(\overrightarrow a \) qua các vectơ đơn vị là \(\overrightarrow a = 2\overrightarrow i + \overrightarrow k - 3\overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \)là
\[\left( {2;\, - 3;\,1} \right)\].
\(\left( {1;\, - 3;\,2} \right)\).
\[\left( {2;\,1;\, - 3} \right)\].
\[\left( {1;\,2;\, - 3} \right)\].
Ta có: \(\overrightarrow a = 2\overrightarrow i + \overrightarrow k - 3\overrightarrow j = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + 1.\overrightarrow k \)\( \Rightarrow \overrightarrow a = \left( {2; - 3;1} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình bình hành ABCD và các đỉnh có toạ độ lần lượt là \(A\left( {3;1;2} \right),B\left( {1;0;1} \right),C\left( {2;3;0} \right)\). Tọa độ đỉnh \(D\) là
\(D\left( {1;1;0} \right)\).
\(D\left( {0;2; - 1} \right)\).
\(D\left( {4;4;1} \right)\).
\(D\left( {1;3; - 1} \right)\).
Ta có \(ABCD\) là hình bình hành suy ra \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} - 3 = 1\\{y_D} - 1 = 3\\{z_D} - 2 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 4\\{y_D} = 4\\{z_D} = 1\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {4;4;1} \right).\)
Trong không gia Oxyz, cho véctơ \(\overrightarrow a = \left( { - 3;2;1} \right)\) và điểm \(A\left( {4;6; - 3} \right)\). Tọa độ điểm \(B\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \) là
\(\left( { - 1; - 8;2} \right)\).
\(\left( {7;4; - 4} \right)\).
\(\left( {1;8; - 2} \right)\).
\(\left( { - 7; - 4;4} \right)\).
Gọi \(B\left( {x;y;z} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {x - 4;y - 6;z + 3} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = - 3\\y - 6 = 2\\z + 3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 8\\z = - 2\end{array} \right.\).
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\vec a = \left( {1;2;3} \right),\,\,\vec b = \left( { - 2;0;1} \right),\,\,\vec c = \left( { - 1;0;1} \right).\)Tìm tọa độ của vectơ \[\,\vec n = \vec a + \vec b + 2\vec c - 3\vec i.\]
\[\vec n = \left( {6;2;6} \right).\]
\[\vec n = \left( {6;2; - 6} \right).\]
\[\vec n = \left( {0;2;6} \right).\]
\[\vec n = \left( { - 6;2;6} \right).\]
CHỌN D
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {3;5; - 1} \right),\,\,B\left( {7;x;1} \right)\)và \(C\left( {9;2;y} \right).\) Để \(A,\,\,B,\,\,C\)thẳng hàng thì giá trị \(x + y\) bằng
\(5.\)
\(6.\)
\(4.\)
\(7.\)
Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {4;x - 5;2} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {6; - 3;y + 1} \right)\]
\(A,\,\,B,\,\,C\)thẳng hàng khi \[\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \] cùng phương \[ \Leftrightarrow \frac{4}{6} = \frac{{x - 5}}{{ - 3}} = \frac{2}{{y + 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6\left( {x - 5} \right) = - 12\\4\left( {y + 1} \right) = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\]
Vậy \(x + y = 5.\)
Trong không gian Oxyz, điểm \(M\)thuộc trục \(Ox\) và cách đều hai điểm \(A\left( {4;2; - 1} \right)\)và \(B\left( {2;1;0} \right)\) là
\(M\left( { - 4;0;0} \right).\)
\(M\left( {5;0;0} \right).\)
\(M\left( {4;0;0} \right).\)
\(M\left( { - 5;0;0} \right).\)
\(M \in Ox \Rightarrow M\left( {x;0;0} \right).\)
Ta có: \[\overrightarrow {MA} = \left( {4 - x;2; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {MB} = \left( {2 - x;1;0} \right)\]
\[M\] cách đều hai điểm \[A,\,\,B\] khi \[MA = MB \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {4 - x} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2 - x} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} \Leftrightarrow x = 4.\]
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;3;4} \right),\,\,B\left( {1;0; - 2} \right)\)và \(C\left( {4;0;1} \right).\) Tọa độ trọng tâm \(G\)của tam giác ABC là
\(G\left( {3;0;2} \right).\)
\(G\left( {2;1;1} \right).\)
\(G\left( {1;1;3} \right).\)
\(G\left( {3;0; - 1} \right).\)
Chọn B
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Một chất điểm ở vị trí đỉnh \(A\) của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chất điểm chịu tác động bởi ba lực \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) lần lượt cùng hướng với \(\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC'} \) như hình vẽ. Độ lớn của các lực \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \)và \(\overrightarrow c \) tương ứng là \(10{\rm N},\,\,10{\rm N}\) và \(10\sqrt 3 {\rm N}.\)
Xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau đây:
