Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải (Đề số 5)
50 câu hỏi
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=x3−3x−2x2+3x+2 là
x=−1;x=−2
x=−2
x=−1
Không có tiệm cận đứng
Đáp án B
Ta có y=x3−3x−2x2+3x+2=x+12x−2x+1x+2=x+1x−2x+2=x2−x−2x+2
Suy ra limx→−2y=limx→−2x2−x−2x+2=∞→x=−2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Một người mỗi đầu tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% mỗi tháng. Biết đến cuối tháng thứ 15 thì người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền T gần với số tiền nào nhất trong các số sau?
635.000
535.000
613.000
643.000
Đáp án A
Theo công thức, số tiền người đó có đến cuối tháng 15 là
T15=Tr1+r15−11+r⇔T=rT151+r15−11+r≈635.301
Biết n là số nguyên dương thỏa mãn An3+2An2=100. Hệ số của x5 trong khai triển 1−3x2n bằng:
−35C105
−35C125
35C105
65C105
Đáp án A
ĐK: n≥3,n∈ℕ
Khi đó
An3+2An2=100⇔n!n−3!+2.n!n−2!=100⇔nn−1n−2+2nn−1=100
⇔n3−3n2+2n+2n2−2n=100⇔n3−n2=100⇒n=5
Hệ số của x5 trong khai triển 1−3x10 bằng:−35C105
Hàm số y=log24x−2x+m có tập xác định là ℝ thì
m<14
m>0
m≥14
m>14
Đáp án D
Hàm số có tập xác định là ℝ⇔4x−2x+m>0,∀x∈ℝ⇔m>2x−4x∀x∈ℝ
Đặt t=2x>0⇒m>t−t2∀t>0⇔m>maxt>0ft⇔m>14
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD. Biết A2;1;−3,B0;−2;5 và C(1;1;3). Diện tích hình bình hành ABCD là
287
3492
349
87
Đáp án A
Giả sử Da;b;c.
Vì ABCD là hình bình hành nên CD→=BA→=2;3;−8⇔a−1=2b−1=3c−3=−8⇔a=3b=4c=−5
⇒D3;4;−5
Ta có AB→=−2;−3;−8,AD→=1;3;−2
Diện tích hình bình hành ABCD là: S=AB→,AD→=349
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau
∫01sin1−xdx=∫01sinxdx
∫01cos1−x dx=∫01cosx dx
∫0π2cosx2dx=∫0π2cosxdx
∫0π2sinx2dx=∫0π2sinxdx
Đáp án A
Đặt t=1−x⇒dt=−dx, đổi cận
x=0⇒t=1x=1⇒t=0⇒I=∫01sin1−xdx=−∫10sin1−xdx=∫01sinxdx
Cho tổng S=C20171+C20172+...+C20172017. Giá trị tổng S bằng
22018
22017
22017−1
22016
Đáp án B
Xét khai triển 1+x2017=C20171+C20171x+C20172x2+...+C20172017x2017
Cho x=1⇒22017=1+S⇒S=22017−1
Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 5; 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 3.
108 số
228 số
36 số
144 số
Đáp án B
Số các số lẻ có 4 chữ số
Chữ số hàng đơn vị có 3 cách chọn, chữ số hàng nghìn có 4 cách chọn, chữ số hàng trăm và hàng chục có lần lượt 4 và 3 cách chọn
Do đó có: 3.4.4.3=144 số
Số các số lẻ có 4 chữ số và không có chữ số 3 là 3.4.3 = 36
Vậy có 144−36=108 số
Biết ∫fxdx=2xln3x−1+C với x∈19;+∞. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
∫f3xdx=2xln9x−1+C
∫f3xdx=6xln3x−1+C
∫f3xdx=6xln9x−1+C
∫f3xdx=3xln9x−1+C
Đáp án D
Ta có ∫fxdx=2xln3x−1+C
Do đó
∫f3xdx=13∫f3xd3x=13F3x+C=13.2.3xln9x−1+C=2xln9x−1+C
Bất phương trình log4x+7>log2x+1 có bao nhiêu nghiệm nguyên?
