Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 2 lớp 12 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN (12 CÂU)
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình bình hành tâm \[O\]. Đẳng thức nào sau đây là sai?
\(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \).
\(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \).
Với \[O\] là trung điểm của \[AC\], ta có \[\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \].
Với \[O\] là trung điểm của \[BD\], ta có \[\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \].
Từ đó suy ra \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \) và \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \).
\[\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} \].
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} + 2\overrightarrow {CB} \).
Cho hình lập phương \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có cạnh \[a\]. Gọi \[M\] là trung điểm \[AD\]. Giá trị \(\overrightarrow {{B_1}M} .\overrightarrow {B{D_1}} \) là:
\({a^2}\).
\[\frac{1}{2}{a^2}\].
\[\frac{3}{2}{a^2}\].
\[\frac{3}{4}{a^2}\].
Ta có: \[\overrightarrow {{B_1}M} .\overrightarrow {B{D_1}} = \left( {\overrightarrow {{B_1}B} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AM} } \right)\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {D{D_1}} } \right)\]
\[\begin{array}{l} = \overrightarrow {{B_1}B} .\overrightarrow {D{D_1}} + {\overrightarrow {BA} ^2} + \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AD} \\ = - {a^2} + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}\\ = \frac{{{a^2}}}{2}\end{array}\]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {3; - 1;5} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OA} \)là
\(\left( {3;1;5} \right)\).
\(\left( {3; - 1;5} \right)\).
\(\left( { - 3; - 1;5} \right)\).
\(\left( { - 3;1; - 5} \right)\).
\(A\left( {3; - 1;5} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( {3; - 1;5} \right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {\frac{1}{2};1; - 3} \right)\) và \(N\left( {\frac{1}{2}; - 2;4} \right)\). Tọa độ của vectơ \[\overrightarrow {MN} \] là:
\(\left( {1; - 1;1} \right)\).
\(\left( {0; - 3;7} \right)\).
\(\left( {0;3; - 7} \right)\).
\(\left( {\frac{1}{2}; - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).
Áp dụng định lí: trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\). Khi đó, ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)\].
Ta có: \[\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{2};\left( { - 2} \right) - 1;4 - \left( { - 3} \right)} \right) = \left( {0; - 3;7} \right)\].
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {3;5; - 1} \right),\,\,B\left( {7;x;1} \right)\)và \(C\left( {9;2;y} \right).\) Để \(A,\,\,B,\,\,C\)thẳng hàng thì giá trị \(x + y\) bằng
\(5.\)
\(6.\)
\(4.\)
\(7.\)
Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {4;x - 5;2} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {6; - 3;y + 1} \right)\]
\(A,\,\,B,\,\,C\)thẳng hàng khi \[\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \] cùng phương \[ \Leftrightarrow \frac{4}{6} = \frac{{x - 5}}{{ - 3}} = \frac{2}{{y + 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6\left( {x - 5} \right) = - 12\\4\left( {y + 1} \right) = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\]
Vậy \(x + y = 5.\)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {0; - 1;2} \right)\) và \(B\left( {1; - 2;3} \right)\). Toạ độ của vectơ \(3\overrightarrow {AB} \) là
\(\left( {3;3;3} \right)\).
\(\left( {3; - 3;3} \right)\).
\(\left( { - 3;3;3} \right)\).
\(\left( { - 3; - 3;3} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Vậy \(3\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 3;3} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {3; - 1;1} \right){\rm{ v}}\mu {\rm{ }}\overrightarrow v = \left( {1;2; - 2} \right)\). Độ dài của vectơ \(\overrightarrow u + \overrightarrow v \) là
\(\sqrt {10} \).
\(\sqrt {11} + 3\).
\(3\sqrt 2 \).
\(5\).
Có \(\overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {4;1; - 1} \right)\).
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow u + \overrightarrow v \) là: \(\left| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right| = \sqrt {{4^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 3\sqrt 2 \).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( { - 2;\,1;\,0} \right)\), \(B\left( {0;\, - 2;\,5} \right)\), \(C\left( {6; - 2;1} \right)\). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) là
\(\sqrt {38} .\sqrt {52} \).