A. \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow c \).
B. \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 20\left( {\rm N} \right)\).
C. \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow c } \right| = \left| {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right|\).
D. \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right| = 30\left( {\rm N} \right)\)
(làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
A) Sai B) Sai C) Đúng D) Đúng
Từ giả thiết, ta có \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b ;\,\,\,\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {DAC'} = \frac{1}{{\sqrt 3 }};\,\,\,\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {BAC'} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)
A) Giả sử \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow d \). Theo quy tắc hình bình hành thì \(\overrightarrow d \ne \overrightarrow {AC'} \) .
Suy ra \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \ne \overrightarrow c \).
B) \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 10\sqrt 2 \) (đường chéo hình vuông cạnh bằng 10).
C) Ta có
\( \bullet \,{(\overrightarrow a + \overrightarrow c )^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow {c\,} + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} = {10^2} + 2.10.10\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} = 600\)
Suy ra \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow c } \right| = \sqrt {600} \)
\( \bullet \,{(\overrightarrow b + \overrightarrow c )^2} = {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\,\overrightarrow b .\,\overrightarrow {c\,} + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} = {10^2} + 2.10.10.\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} = 600\)
Suy ra \(\left| {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right| = \sqrt {600} \)
Vậy \[\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow c } \right| = \left| {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right|.\]ĐÚNG.
D) Giả sử lực tổng hợp là \[\overrightarrow m \], tức là \[\overrightarrow m = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c .\] Do đó
\[\overrightarrow m = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)^2}\]
\[ \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} + {\overrightarrow c ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + 2\overrightarrow b .\overrightarrow c + 2\overrightarrow c .\overrightarrow a \]
\[ \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {10^2} + {10^2} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} + 0 + 2.10.10\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} + 2.10.10\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = 900\]
\[ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow m } \right| = 30\]
Vậy cường độ hợp lực của \[\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \] và \[\overrightarrow c \]là \[30(N).\]
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm\(A\left( {2;3;1} \right)\), \(B\left( { - 1;2;0} \right)\),\(C\left( {1;1; - 2} \right)\) . Phát biêủ dưới đây đúng hay sai
a) \(\overrightarrow {OA} = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j + \overrightarrow k \)
b) \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;\,\, - 1;\,\, - 1} \right)\)
c) Gọi \(D\)là điểm sao cho \(ABCD\)là hình bình hành. Khi đó \(D\left( {4;\,\,2;\,\, - 1} \right)\)\(\)
d) \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\), khi đó, độ dài đoạn \(OH\) bằng \[\frac{{\sqrt {870} }}{{15}}.\]
a) Đ
b) S
c) Đ
Gọi \(D\left( {x;\,\,y} \right)\). Khi đó AB→=−3; −1; −1, \(\overrightarrow {DC} = \left( {1 - x;\,\,1 - y;\, - 2 - z\,} \right)\)
Vì \(ABCD\)là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 = 1 - x\\ - 1 = 1 - y\\ - 1 = - 2 - z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 2\\z = - 1\end{array} \right.\)
Vậy \(D\left( {4;\,\,2;\,\, - 1} \right)\)
d) Đ
Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm tam giác \(ABC\).
Khi đó tọa độ điểm \(H\) thỏa mãn \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} \, = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 2z = - 1\\x + 2y + 3z = 3\\x - 8y + 5z = - 17\end{array} \right.\).
