Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 2 lớp 12 (có lời giải) - Đề 4
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỈ chọn một phương án.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây đúng?
\[\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} \].
\[\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \].
\[\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD'} \].
\[\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {AA'} \].
Theo quy tắc hình hộp ta có đáp án B.
Nếu một vật có khối lượng \[m(kg)\] thì lực hấp dẫn \[\overrightarrow P \]của trái đất tác dụng lên vật được xác định theo công thức \[\overrightarrow p = m\,\overrightarrow g \], trong đó \[\overrightarrow g \] là gia tốc rơi tự do có độ lớn \[g = 9,8\left( {m/{s^2}} \right)\]. Độ lớn của lực trái đát tác dụng lên một quả lê có khối lượng \[105g\]là
\[102,9N\].
\[1029N.\].
\[1,029N\].
\[10,29N\].
Đổi \[105g = 0,105kg\]
Độ lớn của lực hấp dẫn của trái đất tác dụng lên quả lê là \[\left| {\overrightarrow p } \right| = m\left| {\overrightarrow g } \right| = 0,105.9,8 = 1,029N.\]
Cho biết máy bay \[A\]đang bay với vận tốc \[\overrightarrow u = \left( {300;200;400} \right)\]( đơn vị:\[km/h)\]Máy bay \[B\]ngược hướng và có tốc độ gấp 2 lần tốc độ của máy bay \[A\]. Tọa độ vectơ vận tốc \[\overrightarrow v \]của máy bay \[B\]là
\[\overrightarrow v = \left( {600;400;800} \right)\].
\[\overrightarrow v = \left( {150;100;200} \right)\].
\[\overrightarrow v = \left( { - 600; - 400; - 800} \right)\].
\[\overrightarrow v = \left( { - 150; - 100; - 200} \right)\].
Tọa độ vectơ vận tốc \[\overrightarrow v \] của máy bay \[B\]là: \[\overrightarrow v = - 2\overrightarrow u \Rightarrow \overrightarrow v = \left( { - 600; - 400; - 800} \right)\]
Cho hai điểm \[A\left( { - 3;2; - 1} \right),\,B\left( { - 1;0;5} \right)\]. Tọa độ trung điểm \[I\] của đoạn thẳng \[AB\] là
\[I\left( { - 1;1;2} \right)\]
\[I\left( {2;1; - 2} \right)\].
\[I\left( { - 2; - 1;2} \right)\]
\[I\left( { - 2;1;2} \right)\].
Tọa độ trung điểm \[I\] của đoạn thẳng \[AB\] là \[I\left( { - 2;1;2} \right)\]
Trong không gian Oxyz, biết \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + \overrightarrow k \). Toạ độ của điểm \(M\) là
\(\left( { - 2;3; - 1} \right)\).
\(\left( {2; - 3;1} \right)\).
\(\left( { - 3;2;1} \right)\).
\(\left( {2;1; - 3} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + \overrightarrow k \) nên \(M\left( {2; - 3;1} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 2;2;1} \right),B\left( {0;1;3} \right)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là
\(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 1;2} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;3;4} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;1; - 2} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2;3} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 1;2} \right)\).
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng \(2\). Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} \).
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = - 4\).
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 2\).
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 1\).
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0\).
Vì \(ABCD\) là tứ diện đều nên các tam giác \(ABC\) và \(ABD\) là các tam giác đều.
Khi đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 2.2.\cos {60^0} - 2.2.\cos {60^0} = 0\).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( { - 5;2;3} \right),I\left( {2;3;1} \right)\). Gọi \(N\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(I\). Tính độ dài đoạn \(ON\).
\(ON = 6\sqrt 2 \).
\(ON = 5\sqrt 2 \).
\(ON = 7\sqrt 2 \).
\(ON = 3\sqrt 2 \).
Vì \(N\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(I\) nên \(I\) là trung điểm của đoạn \(MN\), do đó \(N\left( {9;4; - 1} \right)\).
