Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 2 lớp 12 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
\(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \).
\(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \).
Với \[O\] là trung điểm của \[AC\], ta có \[\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \].
Với \[O\] là trung điểm của \[BD\], ta có \[\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \].
Từ đó suy ra \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \) và \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \).
\[\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} \].
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} + 2\overrightarrow {CB} \).
\({a^2}\).
\[\frac{1}{2}{a^2}\].
\[\frac{3}{2}{a^2}\].
\[\frac{3}{4}{a^2}\].
Ta có: \[\overrightarrow {{B_1}M} .\overrightarrow {B{D_1}} = \left( {\overrightarrow {{B_1}B} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AM} } \right)\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {D{D_1}} } \right)\]
\[\begin{array}{l} = \overrightarrow {{B_1}B} .\overrightarrow {D{D_1}} + {\overrightarrow {BA} ^2} + \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AD} \\ = - {a^2} + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}\\ = \frac{{{a^2}}}{2}\end{array}\]
\(\left( {3;1;5} \right)\).
\(\left( {3; - 1;5} \right)\).
\(\left( { - 3; - 1;5} \right)\).
\(\left( { - 3;1; - 5} \right)\).
\(\left( {1; - 1;1} \right)\).
\(\left( {0; - 3;7} \right)\).
\(\left( {0;3; - 7} \right)\).
\(\left( {\frac{1}{2}; - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).
Áp dụng định lí: trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\). Khi đó, ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)\].
Ta có: \[\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{2};\left( { - 2} \right) - 1;4 - \left( { - 3} \right)} \right) = \left( {0; - 3;7} \right)\].
\(5.\)
\(6.\)
\(4.\)
\(7.\)
Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {4;x - 5;2} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {6; - 3;y + 1} \right)\]
\(A,\,\,B,\,\,C\)thẳng hàng khi \[\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \] cùng phương \[ \Leftrightarrow \frac{4}{6} = \frac{{x - 5}}{{ - 3}} = \frac{2}{{y + 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6\left( {x - 5} \right) = - 12\\4\left( {y + 1} \right) = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\]
Vậy \(x + y = 5.\)
\(\left( {3;3;3} \right)\).
\(\left( {3; - 3;3} \right)\).
\(\left( { - 3;3;3} \right)\).
\(\left( { - 3; - 3;3} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Vậy \(3\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 3;3} \right)\).
\(\sqrt {10} \).
\(\sqrt {11} + 3\).
\(3\sqrt 2 \).
\(5\).
Có \(\overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {4;1; - 1} \right)\).
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow u + \overrightarrow v \) là: \(\left| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right| = \sqrt {{4^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 3\sqrt 2 \).
\(\sqrt {38} .\sqrt {52} \).
\( - \sqrt {38} .\sqrt {52} \).
\(8\).
\( - 8\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {2;\, - 3;\,5} \right)\), \(\overrightarrow {BC} = \left( {6;\,0;\, - 4} \right)\).
Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) là: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 2 \cdot 6 + \left( { - 3} \right) \cdot 0 + 5 \cdot \left( { - 4} \right) = - 8\).
\(A'\left( {3;4; - 3} \right)\).
\(A'\left( { - 4;3;1} \right)\).
\(A'\left( {4; - 3;3} \right)\).
\(A'\left( {4;33} \right)\).
Vì\[A'\] đối xứng với \(A\) qua \(B\) nên \(B\) là trung điểm của \[AA'\].
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = \frac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\\{y_B} = \frac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}\\{z_B} = \frac{{{z_A} + {z_{A'}}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_B} - {x_A} = 2.\left( { - 1} \right) - 2 = - 4\\{y_{A'}} = 2{y_B} - {y_A} = 2.2 - 1 = 3\\{z_{A'}} = 2{z_B} - {z_A} = 2.1 - 1 = 1\end{array} \right.\).
Vậy \(A'\left( { - 4;3;1} \right)\).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\(P\left( {2\,;\, - 1\,;\,4} \right)\).
\(\left( {4\,;\, - 2\,;\,4} \right)\).
\(\left( {2\,;\, - 1\,;\,2} \right)\).
\(P\left( {8\,;\, - 4\,;\,10} \right)\).
Vì \(N\) là trung điểm của \(MP\) nên
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_N} = \frac{{{x_M} + {x_P}}}{2}}\\{{y_N} = \frac{{{y_M} + {y_P}}}{2}}\\{{z_N} = \frac{{{z_M} + {z_P}}}{2}}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 = \frac{{0 + {x_P}}}{2}}\\{ - 2 = \frac{{0 + {y_P}}}{2}}\\{6 = \frac{{2 + {z_P}}}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_P} = 8\,\,}\\{{y_P} = - 4}\\{{z_P} = 10}\end{array}} \right.\)
Vậy \(P\left( {8\,;\, - 4\,;\,10} \right)\).