1
2
4
3
Đáp án C
ĐK: x>−1
Khi đó PT ⇔log22x+7>log2x+1⇔12log2x+7>log2x+1
⇔log2x+7>log2x+12⇔x+7>x+12⇔x2+x−6<0⇔−3<x<2
Kết hợp dk⇒−1<x<2→x∈ℤx=0;x=1
Hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a; SA⊥ABCD; SA=a3. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) bằng
a3
a32
2a3
a34
Đáp án A
Do AB//CD⇒dB;SCD=dA;SCD
Ta có CD⊥SACD⊥AD⇒CD⊥SAD
Dựng AH⊥SD⇒AH⊥SCD
Lại có AH=SA.ADSA2+AD2=a32
Do đó dB=a32
Chọn khẳng định đúng
∫32xdx=32xln3+C
∫32xdx=9xln3+C
∫32xdx=32xln9+C
∫32xdx=32x+12x+1+C
Đáp án C
∫32xdx=12∫32xd2x=1232xln3=32xln9
Biết Fx là một nguyên hàm của hàm số fx=sinx và đồ thị hàm số y=Fx đi qua điểm M(0;1). Tính Fπ2
Fπ2=0
Fπ2=1
Fπ2=2
Fπ2=−1
Đáp án C
∫sinxdx=−cosx+C=Fx
Do đó đồ thị hàm số y=Fx đi qua điểm M(0;1)⇒F0=−cos0+C=1⇔C=2
Do đó Fπ2=−cosπ2+2=2
Một người gửi tiết kiệm số tiền 80 000 000 đồng với lãi suất là 6,9%/ năm. Biết rằng tiền lãi hàng năm được nhập vào tiền gốc, hỏi sau đúng 5 năm người đó có rút được cả gốc và lãi số tiền gần với con số nào nhất sau đây?
116 570 000 đồng
107 667 000 đồng
105 370 000 đồng
111 680 000 đồng
Đáp án D
Áp dụng công thức lãi kép ta có: T=A1+rn=800000001+6,9%5=111680000 đồng
Tìm m để phương trình sau có nghiệm: sinx+m−1cosx=2m−1
m≥12
m>1m<−13
−12≤m≤13
−13≤m≤1
Đáp án D
Phương trình có nghiệm
⇔12+m−12≥2m−12⇔3m2−2m−1≤0⇔−13≤m≤1
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y=lnx2+1−mx+1 đồng biến trên khoảng −∞;+∞
−∞;−1
−1;1
−1;1
−∞;−1
Đáp án D
y'=2xx2+1−m=2x−mx2+1x2+1TH1:m=0⇔2xx2+1>0⇔x>0TH2:m≠0
Hàm số đồng biến trên khoảng
−∞;+∞⇔−mx2+2x−m>0∀x∈ℝ
⇔−m>0Δ'=1−m2≤0⇔m<0m≥1m≤−1⇔m≤−1
Tính Fx=∫xcos xdx ta được kết quả
Fx=xsinx−cos x+C
Fx=−xsinx−cos x+C
Fx=xsinx+cos x+C
Fx=−xsinx+cos x+C
Đáp án C
Đặt u=vdv=cosxdx⇔du=dvv=sinx
⇒Fx=xsinx−∫sinxdx⇒Fx=xsinx+cos x+C
Cho a > 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
a23a>1
a−3>1a5
a13>a
1a2016<1a2017
Đáp án B
Do a>1⇒ vưới m>n thì am>an
Do −3>−5⇒a−3>1a5=1a5
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y=log3−x2+mx+2m+1 xác định với mọi x∈(1;2)
m≥−13
m≥34
m>34
m<−13
Đáp án B
Hàm số xác định với mọi x∈(1;2)⇔−x2+mx+2m+1>0∀x∈1;2
⇔mx+2>x2−1∀x∈1;2⇔m>x2−1x+2∀x∈1;2⇔m>Max1;2gx
Xét gx=x2−1x+2 với x∈1;2 ta có
gx=x2−1x+2=x−2+3x+2⇒g'x=1−3x+22>0∀x∈1;2
Do đó gx đồng biến trên khoảng 1;2⇒m≥g2=34 là giá trị cần tìm
Giá trị lớn nhất của hàm số y=5−x2+x là
π
412
10
893
Đáp án C
TXD:D=−5;5
Ta có:
y'=−2x25−x2+1=0⇔5−x2=x⇔x>05−x2=x2⇔x=52
Lại có y−5=−5;y52=10,y5=5
Vậy Max−5;5y=10
Nếu ∫fxdx=1x+ln2x+C với x∈0;+∞ thì hàm số fx là
fx=−1x2+1x
fx=x+12x
fx=−1x2+ln2x
fx=−1x2+12x
Đáp án A
fx=1x+ln2x+C'=−1x2+22x=−1x2+1x
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với độ dài đường chéo bằng 2a, cạnh SA có độ dài bằng 2a và vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
6a2
26a3
6a12
6a4
Đáp án A
Gọi I là trung điểm SC. Khi đó T là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Ta có SC=2a2+2a2=a6
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là R=SC2=a62
Cho đồ thị (C) của hàm số y=−x3+3x2−5x+2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
(C) không có điểm cực trị.
