Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 2 lớp 12 (có lời giải) - Đề 4

Ta có \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {5;7;3} \right)\)nên a đúng.

Do \(\frac{1}{2} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 1}} \ne \frac{3}{{ - 1}}\) nên vectơ \(\overrightarrow a \) không cùng phương với vectơ \(\overrightarrow b \) nên b đúng.

Do \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 1.2 + \left( { - 2} \right)\left( { - 1} \right) + 3\left( { - 1} \right)\)\( = 1\) nên vectơ \(\overrightarrow a \) không vuông góc với vectơ \(\overrightarrow b \)nên c đúng.

Ta có \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( 1 \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} \)\( = \sqrt {14} \) d sai.

+) Ta có \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = 2\overrightarrow {SO} \).

\(O\) là trung điểm của \(BD\) nên \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = 2\overrightarrow {SO} \).

Do đó \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 4\overrightarrow {SO} \) là khẳng định đúng.

+) \(\overrightarrow {SA}  - \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {SD}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0 \) là khẳng định đúng.

+) Ta có \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 4\overrightarrow {SO} \) như chứng minh trên.

Do đó \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = \overrightarrow 0 \) là khẳng định sai.

+) Ta có \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow O \).

\(O\) là trung điểm của \(BD\) nên \(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \).

Do đó \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \) là khẳng định đúng.

c) Độ lớn trọng lực tác động lên đèn chùm là: \(P = mg = 5.10 = 50\;N\)

d) Ta có \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều \( =  > SA = SB = SC = SD\)

Mà $\widehat{ASC}={60}^{°}=>$ =  > \) Tam giác \[SAC\] đều

Gọi \[O\] là trung điểm \(AC\).

Ta có: Hợp lực của 4 sợi xích là: \(\vec F = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = 2\overrightarrow {SO}  + 2\overrightarrow {SO}  = 4\overrightarrow {SO} \)

Để đèn chùm đứng yên thì hợp lực của các sợi xích phải cân bằng với trọng lực hay \(4\overrightarrow {SO}  = \vec P\) hay \(4SO = P \Leftrightarrow SO = 12,5\)

Xét tam giác đều \(SAC:SA = \frac{{\sqrt 3 }}{2}SO = \frac{{25\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích là \(\frac{{25\sqrt 3 }}{4}\;N.\)

a) Sai

Ta có: \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 3\)

b) Đúng

Ta có: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {1 - 1;2 - 1; - 2 + 0} \right) = \left( {0;1; - 2} \right)\)

c)Sai

Ta có: \(\frac{1}{{ - 1}} \ne \frac{2}{{ - 1}}\) nên \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương.

d) Đúng

Áp dụng công thức: \[\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{1.\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).0}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{{ - 3}}{{3\sqrt 2 }} =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\].

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 135^\circ \).

a) Sai:

\(AB = \sqrt {{4^2} + {{( - 1)}^2} + {4^2}}  = \sqrt {33} \)

\(AC = \sqrt {{6^2} + {{( - 4)}^2} + {{( - 2)}^2}}  = \sqrt {56} \)

b) Đúng

Tọa độ trung điểm của đoạn \(AB\) là \((3;\frac{3}{2};2) \Rightarrow m = \frac{3}{2}\)

c) Sai

để \(AB \bot AD \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = (4; - 1;4)\\\overrightarrow {AD}  = (2;3;2)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 4.2 + ( - 1).3 + 4.2 = 13 \ne 0\end{array}\)

d) Sai

Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = (4; - 1;4)\\\overrightarrow {CD}  = ( - 4; - 1;4)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \ne k\overrightarrow {CD} \end{array}\)

\( \Rightarrow AB\) không song song với \(CD\).

a) Sai

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {DC}  = \left( {11 - x;10 - y;4 - z} \right)\).

Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 = 11 - x\\ - 4 = 10 - y\\ - 1 = 4 - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 16\\y = 14\\z = 5.\end{array} \right.\)

Vậy \(D\left( {16;14;5} \right)\).

b) Đúng

Tọa độ trung điểm \(M\) của \(BC\) là \(M\left( {7;\frac{{15}}{2};\frac{5}{2}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - 1; - \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\). Suy ra \(AM = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\).

c) Sai

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)\); \(\overrightarrow {AC}  = \left( {3;1;2} \right)\).