Vậy \(ON = \sqrt {{9^2} + {4^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 7\sqrt 2 \).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vec tơ \(\overrightarrow a \left( {1;\,\, - 2;\,\,0} \right)\) và \(\overrightarrow b \left( { - 2;\,\,3;\,\,1} \right)\). Cho các mệnh đề sau.
a) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 8\).
b) \(2\overrightarrow a = \left( {2;\,\, - 4;\,\,1} \right)\).
c) \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( { - 1;\,\,0;\,\, - 1} \right)\).
d) \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 14\).
Số mệnh đề ĐÚNG là:
1.
3
2.
4.
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Sai |
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 8\)
\(2\overrightarrow a = \left( {2;\, - 4;\,0} \right)\)
\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( { - 1;\,\,1;\,\,1} \right)\).
\(\left| {\overrightarrow b } \right| = 14\)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2;3} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).Cho các mệnh đề sau. Mệnh đề nào là mệnh đề SAI?
Vec tơ cùng vuông góc với vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) có tọa độ bằng \(\left( { - 5; - 7; - 3} \right)\).
Vectơ \(\overrightarrow a \) không cùng phương với vectơ \(\overrightarrow b \).
Vectơ \(\overrightarrow a \) không vuông góc với vectơ \(\overrightarrow b \).
\(\left| {\overrightarrow a } \right| = 14\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Ta có \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {5;7;3} \right)\)nên a đúng.
Do \(\frac{1}{2} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 1}} \ne \frac{3}{{ - 1}}\) nên vectơ \(\overrightarrow a \) không cùng phương với vectơ \(\overrightarrow b \) nên b đúng.
Do \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.2 + \left( { - 2} \right)\left( { - 1} \right) + 3\left( { - 1} \right)\)\( = 1\) nên vectơ \(\overrightarrow a \) không vuông góc với vectơ \(\overrightarrow b \)nên c đúng.
Ta có \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( 1 \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} \)\( = \sqrt {14} \) d sai.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm \(O\). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là mệnh đề SAI?
\(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \).
\(\overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SD} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \).
A Đúng | B Đúng | C Sai | D Đúng |
+) Ta có \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \).
\(O\) là trung điểm của \(BD\) nên \(\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \).
Do đó \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \) là khẳng định đúng.
+) \(\overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \) là khẳng định đúng.
+) Ta có \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \) như chứng minh trên.
Do đó \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow 0 \) là khẳng định sai.
+) Ta có \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow O \).
\(O\) là trung điểm của \(BD\) nên \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \).
Do đó \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \) là khẳng định đúng.
Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng m = 5kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích SA,SB,SC,SD sao cho S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có ASC^=60° (Hình).
Biết \(\vec P = m\vec g\) trong đó \(\vec g\) là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn \(10\;m/{s^2}\), \(\vec P\) là trọng lực tác động vật có đơn bị là \(N\), \(m\) là khối lượng của vật có đơn vị \(kg\). Cho các kết luận dưới đây.
a) \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} \) là 4 vec tơ đồng phẳng.
b) \(\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right| = \left| {\overrightarrow {SD} } \right|.\)
c) Độ lớn của trọng lực \(\vec P\) tác động lên chiếc đèn chùm bằng \(50\;N.\)
d) Độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng \(\frac{{25\sqrt 3 }}{6}\;N.\)
Số kết luận ĐÚNG là:
1.
2.
3.
0.
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
c) Độ lớn trọng lực tác động lên đèn chùm là: \(P = mg = 5.10 = 50\;N\)
d) Ta có \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều \( = > SA = SB = SC = SD\)
Mà ASC^=60°=> = > \) Tam giác \[SAC\] đều
Gọi \[O\] là trung điểm \(AC\).