\( - \sqrt {38} .\sqrt {52} \).
\(8\).
\( - 8\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {2;\, - 3;\,5} \right)\), \(\overrightarrow {BC} = \left( {6;\,0;\, - 4} \right)\).
Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) là: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 2 \cdot 6 + \left( { - 3} \right) \cdot 0 + 5 \cdot \left( { - 4} \right) = - 8\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {2;1;1} \right)\) và \(B\left( { - 1;2;1} \right)\). Tìm tọa độ \[A'\] đối xứng với \(A\) qua \(B\).
\(A'\left( {3;4; - 3} \right)\).
\(A'\left( { - 4;3;1} \right)\).
\(A'\left( {4; - 3;3} \right)\).
\(A'\left( {4;33} \right)\).
Vì\[A'\] đối xứng với \(A\) qua \(B\) nên \(B\) là trung điểm của \[AA'\].
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = \frac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\\{y_B} = \frac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}\\{z_B} = \frac{{{z_A} + {z_{A'}}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_B} - {x_A} = 2.\left( { - 1} \right) - 2 = - 4\\{y_{A'}} = 2{y_B} - {y_A} = 2.2 - 1 = 3\\{z_{A'}} = 2{z_B} - {z_A} = 2.1 - 1 = 1\end{array} \right.\).
Vậy \(A'\left( { - 4;3;1} \right)\).
Cho hai điểm \(M\left( {0\,;\,0\,;\,2} \right)\) và \(N\left( {4\,;\, - 2;\,6} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(P\) sao cho \(N\) là trung điểm của MP?
\(P\left( {2\,;\, - 1\,;\,4} \right)\).
\(\left( {4\,;\, - 2\,;\,4} \right)\).
\(\left( {2\,;\, - 1\,;\,2} \right)\).
\(P\left( {8\,;\, - 4\,;\,10} \right)\).
Vì \(N\) là trung điểm của \(MP\) nên
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_N} = \frac{{{x_M} + {x_P}}}{2}}\\{{y_N} = \frac{{{y_M} + {y_P}}}{2}}\\{{z_N} = \frac{{{z_M} + {z_P}}}{2}}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 = \frac{{0 + {x_P}}}{2}}\\{ - 2 = \frac{{0 + {y_P}}}{2}}\\{6 = \frac{{2 + {z_P}}}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_P} = 8\,\,}\\{{y_P} = - 4}\\{{z_P} = 10}\end{array}} \right.\)
Vậy \(P\left( {8\,;\, - 4\,;\,10} \right)\).
Cho tam giác \(MNP\)có \(M\left( { - 1;3} \right),N\left( {2;2} \right),P\left( { - 1;1} \right).\)Trọng tâm \(G\) của tam giác\(MNP\) có tọa độ là
\(\left( {0;2} \right).\)
\(\left( {0;6} \right).\)
\(\left( {2;0} \right).\)
\(\left( {0; - 2} \right).\)
Theo công thức tính tọa độ trong tâm của tam giác ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 1 + 2 - 1}}{3}\\{y_G} = \frac{{3 + 2 + 1}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = 0\\{y_G} = 2\end{array} \right..\)
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm \(M\left( {600;400;20} \right)\)đến điểm \(N\left( {800;500;30} \right)\)trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 15 phút tiếp theo bằng bao nhiêu?
\[\left( {700;500;30} \right)\].
\[\left( {900;650;55} \right)\].
\[\left( {900;550;35} \right)\].
\[\left( {800;540;30} \right)\].
Gọi \(Q\left( {x;y;z} \right)\) là tọa độ của máy bay sau 15 phút tiếp theo.
\(\overrightarrow {MN} = \left( {200;100;10} \right)\)
\(\overrightarrow {NQ} = \left( {x - 800;y - 500;z - 30} \right)\)
Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {NQ} \) cùng hướng.
Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ \(M \to N\) gấp 2 lần thời gian bay từ \(N \to Q\) nên \(MN = 2NQ\)
Suy ra \[\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {NQ} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}200 = 2\left( {x - 800} \right)\\100 = 2\left( {y - 500} \right)\\10 = 2\left( {z - 30} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 900\\y = 550\\z = 35\end{array} \right. \Rightarrow Q\left( {900;550;35} \right)\]
Tọa độ của máy bay sau 15 phút tiếp theo là \[\left( {900;550;35} \right)\]
PHẦN 2. CÂU HỎI DẠNG ĐÚNG – SAI (4 CÂU)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có \[AB = a\] và \[AA' = a\sqrt 2 \]. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?
a) \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \)
b) Gọi \[M\] là trung điểm \(BC\) khi đó \(\overrightarrow {A'M} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {CM} \).
c) \(\overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
d) Góc giữa vectơ \[\overrightarrow {AB'} \] và \(\overrightarrow {BC'} \) bằng \(60^\circ \).
![Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có \[AB = a\] và \[AA' = a\sqrt 2 \]. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/3-1759377354.png)
a) Đúng.
b) Đúng.
Ta có: \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {A'M} \)
c) Sai.
Ta có: \(\overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AM} } \right).\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'A} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a.\cos 30^\circ = \frac{{3{a^2}}}{4}\)
d) Đúng.
Ta có \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CC'} } \right)\)\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} \)
\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'} \)\( = - \frac{{{a^2}}}{2} + 0 + 0 + 2{a^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\)
Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} }}{{\left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}}\)\( = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 3 .a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = 60^\circ \)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác \[{\rm{ABC}}\] có các đỉnh \(A\left( {1; - 2;0} \right)\), \(B\left( {2;1; - 2} \right)\), \(C\left( {0;3;4} \right)\).
a) [Mức độ 1] Tọa độ của véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) là \(\left( {1;3; - 2} \right)\).
b) [Mức độ 2] Tọa độ trọng tâm của tam giác \(ABC\) là \(G\left( {1;\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\).
c) [Mức độ 1] Tọa độ hình chiếu của điểm \(B\) trên mặt phẳng \(Oxy\) là \(H\left( {0;0; - 2} \right)\) .
d) [Mức độ 2] \(\overrightarrow x = 2\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {BC} \). Tọa độ của véc tơ \(\overrightarrow x = \left( { - 4;12;14} \right)\)
a) Đúng.
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;3; - 2} \right)\).
b) Đúng.
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{2}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{2}{3}\end{array} \right.\).
c) Sai.
Tọa độ hình chiếu của điểm \(B\left( {2;1; - 2} \right)\) trên mặt phẳng \(Oxy\) là \(H\left( {2;1;0} \right)\).
d) Sai.
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;3; - 2} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {AB} = \left( {2;6; - 4} \right)\)
\(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;2;6} \right) \Rightarrow - 3\overrightarrow {BC} = \left( {6; - 6; - 18} \right)\)
Vậy \(\overrightarrow x = \left( {8;0; - 22} \right)\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( {0\,;\, - 1;\,1} \right)\), \(B\left( { - 2\,;\,1;\, - 1} \right)\), \(C\left( { - 1;\,3;\,2} \right)\),\(D\left( { - 1;\,0;\,0} \right)\).
a) Ba điểm \(A,\,B,\,C\) không thẳng hàng.
b) Ba điểm \(A,\,B,\,D\) thẳng hàng.
c) Cosin của góc giữa \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CB} \) bằng \( - \frac{{\sqrt {42} }}{{21}}\).
d) Bốn điểm \(A;\,B;\,C;\,D\) không đồng phẳng.
a) Đúng.
\[\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,2;\, - 2} \right),\,\overrightarrow {BC} = \left( {1;\,2;\,3} \right)\]
Vì \[\frac{{ - 2}}{1} \ne \frac{2}{2} \ne \frac{{ - 2}}{3}\] nên \[\overrightarrow {AB} \ne k\,\overrightarrow {BC} \]. Suy ra ba điểm \(A,\,B,\,C\) không thẳng hàng.
b) Đúng.
\[\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,2;\, - 2} \right),\,\overrightarrow {BD} = \left( {1;\, - 1;\,1} \right)\]
Vì \[\frac{{ - 2}}{1} = \frac{2}{{ - 1}} = \frac{{ - 2}}{1} = - 2\] nên \[\overrightarrow {AB} = - 2\,\overrightarrow {BD} \].