Ta có \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{\left( { - 5} \right).3 + \left( { - 4} \right).1 + \left( { - 1} \right).2}}{{\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2} + {2^2}} }} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra \(\widehat {BAC} = {150^ \circ }\).

d) Đúng

Vì \(N \in \left( {Oxy} \right)\) nên \(N\left( {x;y;0} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)\); \(\overrightarrow {AN}  = \left( {x - 8;y - 9; - 2} \right)\).

Vì 3 điểm \(A,B,N\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\overrightarrow {AN} \). Khi đó:

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 8}}{{ - 5}} = 2\\\frac{{y - 9}}{{ - 4}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 8 =  - 10\\y - 9 =  - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 1.\end{array} \right.\]

Vậy \(N\left( { - 2;1;0} \right)\).

a) Sai:

Theo quy tắc hình hộp ta có

\(\overrightarrow {BD'}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c \)

b) Đúng

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {MC}  = m\overrightarrow {MA}  \Rightarrow \overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BM}  = m\overrightarrow {BA}  - m\overrightarrow {BM} \\ \Rightarrow (1 - m)\overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {BC}  - m\overrightarrow {BA} \\ \Rightarrow \overrightarrow {BM}  = \frac{{\overrightarrow {BC}  - m\overrightarrow {BA} }}{{1 - m}} = \frac{{\overrightarrow c  - m\overrightarrow a }}{{1 - m}}\end{array}\]

c) Đúng

Tương tự ta có

\(\overrightarrow {BN}  = \frac{{\overrightarrow {BD}  - m\overrightarrow {BC'} }}{{1 - m}} = \frac{{\overrightarrow a  + \overrightarrow c  - m(\overrightarrow b  + \overrightarrow c )}}{{1 - m}} = \frac{1}{{1 - m}}\overrightarrow a  - \frac{m}{{1 - m}}\overrightarrow b  + \overrightarrow c \)

d) Sai

Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {BN}  - \overrightarrow {BM} \\ \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \frac{{1 + m}}{{1 - m}}\overrightarrow a  - \frac{m}{{1 - m}}\overrightarrow b  - \frac{m}{{1 - m}}\overrightarrow c \end{array}\)

Vì \(MN\)//\(BD'\) nên \[\overrightarrow {MN} \] cùng phương \(\overrightarrow {BD'} \). Từ đó ta có

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {MN}  = k\overrightarrow {BD'} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + m}}{{1 - m}} = k\\ - \frac{m}{{1 - m}} = k\\ - \frac{m}{{1 - m}} = k\end{array} \right.\\ \Rightarrow m =  - \frac{1}{2}.\end{array}\]

Lời giải

Gọi \(D\left( {x;\,y;\,z} \right)\). Để \(ABCD\) là hình bình hành

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left( {1;\,3;\, - 7} \right) = \left( { - 3 - x;\,1 - y;\,2 - z} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y =  - 2\\z = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow D\left( { - 4;\, - 2;\,9} \right)\).

\(\overrightarrow {BD}  = \left( { - 8; - 4; - 8} \right)\)\( \Rightarrow BD = 12\)\( \Rightarrow AB = \frac{{12}}{{\sqrt 2 }}\)\( = 6\sqrt 2 \).

Gọi \(M\)là trung điểm \(AB\)\( \Rightarrow MC = 3\sqrt {10} \).

\(\left| {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} } \right|\)\( = \left| {2\overrightarrow {CM} } \right|\)\( = 2CM\)\( = 6\sqrt {10} \).

\[cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{1 - 6}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + 0} .\sqrt {{1^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{ - 5}}{{\sqrt 5 .\sqrt {14} }}\]

Vậy \[\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \approx 126,7\]

Ta có: \(A\left( {1,5;1; - 0,5} \right)\) và \(C\left( {1;3;2} \right)\)

\(\overrightarrow {AC} \left( { - 0,5;2;2,5} \right)\)

Khi đó phương trình đường thẳng \(AC\) là\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 0,5t + 1\\y = 2t + 3\\z = 2,5t + 2\end{array} \right.\) suy ra \(2,5t + 2 = 0 \Rightarrow t =  - \frac{4}{5}\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{5}\\y = \frac{7}{5}\\z = 0\end{array} \right.\) hay \(B\left( {\frac{7}{5};\frac{7}{5};0} \right)\)