Ta có: Hợp lực của 4 sợi xích là: \(\vec F = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} + 2\overrightarrow {SO} = 4\overrightarrow {SO} \)
Để đèn chùm đứng yên thì hợp lực của các sợi xích phải cân bằng với trọng lực hay \(4\overrightarrow {SO} = \vec P\) hay \(4SO = P \Leftrightarrow SO = 12,5\)
Xét tam giác đều \(SAC:SA = \frac{{\sqrt 3 }}{2}SO = \frac{{25\sqrt 3 }}{4}\)
Vậy độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích là \(\frac{{25\sqrt 3 }}{4}\;N.\)
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;2; - 2} \right)\)và \(\overrightarrow b = \left( { - 1; - 1;0} \right)\). Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai ?
a)\(\left| {\overrightarrow a } \right| = 9\)
b)\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {0;1; - 2} \right)\)
c)\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương.
d)\(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 135^\circ \)
a) Sai
Ta có: \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 3\)
b) Đúng
Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {1 - 1;2 - 1; - 2 + 0} \right) = \left( {0;1; - 2} \right)\)
c)Sai
Ta có: \(\frac{1}{{ - 1}} \ne \frac{2}{{ - 1}}\) nên \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương.
d) Đúng
Áp dụng công thức: \[\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{1.\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).0}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{{ - 3}}{{3\sqrt 2 }} = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\].
\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 135^\circ \).
Cho 4 điểm \(A(1;2;0);B(5;1;4);C(7; - 2; - 2);D(3;m;2)\)
a) Độ dài đoạn \(AB\) lớn hơn độ dài đoạn \(AC\).
b) \(m = \frac{3}{2}\) thì \(D\) là trung điểm của \(AB\).
c) \(m = 5\) thì \(AB \bot AD\).
d) \(m = - 1\) thì \(AB\)//\(CD\).
a) Sai:
\(AB = \sqrt {{4^2} + {{( - 1)}^2} + {4^2}} = \sqrt {33} \)
\(AC = \sqrt {{6^2} + {{( - 4)}^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt {56} \)
b) Đúng
Tọa độ trung điểm của đoạn \(AB\) là \((3;\frac{3}{2};2) \Rightarrow m = \frac{3}{2}\)
c) Sai
để \(AB \bot AD \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = (4; - 1;4)\\\overrightarrow {AD} = (2;3;2)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 4.2 + ( - 1).3 + 4.2 = 13 \ne 0\end{array}\)
d) Sai
Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = (4; - 1;4)\\\overrightarrow {CD} = ( - 4; - 1;4)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} \ne k\overrightarrow {CD} \end{array}\)
\( \Rightarrow AB\) không song song với \(CD\).
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {8;9;2} \right)\), \(B\left( {3;5;1} \right)\) và \(C\left( {11;10;4} \right)\).
a) Điểm \(D\) thỏa mãn \(ABCD\) là hình bình hành có tọa độ là \(D\left( {6;6;3} \right)\)
b) Độ dài trung tuyến \(AM\) bằng \(\frac{{\sqrt {14} }}{2}\).
c) \(\widehat {BAC} = {30^ \circ }\).
d) Điểm \(N\) thuộc mp\(\left( {Oxy} \right)\) sao cho ba điểm \(A\), \(B\), \(N\) thẳng hàng có tọa độ là \(N\left( { - 2;1;0} \right)\).
a) Sai
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {DC} = \left( {11 - x;10 - y;4 - z} \right)\).
Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 = 11 - x\\ - 4 = 10 - y\\ - 1 = 4 - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 16\\y = 14\\z = 5.\end{array} \right.\)
Vậy \(D\left( {16;14;5} \right)\).
b) Đúng
Tọa độ trung điểm \(M\) của \(BC\) là \(M\left( {7;\frac{{15}}{2};\frac{5}{2}} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( { - 1; - \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\). Suy ra \(AM = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\).
c) Sai
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)\); \(\overrightarrow {AC} = \left( {3;1;2} \right)\).
Ta có \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{\left( { - 5} \right).3 + \left( { - 4} \right).1 + \left( { - 1} \right).2}}{{\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2} + {2^2}} }} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra \(\widehat {BAC} = {150^ \circ }\).
d) Đúng
Vì \(N \in \left( {Oxy} \right)\) nên \(N\left( {x;y;0} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)\); \(\overrightarrow {AN} = \left( {x - 8;y - 9; - 2} \right)\).