Suy ra điểm \(A,\,B,\,D\) thẳng hàng.
c) Sai.
\[\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,2;\, - 2} \right)\].
\[\overrightarrow {CB} = \left( { - 1;\, - 2;\, - 3} \right)\].
Ta có: \[\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} }}{{AB.CB}}\]\[ = \frac{{\left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right)}}{{\sqrt {12} .\sqrt {14} }} = \frac{{\sqrt {42} }}{{21}}\].
d) Sai.
Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,2;\, - 2} \right)\], \[\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;\,4;\,1} \right)\], \[\overrightarrow {AD} = \left( { - 1;\,1; - \,1} \right)\]
\[\left[ {\overrightarrow {AB} \,;\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {10;\,4;\, - 6} \right)\]
Ta có \[\left[ {\overrightarrow {AB} \,;\,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = \,10.\left( { - 1} \right) + 4.1 + \left( { - 6} \right)\left( { - 1} \right) = 0\] nên ba vectơ \[\overrightarrow {AB} \,;\,\overrightarrow {AC} ;\,\overrightarrow {AD} \] đồng phẳng
Nên bốn điểm \(A;\,B;\,C;\,D\) đồng phẳng.
Cho 3 điểm \(A\left( { - 1\,;\,2;\,1} \right);B\left( {2; - 2;4} \right);C\left( {0; - 4;1} \right)\).
a) Ba điểm \(A,\,B,C\) không thẳng hàng.
b) Điểm \(D\left( {5; - 6;7} \right)\). Khi đó 3 điểm \(A,B,D\) thẳng hàng .
c) \[cos\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{37}}{{\sqrt {1258} }}\].
d) Cho \(\overrightarrow u \left( {x - 1;2y + 1;3z - 5} \right)\) thoả mãn \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow u \bot \overrightarrow {AC} \). Khi đó \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 2024\)
a) Đúng.
Ta có \(\overrightarrow {AB} \left( {3;\, - 4;\,3} \right),\,\overrightarrow {AC} \left( {1; - 6;0} \right)\). Giả sử tồn tại số \(k \ne 0\) sao cho \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 = k\\ - 4 = - 6k\\3 = 0k\end{array} \right.\) vô nghiệm suy ra không tồn tại \(k\). Suy ra 3 điểm \(A,B,C\) không thẳng hàng.
b) Đúng.
Ta có \(\overrightarrow {AB} \left( {3;\, - 4;\,3} \right),\,\overrightarrow {AD} \left( {6; - 8;6} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AC} \). Vậy 3 điểm \(A,B,D\) thẳng hàng.
c) Sai.
Ta có \(cos\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{3 + 24}}{{\sqrt {9 + 9 + 16} .\sqrt {1 + 36} }} = \frac{{27\sqrt {1258} }}{{1258}}\).
d) Sai.
Ta có \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow u \bot \overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {18;3; - 14} \right) = \left( {x - 1;2x + 1;3z - 5} \right)\)
Suy ra
\[\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 18\\2y + 1 = 3\\3z - 5 = - 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 19\\y = 1\\z = - 3\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = {19^2} + 1 + 9 = 371\]
PHẦN 3. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN (6 CÂU)
(1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là \(a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(B'C'D'\), \(I\) là trung điểm của \(AB'\) . Hãy xác định \[cos\left( {\overrightarrow {A'D} \,,\,\overrightarrow {IG} } \right)\]?