(C) có hai điểm cực trị.
(C) có ba điểm cực trị
(C) có một điểm cực trị
Đáp án A
y'=−3x2+6x−5=0 (vô nghiệm)⇒C không có điểm cực trị.
Cho hình chóp S.ABC với các mặt SAB, SBC, SAC vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối chóp S.ABC, biết diện tích các tam giác SAB, SBC, SAC lần lượt là 4a2,a2 và 9a2
22a3
33a3
23a3
32a3
Đáp án A
Vì các mặt SAB, SBC, SAC vuông góc với nhau từng đôi một nên SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau
Ta có SA.SB=2.4a2=8a2SB.SC=2.a2=2a2SC.SA=2.9a2=18a2
⇒SA.SB.SC=8a2.2a2.18a2=122a3
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là V=16SA.SB.SC=16122a3=22a3
Đạo hàm của hàm số y=x+12x là
y'=1−x+1ln24x
y'=1−x+1ln22x
y'=−x4x
y'=−x2x
Đáp án B
y'=2x−x+12xln24x=1−x+1ln22x
Đồ thị hàm số y=x−2x2−9 có bao nhiêu đường tiệm cận?
4
1
3
2
Đáp án C
limx→3y=limx→3x−2x2−9=∞⇒x=3 là TCĐ
limx→−3y=limx→−3x−2x2−9=∞⇒x=−3 là TCĐ
limx→∞y=limx→∞x−2x2−9=limx→∞1x−2x21−9x2=0⇒y=0 là TCN
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA'=2a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC).
25a
25a5
5a5
35a5
Đáp án B
Gọi H là hình chiếu của A lên A’B. Khi đó
AH⊥A'BC⇒dA;A'BC=AH
Ta có 1AH2=1AA'2+1AB2=12a2+1a2=54a2⇒AH=2a5
⇒dA;A'BC=2a5
Cho đồ thị (C) của hàm số y=x33−2x2+3x+1. Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y=3x+1 là phương trình nào sau đây?
y=3x−1
y=3x
y=3x−293
y=3x+293
Đáp án C
Gọi d là tiếp tuyến của C tại Mx0;y0 thỏa mãn đề bài
Ta có y'=x2−4x+3⇒y'x0=x02−4x0+3=kd là hệ số góc của d
d//y=3x+1⇒kd=x02−4x0+3=3⇔x0=0x0=4
Với x0=0⇒M0;1⇒d:3x−0+1⇔d:y=3x+1≡y=3x+1
Với x0=4⇒M4;73⇒d:3x−4+73⇔d:y=3x−293
Vậy d:y=3x−293
Cho hàm số fx liên tục và nhận giá trị dương trên [0;1]. Biết fx.f1−x=1 với mọi x thuộc [0;1]. Tính giá trị I=∫01dx1+fx
32
12
1
2
Đáp án B
Ta có fx.f1−x=1 nên ta chọn fx=1⇒f1−x=1⇒I=∫01dx2=12
Từ một tấm bìa hình vuông ABCD có cạnh bằng 5dm, người ta cắt bỏ bốn tam giác bằng nhau là AMB, BNC, CPD và DQA. Với phần còn lại, người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ giác đều. Hỏi cạnh đáy của khối chóp bằng bao nhiêu để thể tích của nó là lớn nhất?