\(\left( {0;2} \right).\)
\(\left( {0;6} \right).\)
\(\left( {2;0} \right).\)
\(\left( {0; - 2} \right).\)
\[\left( {700;500;30} \right)\].
\[\left( {900;650;55} \right)\].
\[\left( {900;550;35} \right)\].
\[\left( {800;540;30} \right)\].
Gọi \(Q\left( {x;y;z} \right)\) là tọa độ của máy bay sau 15 phút tiếp theo.
\(\overrightarrow {MN} = \left( {200;100;10} \right)\)
\(\overrightarrow {NQ} = \left( {x - 800;y - 500;z - 30} \right)\)
Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {NQ} \) cùng hướng.
Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ \(M \to N\) gấp 2 lần thời gian bay từ \(N \to Q\) nên \(MN = 2NQ\)
Suy ra \[\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {NQ} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}200 = 2\left( {x - 800} \right)\\100 = 2\left( {y - 500} \right)\\10 = 2\left( {z - 30} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 900\\y = 550\\z = 35\end{array} \right. \Rightarrow Q\left( {900;550;35} \right)\]
Tọa độ của máy bay sau 15 phút tiếp theo là \[\left( {900;550;35} \right)\]
![Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có \[AB = a\] và \[AA' = a\sqrt 2 \]. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/3-1759377354.png)
a) Đúng.
b) Đúng.
Ta có: \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {A'M} \)
c) Sai.
Ta có: \(\overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AM} } \right).\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'A} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a.\cos 30^\circ = \frac{{3{a^2}}}{4}\)
d) Đúng.
Ta có \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CC'} } \right)\)\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} \)
\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} \)\( = - \frac{{{a^2}}}{2} + 0 + 0 + 2{a^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\)
Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} }}{{\left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}}\)\( = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 3 .a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = 60^\circ \)
a) Đúng.
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;3; - 2} \right)\).
b) Đúng.
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{2}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{2}{3}\end{array} \right.\).
c) Sai.
Tọa độ hình chiếu của điểm \(B\left( {2;1; - 2} \right)\) trên mặt phẳng \(Oxy\) là \(H\left( {2;1;0} \right)\).
d) Sai.
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;3; - 2} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {AB} = \left( {2;6; - 4} \right)\)
\(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;2;6} \right) \Rightarrow - 3\overrightarrow {BC} = \left( {6; - 6; - 18} \right)\)
Vậy \(\overrightarrow x = \left( {8;0; - 22} \right)\).
a) Đúng.
\[\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,2;\, - 2} \right),\,\overrightarrow {BC} = \left( {1;\,2;\,3} \right)\]
Vì \[\frac{{ - 2}}{1} \ne \frac{2}{2} \ne \frac{{ - 2}}{3}\] nên \[\overrightarrow {AB} \ne k\,\overrightarrow {BC} \]. Suy ra ba điểm \(A,\,B,\,C\) không thẳng hàng.
b) Đúng.
\[\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,2;\, - 2} \right),\,\overrightarrow {BD} = \left( {1;\, - 1;\,1} \right)\]
Vì \[\frac{{ - 2}}{1} = \frac{2}{{ - 1}} = \frac{{ - 2}}{1} = - 2\] nên \[\overrightarrow {AB} = - 2\,\overrightarrow {BD} \].
Suy ra điểm \(A,\,B,\,D\) thẳng hàng.
c) Sai.
\[\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,2;\, - 2} \right)\].
\[\overrightarrow {CB} = \left( { - 1;\, - 2;\, - 3} \right)\].
Ta có: \[\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} }}{{AB.CB}}\]\[ = \frac{{\left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right)}}{{\sqrt {12} .\sqrt {14} }} = \frac{{\sqrt {42} }}{{21}}\].
d) Sai.
Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,2;\, - 2} \right)\], \[\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;\,4;\,1} \right)\], \[\overrightarrow {AD} = \left( { - 1;\,1; - \,1} \right)\]
\[\left[ {\overrightarrow {AB} \,;\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {10;\,4;\, - 6} \right)\]
Ta có \[\left[ {\overrightarrow {AB} \,;\,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = \,10.\left( { - 1} \right) + 4.1 + \left( { - 6} \right)\left( { - 1} \right) = 0\] nên ba vectơ \[\overrightarrow {AB} \,;\,\overrightarrow {AC} ;\,\overrightarrow {AD} \] đồng phẳng
Nên bốn điểm \(A;\,B;\,C;\,D\) đồng phẳng.
a) Đúng.