![(1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là \(a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(B'C'D'\), \(I\) là trung điểm của \(AB'\) . Hãy xác định \[cos\left( {\overrightarrow {A'D} \,,\,\overrightarrow {IG} } \right)\]? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/4-1759377497.png)
Cạnh hình lập phương là \(a \Rightarrow A'D\, = \,a\sqrt 2 .\)
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {IG} = \overrightarrow {IB'} + \overrightarrow {B'G} \, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {B'D'} + \overrightarrow {B'C'} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AD} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \\{\overrightarrow {IG} ^2} = {\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{{18}} \Rightarrow IG = \frac{{a\sqrt {26} }}{6}.\end{array}\]
Ta có: \(\overrightarrow {A'D} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AA'} \) và \(A'D = a\sqrt 2 \) .
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {IG} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AA'} } \right) = \frac{{{a^2}}}{6}.\\cos\left( {\overrightarrow {A'D} \,,\,\overrightarrow {IG} } \right) = \frac{{\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {IG} }}{{A'D.IG}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{6}}}{{\frac{{a\sqrt {26} }}{6}.a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {13} }}{{26}}.\end{array}\]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Biết \[A\left( {2;\,4;\,0} \right)\], \[B\left( {4;\,0;\,0} \right)\], \[C\left( { - 1;\,4;\, - 7} \right)\]và \[D'\left( {6;\,8;\,10} \right)\]. Tìm tọa độ đỉnh \[B'\] của hình hộp ?
Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 5;\,4;\, - 7} \right)\). Gọi \(D\left( {x;\,y;\,z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \left( {x - 2;\,y - 4;\,z} \right)\)
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = - 5\\y - 4 = 4\\z = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 8\\z = - 7\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 3;8; - 7} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {DD'} = \left( {9;\,0;\,17} \right)\). Gọi \(B'\left( {x';\,y';\,z'} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BB'} = \left( {x' - 4;\,y';\,z'} \right)\)
Vì \(BB'D'D\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {DD'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - 4 = 9\\y' = 0\\z' = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 13\\y' = 0\\z' = 17\end{array} \right. \Rightarrow B'\left( {13;\,0;\,17} \right)\).
Cho 3 điểm A(1 ; 6 ; 2), B(5 ; 1 ; 3), C(4 ; 0 ; 6). Tìm một vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) vuông góc với với cả hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \)?
Ta có \[\overrightarrow {AB} = (4\,;\, - 5\,;\,1)\] và \[\overrightarrow {AC} = (3\,;\, - 6\,;\,4)\].
\[\left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l} - 5\,\,\,\,\,\,1\\ - 6\,\,\,\,\,4\end{array} \right|\,;\,\left| \begin{array}{l}1\,\,\,\,\,\,\,\,\,4\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,3\end{array} \right|\,;\,\left| \begin{array}{l}4\,\,\,\,\,\,\, - 5\\3\,\,\,\,\,\,\, - 6\end{array} \right|} \right) = ( - 14\,;\, - 13\,;\, - 9)\].
Đây là một vectơ thoả yêu cầu của bài toán.
Hình bên dưới mô tả một hồ bơi theo tiêu chuẩn với kích thước như hình vẽ và biết chiều sâu của hồ bơi là 2 m. Biết hồ bơi này có 10 làn bơi với độ rộng như nhau và mỗi làn bơi được ngăn cách bằng phao ngăn phân làn nổi trên mặt nước. Chọn hệ trục \(Oxyz\) như hình bên dưới sao cho gốc tọa độ \(O\) nằm ở dưới đáy của hồ và chiều của vectơ \[\overrightarrow k \] hướng dọc thẳng đứng lên từ đáy bể lên miệng bể. Gọi \(AB\) là là phao ngăn phân làn như hình vẽ và có độ dài là 40 m. Biết hai điểm \(A\) và \(B\) cách đều hai bên thành hồ ứng với chiều rộng của hồ. Hãy xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \).
Đáp số: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;\,\, - 40;\,\,0} \right)\).
Gọi tọa độ điểm \(A\) và \(B\) lần lượt là \(\left( {{x_A};\,{y_A};\,{z_A}} \right)\) và \(\left( {{x_B};\,{y_B};\,{z_B}} \right)\). Do hồ bơi này có chiều rộng là 25 m và có 10 làn bơi với độ rộng như nhau nên độ rộng mỗi làn bơi là: \(25:10 = 2,5\,\,{\rm{m}}\).
