Giải SGK Toán 12 KNTT Bài tập cuối chương 2 có đáp án
19 câu hỏi
Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm của tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. BG→+CG→+DG→=0→. B. AB→+AC→+AD→=3AG→.
C. BC→+BD→=3BG→. D. GA→+GB→+GC→+GD→=0→.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Lấy M là trung điểm của đoạn thẳng CC'. Vectơ AM→ bằng
A. AB→+AD→+AA'→. B. AB→+AD→+12AA'→.
C. AB→+12AD→+12AA'→. D. 12AB→+AD→+AA'→.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. AB→+CC'→=AB'→. B. AB→+AD→+AA'→=AC'→.
C. AD→+BB'→=AD'→. D. AB→+CC'→=AC'→.
Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tích vô hướng AB→.AM→ bằng
A. a24. B. a22. C. a24. D. a2.
Trong không gian Oxyz, cho a→=1;−2;2, b→=−2;0;3. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. a→+b→=−1;−2;5. B. a→−b→=3;−2;−1.
C. 3a→=3;−2;2. D. 2a→+b→=0;−4;7.
Đáp án đúng là: C
a→+b→=1−2;−2+0;2+3=−1;−2;5.
a→−b→=1+2;−2−0;2−3=3;−2;−1.
3a→=3;−6;6.
2a→+b→=2−2;−4+0;4+3=0;−4;7.
Do đó đáp án C sai.
Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD có A(−1; 0; 3), B(2; 1; −1) và C3;2;2. Tọa độ của điểm D là:
A. 2;−1;0. B. 0;−1;−6.
C. 0;1;6. D. −2;1;0.
Đáp án đúng là: C
Gọi D(x; y; z).
Vì ABCD là hình bình hành nên AB→=DC→⇔3;1;−4=3−x;2−y;2−z⇔3−x=32−y=12−z=−4⇔x=0y=1z=6.
Vậy D(0; 1; 6).
Trong không gian Oxyz, cho A(1; 0; −1), B(0; −1; 2) và G(2; 1; 0). Biết tam giác ABC có trọng tâm là điểm G. Tọa độ của điểm C là
A. 5;4;−1. B. −5;−4;1.
C. 1;2;−1. D. −1;−2;1.
Đáp án đúng là: A
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên xC=3.2−1−0yC=3.1−0+1zC=3.0+1−2⇔xC=5yC=4zC=−1.
Vậy C(5; 4; −1).
Trong không gian Oxyz, cho a→=2;1;−3, b→=−2;−1;2. Tích vô hướng a→.b→ bằng
A. −2. B. −11. C. 11. D. 2.
Đáp án đúng là: B
a→.b→=2.−2+1.−1+−3.2=−11.
Trong không gian Oxyz, cho a→=2;1;−2,b→=0;−1;1. Góc giữa hai vectơ a→,b→ bằng
A. 60°. B. 135°. C. 120°. D. 45°.
Đáp án đúng là: B
Có cosa→,b→=a→.b→a→.b→=2.0+1.−1+−2.14+1+4.0+1+1=−12.
Suy ra a→,b→=135°.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng: SA→+SC→=SB→+SD→.
Vì ABCD là hình chữ nhật nên
AD→=BC→⇔SD→−SA→=SC→−SB→⇔SA→+SC→=SB→+SD→.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', gọi G là trọng tâm của tam giác BDA'.
a) Biểu diễn AG→ theo AB→,AD→ và AA'→.
b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C' thẳng hàng.
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; −1; 3), B(1; 1; −1) và C(−1; 0; 2).
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
xG=2+1−13y=−1+1+03z=3−1+23⇔xG=23y=0z=43.
Vậy G23;0;43.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.
b) Vì M thuộc Oz nên M(0; 0; z).
Khi đó BM→=−1;−1;z+1 và AC→=−3;1;−1.
Vì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC nên BM→.AC→=0
⇔−1.−3+−1.1+z+1.−1=0
⇔z+1=2
⇔z=1.
Vậy M(0; 0; 1).
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O'A'B'C' và các điểm A(2; 3; 1), C(−1; 2; 3) và O'(1; −2; 2). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(4; 2; −1), B(1; −1; 2) và C(0; −2; 3).
a) Tìm tọa độ của vectơ AB→ và tính độ dài đoạn thẳng AB.
a) Ta có AB→=1−4;−1−2;2+1=−3;−3;3.
Có AB→=−32+−32+32=33.
b) Tìm tọa độ điểm M sao cho AB→+CM→=0→.
b) Giả sử M(x; y; z).
Khi đó CM→=x;y+2;z−3
Vì AB→+CM→=0→ nên −3+x=0−3+y+2=03+z−3=0⇔x=3y=1z=0.
Vậy M(3; 1; 0).
c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.
c) Giả sử N(x; y; 0).
Khi đó AN→=x−4;y−2;1;BN→=x−1;y+1;−2.
Để A, B, N thẳng hàng thì AN→ và BN→ cùng phương tức là AN→=kBN→.
Suy ra x−4=kx−1y−2=ky+11=k−2⇔x−4=−12x−1y−2=−12y+1k=−12⇔x=3y=1k=−12.
Vậy N(3; 1; 0).
Hình 2.53 minh họa một chiếc đèn được treo cách trần nhà là 0,5 m, cách hai tường lần lượt là 1,2 m và 1,6 m. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là 0,4 m, cách hai tường đều là 1,5 m.
a) Lập một hệ trục tọa độ Oxyz phù hợp và xác định tọa độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển.
b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
a)
Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Tọa độ bóng đèn lúc đầu là A (1,2; 1,6; 0,5).
Tọa độ bóng đèn lúc sau là B (1,5; 1,5; 0,4).
b) Có AB→=0,3;−0,1;−0,1.
Khi đó AB→=0,32+−0,12+−0,12≈0,3.
Vậy vị trí mới cách vị trí ban đầu của bóng đèn là 0,3 m.