Ta có \(\overrightarrow {AB} \left( {3;\, - 4;\,3} \right),\,\overrightarrow {AC} \left( {1; - 6;0} \right)\). Giả sử tồn tại số \(k \ne 0\) sao cho \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 = k\\ - 4 = - 6k\\3 = 0k\end{array} \right.\) vô nghiệm suy ra không tồn tại \(k\). Suy ra 3 điểm \(A,B,C\) không thẳng hàng.
b) Đúng.
Ta có \(\overrightarrow {AB} \left( {3;\, - 4;\,3} \right),\,\overrightarrow {AD} \left( {6; - 8;6} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AC} \). Vậy 3 điểm \(A,B,D\) thẳng hàng.
c) Sai.
Ta có \(cos\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{3 + 24}}{{\sqrt {9 + 9 + 16} .\sqrt {1 + 36} }} = \frac{{27\sqrt {1258} }}{{1258}}\).
d) Sai.
Ta có \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow u \bot \overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {18;3; - 14} \right) = \left( {x - 1;2x + 1;3z - 5} \right)\)
Suy ra
\[\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 18\\2y + 1 = 3\\3z - 5 = - 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 19\\y = 1\\z = - 3\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = {19^2} + 1 + 9 = 371\]
![(1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là \(a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(B'C'D'\), \(I\) là trung điểm của \(AB'\) . Hãy xác định \[cos\left( {\overrightarrow {A'D} \,,\,\overrightarrow {IG} } \right)\]? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/4-1759377497.png)
Cạnh hình lập phương là \(a \Rightarrow A'D\, = \,a\sqrt 2 .\)
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {IG} = \overrightarrow {IB'} + \overrightarrow {B'G} \, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {B'D'} + \overrightarrow {B'C'} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AD} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \\{\overrightarrow {IG} ^2} = {\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{{18}} \Rightarrow IG = \frac{{a\sqrt {26} }}{6}.\end{array}\]
Ta có: \(\overrightarrow {A'D} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AA'} \) và \(A'D = a\sqrt 2 \) .
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {IG} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AA'} } \right) = \frac{{{a^2}}}{6}.\\cos\left( {\overrightarrow {A'D} \,,\,\overrightarrow {IG} } \right) = \frac{{\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {IG} }}{{A'D.IG}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{6}}}{{\frac{{a\sqrt {26} }}{6}.a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {13} }}{{26}}.\end{array}\]
Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 5;\,4;\, - 7} \right)\). Gọi \(D\left( {x;\,y;\,z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \left( {x - 2;\,y - 4;\,z} \right)\)
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = - 5\\y - 4 = 4\\z = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 8\\z = - 7\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 3;8; - 7} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {DD'} = \left( {9;\,0;\,17} \right)\). Gọi \(B'\left( {x';\,y';\,z'} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BB'} = \left( {x' - 4;\,y';\,z'} \right)\)
Vì \(BB'D'D\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {DD'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - 4 = 9\\y' = 0\\z' = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 13\\y' = 0\\z' = 17\end{array} \right. \Rightarrow B'\left( {13;\,0;\,17} \right)\).
Ta có \[\overrightarrow {AB} = (4\,;\, - 5\,;\,1)\] và \[\overrightarrow {AC} = (3\,;\, - 6\,;\,4)\].
\[\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l} - 5\,\,\,\,\,\,1\\ - 6\,\,\,\,\,4\end{array} \right|\,;\,\left| \begin{array}{l}1\,\,\,\,\,\,\,\,\,4\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,3\end{array} \right|\,;\,\left| \begin{array}{l}4\,\,\,\,\,\,\, - 5\\3\,\,\,\,\,\,\, - 6\end{array} \right|} \right) = ( - 14\,;\, - 13\,;\, - 9)\].
Đây là một vectơ thoả yêu cầu của bài toán.
Hình bên dưới mô tả một hồ bơi theo tiêu chuẩn với kích thước như hình vẽ và biết chiều sâu của hồ bơi là 2 m. Biết hồ bơi này có 10 làn bơi với độ rộng như nhau và mỗi làn bơi được ngăn cách bằng phao ngăn phân làn nổi trên mặt nước. Chọn hệ trục \(Oxyz\) như hình bên dưới sao cho gốc tọa độ \(O\) nằm ở dưới đáy của hồ và chiều của vectơ \[\overrightarrow k \] hướng dọc thẳng đứng lên từ đáy bể lên miệng bể. Gọi \(AB\) là là phao ngăn phân làn như hình vẽ và có độ dài là 40 m. Biết hai điểm \(A\) và \(B\) cách đều hai bên thành hồ ứng với chiều rộng của hồ. Hãy xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \).