Suy ra \(H\left( {\frac{2}{{15}};\frac{{29}}{{15}}; - \frac{1}{3}} \right)\).
Vậy \[OH = \frac{{\sqrt {870} }}{{15}}\].
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 vectơ \(\vec u = m\vec i + 2\vec j - 3\vec k,\,\,\,\vec v = m\vec j + 2\vec i + 4\vec k\). Biết rằng \(\vec u.\vec v = 8\), khi đó giá trị của \(m\) bằng 5.
b) Trong không gian \(Oxyz\), cho hai véctơ \[\overrightarrow u = \left( {1;\, - 2;\,1} \right)\] và \(\overrightarrow v = \left( { - 2;\,1;\,1} \right)\), góc giữa hai vectơ đã cho bằng \(60^\circ \).
c) Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {2;0;0} \right)\), \(C\left( {0;2;0} \right)\) và \(A'\left( {0;0;2} \right)\). Góc giữa \(BC'\) và \(A'C\) là \(90^\circ \).
d) Trong không gian \(Oxyz\), gọi \(\varphi \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \), với \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \), khi đó \(\cos \varphi \) bằng\(\frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}\).
a) Đ | b) S | c) Đ | d) S |
a) Ta có \(\vec u = m\vec i + 2\vec j - 3\vec k\)\( \Rightarrow \vec u = \left( {m;\,2;\, - 3} \right)\), \(\vec v = m\vec j + 2\vec i + 4\vec k\)\( \Rightarrow \vec v = \left( {2;\,m;\,4} \right)\).
Theo đề bài \(\vec u.\vec v = 8 \Rightarrow 2m + 2m - 3.4 = 8 \Leftrightarrow m = 5.\)
b) Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow u ;\,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow u ;\,\overrightarrow v } \right) = 120^\circ \).
c) Ta có: \(B\left( {2;0;0} \right)\), \(C'\left( {0;2;2} \right)\) nên \(\overrightarrow {BC'} = \left( { - 2;2;2} \right)\).
\(A'\left( {0;0;2} \right)\), \(C\left( {0;2;0} \right)\) nên \(\overrightarrow {A'C} = \left( {0;2; - 2} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {BC'} .\overrightarrow {A'C} = 0\).
d) Công thức tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \), với \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \):\(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)
Hình minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong không gian Oxyz, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật.
Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:
a) Toạ độ điểm \(F(4\,;\,0\,;3)\).
b) Toạ độ vectơ \(\overrightarrow {AH} = (4\,;\,5\,;\,3)\).
c) \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AF} = 3\).
d) Góc đốc của mái nhà, tức là số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng \[FG\], hai mặt lần lượt là \[\left( {FGQP} \right)\] và \[\left( {FGHE} \right)\] bằng \(26,6^\circ \)(làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
a) Đ; b) S; c) S; d) Đ.
a) Vì nền nhà là hình chữ nhật nên \[OACB\] là hình chữ nhật, suy ra \({x_A} = {x_B} = 4\), \({y_C} = {y_B} = 5\).
Do điểm \[A\] nằm trên trục \[Ox\] nên tọa độ điểm \[A\left( {4\,;\,0\,;\,0} \right)\]; điểm \[C\] nằm trên trục \[Oy\] nên tọa độ điểm \[C\left( {0;5;0} \right)\].
Tường nhà là hình chữ nhật nên \[OCHE\] là hình chữ nhật, suy ra \({y_H} = {y_c} = 5\), \({z_H} = {z_E} = 3\).
Do \[H\] nằm trên mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] nên tọa độ điểm \[H\left( {0;5;3} \right)\].
Tứ giác \[OAFE\] là hình chữ nhật nên \({x_F} = {x_A} = 4\), \({z_F} = {z_E} = 3\)
Do \[H\] nằm trên mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\] nên tọa độ điểm \[F\left( {4;0;3} \right)\].
b) Ta có toạ độ vectơ \(\overrightarrow {AH} = ( - 4\,;\,5\,;\,3)\).
c) Ta có \[\overrightarrow {AF} = (0\,;0\,;3)\]. Suy ra \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AF} = 0 + 0 + 9 = 9\).
d) Để tính góc đốc của mái nhà, ta tính số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng \[FG\], hai mặt lần lượt là \[\left( {FGQP} \right)\] và \[\left( {FGHE} \right)\].