Vì 3 điểm \(A,B,N\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\overrightarrow {AN} \). Khi đó:
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 8}}{{ - 5}} = 2\\\frac{{y - 9}}{{ - 4}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 8 = - 10\\y - 9 = - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 1.\end{array} \right.\]
Vậy \(N\left( { - 2;1;0} \right)\).
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'; Các điểm \(M,\,N\)lần lượt thuộc các đường thẳng CA và \(DC'\)sao cho \(\overrightarrow {MC} = m\overrightarrow {MA} ;\,\,\overrightarrow {ND} = m\overrightarrow {NC'} \). Đặt \[\overrightarrow {BA} = \overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow b ;\,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow c \]
a)\(\overrightarrow {BD'} = \overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c \).
b)\(\overrightarrow {BM} = \frac{{\overrightarrow c - m\overrightarrow a }}{{1 - m}}\).
c) \(\overrightarrow {BN} = \frac{1}{{1 - m}}\overrightarrow a - \frac{m}{{1 - m}}\overrightarrow b + \overrightarrow c \).
d) \(m = \frac{1}{2}\) thì \(MN\)//\(BD'\)
a) Sai:
Theo quy tắc hình hộp ta có
\(\overrightarrow {BD'} = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \)
b) Đúng
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {MC} = m\overrightarrow {MA} \Rightarrow \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BM} = m\overrightarrow {BA} - m\overrightarrow {BM} \\ \Rightarrow (1 - m)\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BC} - m\overrightarrow {BA} \\ \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \frac{{\overrightarrow {BC} - m\overrightarrow {BA} }}{{1 - m}} = \frac{{\overrightarrow c - m\overrightarrow a }}{{1 - m}}\end{array}\]
c) Đúng
Tương tự ta có
\(\overrightarrow {BN} = \frac{{\overrightarrow {BD} - m\overrightarrow {BC'} }}{{1 - m}} = \frac{{\overrightarrow a + \overrightarrow c - m(\overrightarrow b + \overrightarrow c )}}{{1 - m}} = \frac{1}{{1 - m}}\overrightarrow a - \frac{m}{{1 - m}}\overrightarrow b + \overrightarrow c \)
d) Sai
Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BM} \\ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{{1 + m}}{{1 - m}}\overrightarrow a - \frac{m}{{1 - m}}\overrightarrow b - \frac{m}{{1 - m}}\overrightarrow c \end{array}\)
Vì \(MN\)//\(BD'\) nên \[\overrightarrow {MN} \] cùng phương \(\overrightarrow {BD'} \). Từ đó ta có
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow {BD'} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + m}}{{1 - m}} = k\\ - \frac{m}{{1 - m}} = k\\ - \frac{m}{{1 - m}} = k\end{array} \right.\\ \Rightarrow m = - \frac{1}{2}.\end{array}\]
Phần III. Câu hỏi trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;\,0;\,3} \right)\), \(B\left( {2;\,3;\, - 4} \right)\), \(C\left( { - 3;\,1;\,2} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho \(ABCD\) là hình bình hành.
Lời giải
Gọi \(D\left( {x;\,y;\,z} \right)\). Để \(ABCD\) là hình bình hành
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left( {1;\,3;\, - 7} \right) = \left( { - 3 - x;\,1 - y;\,2 - z} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = - 2\\z = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow D\left( { - 4;\, - 2;\,9} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, B3;0;8, D−5;−4;0. Biết đỉnh \(A\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right|\) bằng:
\(\overrightarrow {BD} = \left( { - 8; - 4; - 8} \right)\)\( \Rightarrow BD = 12\)\( \Rightarrow AB = \frac{{12}}{{\sqrt 2 }}\)\( = 6\sqrt 2 \).
Gọi \(M\)là trung điểm \(AB\)\( \Rightarrow MC = 3\sqrt {10} \).