Đáp số: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;\,\, - 40;\,\,0} \right)\).
Gọi tọa độ điểm \(A\) và \(B\) lần lượt là \(\left( {{x_A};\,{y_A};\,{z_A}} \right)\) và \(\left( {{x_B};\,{y_B};\,{z_B}} \right)\). Do hồ bơi này có chiều rộng là 25 m và có 10 làn bơi với độ rộng như nhau nên độ rộng mỗi làn bơi là: \(25:10 = 2,5\,\,{\rm{m}}\).
Do phao ngăn phân làn \(AB\) nằm giữa làn thứ 5 trong hình tính từ dưới lên trên.
Suy ra: \(AB\) cách thành hồ là giá của vectơ \(\overrightarrow i \) ứng với trục \(Ox\) là \(2,5.4 + 2,5:2 = 11,25\,\,{\rm{m}}\).
Do AB song song với giá của vectơ \(Ox\) nên: \[{y_A} = {y_B} = 11,25\].
Ta lại có hai điểm \(A\) và \(B\) đều cách đều hai bên thành hồ ứng với chiều rộng của hồ và \(AB = 40\,{\rm{m}}\).
Suy ra: điểm B cách thành hồ là giá của vectơ \(\overrightarrow j \) ứng với trục \(Oy\) là: \(\left( {50 - 40} \right):2 = 5\,\,{\rm{m}}\).
Suy ra: \({x_B} = 5\) và \({x_A} = 45\).
Do phao ngăn phân làn nổi trên mặt hồ và cách đáy hồ 2 m nên: \({z_B} = {z_A} = 2\).
Suy ra: \(A\left( {11,25;\,\,45;\,\,2} \right)\) và \(B\left( {11,25;\,\,5;\,\,2} \right)\).
Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là: \(\overrightarrow {AB} = \left( {11,25 - 11,25;\,\,5 - 45;\,\,2 - 2} \right) = \left( {0;\,\, - 40;\,\,0} \right)\).
Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) song song với mặt mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc \(E\) của chiến cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp \(EA,EB,EC,ED\)có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) một góc \({60^0}\) như hình vẽ. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} \) đều có cường độ \(5000\left( N \right)\) và trọng lượng khung sắt là \(2000\left( N \right)\). Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp số: \(15321\,\,\left( N \right)\).
Gọi O là tâm hình chữ nhật \(ABCD\), Theo bài toán thì là hình chóp \(E.ABCD\) có đường cao là \(EO\)
Theo quy tắc hình bình hành: \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} = 2\overrightarrow {EO} ;{\rm{ }}\overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}} = 2\overrightarrow {EO} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}} = 4\overrightarrow {EO} \)
dây cáp \(EA,EB,EC,ED\)có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) một góc \({60^0}\) nên:
\( \Rightarrow EO = EA.\sin {60^0} = 5000.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2500\sqrt 3 \)
Vì chiếc xe ô tô ở vị trí cân bằng nên: \(\overrightarrow P = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} + \overrightarrow {{P_1}} \)
Suy ra trọng lượng của chiếc xe ô tô: \(\left| {\overrightarrow P } \right| + 2000 = 4\left| {\overrightarrow {EO} } \right| \Rightarrow \left| {\overrightarrow P } \right| = 4.2500\sqrt 3 - 2000 \approx 15321\left( N \right)\)
Ta đơn giản hoá mô hình bài toán thông qua hình vẽ sau (\(\overrightarrow {EO} \) cùng hướng với véctơ trọng lực của ô tô và khung sắt).
Theo giả thiết ta có \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} , + \overrightarrow {{F_3}} + \,\overrightarrow {{F_4}} } \right| = 6000.\)Mặt khác:\(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} + \,\overrightarrow {{F_4}} } \right| = \left| {4\overrightarrow {EO} } \right| = 4EO.\)
Suy ra \(EO = 1500.\)
Ta có \(\left( {ED,(ABCD)} \right) = \widehat {EDO} = {45^0}\). Như vậy \(ED = \frac{{EO}}{{\sin {{45}^0}}} = 1500\sqrt 2 .\)
Cường độ lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} \) là \(1500\sqrt 2 N\).
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