Do phao ngăn phân làn \(AB\) nằm giữa làn thứ 5 trong hình tính từ dưới lên trên.
Suy ra: \(AB\) cách thành hồ là giá của vectơ \(\overrightarrow i \) ứng với trục \(Ox\) là \(2,5.4 + 2,5:2 = 11,25\,\,{\rm{m}}\).
Do AB song song với giá của vectơ \(Ox\) nên: \[{y_A} = {y_B} = 11,25\].
Ta lại có hai điểm \(A\) và \(B\) đều cách đều hai bên thành hồ ứng với chiều rộng của hồ và \(AB = 40\,{\rm{m}}\).
Suy ra: điểm B cách thành hồ là giá của vectơ \(\overrightarrow j \) ứng với trục \(Oy\) là: \(\left( {50 - 40} \right):2 = 5\,\,{\rm{m}}\).
Suy ra: \({x_B} = 5\) và \({x_A} = 45\).
Do phao ngăn phân làn nổi trên mặt hồ và cách đáy hồ 2 m nên: \({z_B} = {z_A} = 2\).
Suy ra: \(A\left( {11,25;\,\,45;\,\,2} \right)\) và \(B\left( {11,25;\,\,5;\,\,2} \right)\).
Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là: \(\overrightarrow {AB} = \left( {11,25 - 11,25;\,\,5 - 45;\,\,2 - 2} \right) = \left( {0;\,\, - 40;\,\,0} \right)\).
Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) song song với mặt mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc \(E\) của chiến cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp \(EA,EB,EC,ED\)có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) một góc \({60^0}\) như hình vẽ. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} \) đều có cường độ \(5000\left( N \right)\) và trọng lượng khung sắt là \(2000\left( N \right)\). Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp số: \(15321\,\,\left( N \right)\).
Gọi O là tâm hình chữ nhật \(ABCD\), Theo bài toán thì là hình chóp \(E.ABCD\) có đường cao là \(EO\)
Theo quy tắc hình bình hành: \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} = 2\overrightarrow {EO} ;{\rm{ }}\overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}} = 2\overrightarrow {EO} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}} = 4\overrightarrow {EO} \)
dây cáp \(EA,EB,EC,ED\)có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) một góc \({60^0}\) nên:
\( \Rightarrow EO = EA.\sin {60^0} = 5000.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2500\sqrt 3 \)
Vì chiếc xe ô tô ở vị trí cân bằng nên: \(\overrightarrow P = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} + \overrightarrow {{P_1}} \)
Suy ra trọng lượng của chiếc xe ô tô: \(\left| {\overrightarrow P } \right| + 2000 = 4\left| {\overrightarrow {EO} } \right| \Rightarrow \left| {\overrightarrow P } \right| = 4.2500\sqrt 3 - 2000 \approx 15321\left( N \right)\)
Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng \({45^0}\). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết trọng lượng chiếc xe ô tô là \[4000\,N\] và trọng lượng khung sắt là \[2000N\]; cường độ các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} ,\,\overrightarrow {{F_4}} \) là bằng nhau. Tính cường độ lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} \)
Ta đơn giản hoá mô hình bài toán thông qua hình vẽ sau (\(\overrightarrow {EO} \) cùng hướng với véctơ trọng lực của ô tô và khung sắt).
Theo giả thiết ta có \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} , + \overrightarrow {{F_3}} + \,\overrightarrow {{F_4}} } \right| = 6000.\)Mặt khác:\(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} + \,\overrightarrow {{F_4}} } \right| = \left| {4\overrightarrow {EO} } \right| = 4EO.\)
Suy ra \(EO = 1500.\)
Ta có \(\left( {ED,(ABCD)} \right) = \widehat {EDO} = {45^0}\). Như vậy \(ED = \frac{{EO}}{{\sin {{45}^0}}} = 1500\sqrt 2 .\)
Cường độ lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} \) là \(1500\sqrt 2 N\).