Do mặt phẳng \[\left( {Ozx} \right)\] vuông góc với hai mặt phẳng \[\left( {FGQP} \right)\] và \[\left( {FGHE} \right)\] nên \(\widehat {PFE}\) là góc phẳng nhị diện cần tìm.
Ta có \(\overrightarrow {FP} = ( - 2\,;\,0\,;\,1)\), \(\overrightarrow {FE} = ( - 4\,;\,0\,;\,0)\) suy ra \(\cos \widehat {PFE} = \cos (\overrightarrow {FP} ,\overrightarrow {FE} ) = \frac{{\overrightarrow {FP} .\overrightarrow {FE} }}{{\left| {\overrightarrow {FP} } \right|.\left| {\overrightarrow {FE} } \right|}} = \frac{{( - 2)( - 4) + 0.0 + 1.0}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{{( - 4)}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)
Do đó, \(\widehat {PFE} \approx 26,6^\circ \). Vậy góc đốc mái nhà khoảng \(26,6^\circ \).
Phần III. Câu hỏi trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho hai vectơ \(\vec a,\,\vec b\) thỏa mãn: \(\left| {\vec a} \right| = 3,\,\left| {\vec b} \right| = 4,\,\left| {\vec a + \vec b} \right| = 6\). Tính \(\left| {\vec a - \vec b} \right|\). (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
ĐS: \(3,74\).
Ta có: \[{\left| {\vec a + \vec b} \right|^2} = {\left( {\vec a + \vec b} \right)^2} = {\left| {\vec a} \right|^2} + 2\vec a\vec b + {\left| {\vec b} \right|^2}\]\( \Rightarrow 2\vec a\vec b = {\left| {\vec a + \vec b} \right|^2} - {\left| {\vec a} \right|^2} - {\left| {\vec b} \right|^2} = 11\).
\[{\left| {\vec a - \vec b} \right|^2} = {\left( {\vec a - \vec b} \right)^2} = {\left| {\vec a} \right|^2} - 2\vec a\vec b + {\left| {\vec b} \right|^2} = 9 - 11 + 16 = 14\]\( \Rightarrow \left| {\vec a - \vec b} \right| = \sqrt {14} \approx 3,74\).
Một chiếc đèn trang trí hình tròn được treo song song với mặt phẳng trần nhà nằm ngang bởi ba sợi dây không giãn \(OA,\,OB,\,OC\) đôi một vuông góc (như hình vẽ dưới đây). Biết lực căng dây tương ứng trên mỗi dây \(OA,\,OB,\,OC\) lần lượt là \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} \) thỏa mãn \[\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 16\](N). Tính trọng lượng (đơn vị: N) của chiếc đèn đó. (Làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
ĐS: \(27,7\)
Ta có: \[P = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right|\].
Vẽ hình vuông \(OAEB\), ta có \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OE} \]. (Quy tắc hình bình hành)
Vẽ hình chữ nhật \(OCFE\), ta có \[\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OF} \]. (Quy tắc hình bình hành)
Suy ra: \[P = \left| {\overrightarrow {OF} } \right| = OF\].
Xét hình vuông \(OAEB\), cạnh \(16\), có đường chéo \(OE = 16\sqrt 2 \).
Xét tam giác vuông \(OEF\), vuông tại \(E\), có \(OF = \sqrt {O{E^2} + E{F^2}} = \sqrt {{{\left( {16\sqrt 2 } \right)}^2} + {{16}^2}} = 16\sqrt 3 \approx 27,7\)
Vậy \(P \approx 27,7\)(N).
Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm \(\,B\left( {2;1;0} \right);\,\,C\left( {1;4;5} \right).\)Điểm \(M(x;y;z)\) thuộc trục hoành sao cho \(MB = MC\). Khi đó giá trị \(2x + y + z\)bằng bao nhiêu?