\(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right|\)\( = \left| {2\overrightarrow {CM} } \right|\)\( = 2CM\)\( = 6\sqrt {10} \).
Trong không gian \[{\rm{O}}xyz\] cho hai vec tơ \[\overrightarrow a = (1; - 2;0),\,\,\overrightarrow b = (1;3; - 2)\]. Góc giữa hai vec tơ \[\overrightarrow a \] và \[\,\,\overrightarrow b \] bằng bao nhiêu ( tính theo độ làm tròn đến hàng phần chục)
\[cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{1 - 6}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + 0} .\sqrt {{1^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{ - 5}}{{\sqrt 5 .\sqrt {14} }}\]
Vậy \[\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \approx 126,7\]
Trong một phòng học được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật, với chiều dài \[8m\], chiều rộng \[6m\] và chiều cao \[3m\]. Hai bạn An và Bình làm nhiệm vụ trực nhật, mạng nhện cần quét ở góc ngoài cùng trên trần nhà, An bảo không nên đứng ngay vị trí đó ở nền nhà quét vì sẽ bụi rơi xuông người mình, An lại đố bạn Bình ‘nếu mình đứng ở giữa nhà quét thì mình phải kéo chối quét nhà dài ra mấy mét ( làm tròn đến hàng phần trăm) để quét được vị trí mạng nhên, biết An cầm chổi cao \[1,5m\]’. Bình trả lời đứng vị trí đó chổi dài \[5m\] cũng không tới. Hỏi Bình đã tính được bao nhiêu?
Xét hệ tọa độ \[{\rm{O}}xyz\] như hình vẽ, ta có vị trí mạng nhện ở \[A(6;0;3)\] vị trí cầm chổi \[B(3;4;\frac{3}{2})\], Vậy chổi phải có độ dài \[AB = \sqrt {{{(3 - 6)}^2} + {{(4 - 0)}^2} + {{(\frac{3}{2} - 3)}^2}} = \frac{{\sqrt {109} }}{2} \approx 5.22(m)\]
Với hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O nằm trên mặt nước, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)là mặt nước, trục \(Oz\) hướng lên trên (đơn vị đo: mét), một con chim bói cá đang ở vị trí cách mặt nước \(2m\), cách mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right),\,\left( {Oyz} \right)\) lần lượt là \(3m\) và \(1m\) phóng thẳng xuống vị trí con cá, biết con cá cách mặt nước \(50\,cm\), cách mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right),\,\left( {Oyz} \right)\) lần lượt là \(1m\) và \(1,5\,m\)Tìm tọa độ điểm \(B\) lúc chim bói cá vừa tiếp xúc với mặt nước.
Ta có: \(A\left( {1,5;1; - 0,5} \right)\) và \(C\left( {1;3;2} \right)\)
\(\overrightarrow {AC} \left( { - 0,5;2;2,5} \right)\)
Khi đó phương trình đường thẳng \(AC\) là\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 0,5t + 1\\y = 2t + 3\\z = 2,5t + 2\end{array} \right.\) suy ra \(2,5t + 2 = 0 \Rightarrow t = - \frac{4}{5}\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{5}\\y = \frac{7}{5}\\z = 0\end{array} \right.\) hay \(B\left( {\frac{7}{5};\frac{7}{5};0} \right)\)
Một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài \(8m\), rộng\(6m\)và cao\(4m\)có hai chiếc quạt treo tường. Chiếc quạt A treo chính giữa bức tường \(8m\)và cách trần\(1m\), chiếc quạt B treo chính giữa bức tường \(6m\)và cách trần \(1,5m\). Hỏi khoảng cách giữa hai chiếc quạt AB cách nhau bao nhiêu m ( làm tròn đến hàng phần nghìn)
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có điểm \(A\left( {4\,;0\,;3} \right)\)và điểm \(B\left( {0\,;3\,;\frac{5}{2}} \right)\, \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 4\,;3\,; - \frac{1}{2}} \right)\). Do đó độ dài đoạn thẳng \(AB = 5,025\,.\)