Do điểm \(M \in {\rm{Ox}}\) nên ta gọi \(M\left( {x;0;0} \right)\) ta có \(MB = MC \Leftrightarrow M{B^2} = M{C^2}\).
\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {1^2} + {0^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {4^2} + {5^2} \Leftrightarrow {x^2} - 4{\rm{x}} + 5 = {x^2} - 2{\rm{x}} + 42 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 37}}{2}.\)
Vậy \(M\left( { - \frac{{37}}{2};0;0} \right) \Rightarrow \,2x + y + z = - 37\).
Trong không gian tọa độ Oxyz cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) tạo với nhau một góc \(120^\circ \). Biết rằng \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 4\,;\,\,\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\), tính giá trị của biểu thức \(A = \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|\) ( làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Ta có: \({\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 16 - 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos 120^\circ + 9 = 37\)
Tương tự \({\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 16 + 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos 120^\circ + 9 = 13\)
Do đó \(A = \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {37} + \sqrt {13} \approx \,9,69\).
Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao \(30{\rm{\;m}}\) và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn.
Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục toạ độ \(Oxyz\) (đơn vị độ dài trên mỗi trục là \(1{\rm{\;m}})\), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm \(M\left( {90;0;30} \right)\), \(N\left( {90;120;30} \right),P\left( {0;120;30} \right),Q\left( {0;0;30} \right)\).
Giả sử \({K_0}\) là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và \({K_0}M = {K_0}N = {K_0}P = {K_0}Q\). Để theo dõi quả bóng đến vị trí \(A\), camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm \({K_1}\) cao độ bằng 19.
Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {{K_0}{K_1}} = \left( {a;b;c} \right)\)với \(a,b,c\) là các số thực. Tính \(P = a + b - c\)?
Trả lời: \(6\)
Trong mặt phẳng \(OQNF\):
Qua điểm \[{K_0}\] kẻ đường thẳng song song với \(NQ\), đường thẳng này cắt \(OQ,NF\)lần lượt tại \({Q_0};{N_0}\). Khi đó: \({Q_0}\left( {0;0;25} \right);{N_0}\left( {90;120;25} \right)\).
Trung điểm \[{K_0}\] của \({Q_0}{N_0}\) có tọa độ: \({K_0}\left( {45;60;25} \right)\).
Qua điểm \[{K_1}\] kẻ đường thẳng song song với \(NQ\), đường thẳng này cắt \(OQ,NF\)lần lượt tại \({Q_1};{N_1}\). Khi đó: \({Q_1}\left( {0;0;19} \right);{N_1}\left( {90;120;19} \right)\).
Trung điểm \[{K_1}\] của \({Q_1}{N_1}\) có tọa độ: \({K_1}\left( {45;60;19} \right)\).
Khi đó: \(\overrightarrow {{K_0}{K_1}} = \left( {0;0; - 6} \right)\)\( \Rightarrow P = a + b - c = 6\).
Cho tứ diện OABC có các cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Cô sin góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {AC} \) bằng \( - \frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(Q = a.b\)?
Trả lời: \(2\)
Đặt \(\overrightarrow {OA} = \vec a,\overrightarrow {OB} = \vec b,\overrightarrow {OC} = \vec c\).
Khi đó, \(\left| {\vec a\left| = \right|\vec b\left| = \right|\vec c} \right| = 1\) và \(\vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot \vec c = \vec b \cdot \vec c = 0\).
Ta có: \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} \left| \cdot \right|\overrightarrow {AC} } \right|}}\).
Mặt khác, do \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b} \right)\)
và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} = \vec c - \vec a\) nên \(\overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b} \right) \cdot \left( {\vec c - \vec a} \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\vec a \cdot \vec c - {{\vec a}^2} + \vec b \cdot \vec c - \vec b \cdot \vec a} \right) = - \frac{1}{2}.\)
Ta lại có: \[\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = \sqrt 2 \].
Do đó, \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} \left| \cdot \right|\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\frac{{ - 1}}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{ - 1}}{2}\).
Vậy \(Q = a.b = 2\).