322dm
52dm
22dm
522dm
Đáp án C
Giả sử MN=x⇒dA;MQ=52−x20<x<52
Chiều cao hình chóp là h=52−x22−x22=50−10x24
Ta có V=13MN2.h=13x250−10x24=1650x4−10x52
Đặt
fx=50x4−10x52⇒f'x=2−−x3−50x32=0⇒x=22dm
Lập bảng BTT suy ra Vmax=22dm
Cho a, b là các số dương phân biệt khác 1 và thỏa mãn ab=1 Khẳng định nào sau đây đúng?
logab=1
logab+1<0
logab=−1
logab+1>0
Đáp án C
logaab=loga1⇔1+logab=0⇔logab=−1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Biết A2;4;0,B4;0;0,C6;8;10. và D'(6;8;10). Tọa độ điểm B¢ là
B'8;4;10
B'6;12;0
B'10;8;6
B'13;0;17
Đáp án D
D'C'→=AB→=2;−4;0⇒C'8;4;10C'B'→=CB→=5;−4;7⇒B'13;0;17
Cho hàm số fx=2x2x+2. Khi đó tổng f0+f110+...+f1910 có giá trị bằng
596
10
192
283
Đáp án A
Ta có:
fx+f1−x=2x2x+2+22−x22−x+2=2x2x+2+22−x+x−122−x+x−1+2=2x2x+2+2x2x+2=1
Khi đó
f110+f1910+f210+f1810+...+f0+f1=9+13+12=596
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 2Cn0+5Cn1+8Cn2+..+3n+2Cnn=1600
5
7
10
8
Đáp án B
Ta có S=2Cn0+...+Cnn+3Cn1+2Cn2+3Cn3+..+nCnn
Xét khai triển 1+xn=Cn0+Cn1x+...+Cnnxn
Đạo hàm 2 vế ta có n1+xn−1=Cn1+2Cn2x+...+nCnnxn−1
Cho x=1 ta có 2n=Cn1+2Cn2+...+Cnn;n2n−1=Cn1+2Cn2+3Cn3+...+nCnn
Do đó S=2.2n+3.n.2n−1=1600→SHIFT−CALCn=7
Cho hàm số fx liên tục trên thỏa mãn ∫02018fxdx=2. Khi đó giá trị của tích phân I=∫0e2018−1xx2+1flnx2+1dx bằng
4
1
2
3
Đáp án B
Đặt t=lnx2+1⇒dt=2xx2+1dx;x=0→t=0x=e2018−1→t=2018
Suy ra I=12∫02018ftdt=12∫02018fxdx=1
Thầy Hùng đặt lên bàn 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Bạn An chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xác suất để trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có một tấm mang số chia hết cho 10.
99667
811
311
99167
Đáp án A
Chọn 10 tấm bất kì có C3010 , trong 30 thẻ có 15 thẻ mang số chẵn, 15 thẻ mang số lẻ và 3 số chia hết cho 10
Ta chọn 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có 1 tấm mang số chia hết cho 10 có: C155C31C124 cách
Do đó xác suất cần tìm là C155C31C124C3010=99667
Cho các số thực a, b khác 0. Xét hàm số fx=ax+13+bxex với ∀x≠−1. Biết f'0=−22 và ∫01fxdx=5. Tính a+b
19
7
8
10
Đáp án A
Ta có:
∫01fxdx=∫01ax+13dx+∫01bxexdx=−a21x+1201+∫01bxexdx=3a8+∫01bxexdx
Đặt:
u=xdv=exdx⇒du=dxv=ex⇒∫01bxexdx=bxex01−∫01bexdx=bxex01−bex01=b
Suy ra ∫01fxdx=3a8+b=51
Mặt khác f'x=−3ax+14+bex+bxex⇒f'0=−3a+b=−222
Từ 1,2 suy ra a=8;b=2⇒a+b=10
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Biết AB=BC=a3,SAB=SCB=90° và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
16πa2
12πa2
8πa2
2πa2
Đáp án C
Dựng hình vuông ABCH
Ta có AB⊥AHAB⊥SA⇒AB⊥SH, tương tự BC⊥SH
Do đó SH⊥ABC
Lại có AH//BC⇒dA;SBC=dH;SBC
Dựng HK⊥SC⇒dH;SBC=HK=a2
Do đó 1SH2=1HK2−1HC2⇒SH=a305
Tứ giác ABCH nội tiếp nên RS.ABC=RS.ABCH=SH24+rd2
=SH24+AC22=a2⇒S=4πR2=8πa2
Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a,AD=a3. Hình chiếu vuông góc của A1 lên ( ABCD) trung với giao điểm của AC và BD. Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD)
a3
a2
a32
a36
Đáp án D
Vì CB1//AD1 nên dB1,A1BD=dC,A1BD=CH
Trong đó H là hình chiếu của C lên BD
Ta có 1CH2=1CD2+1CB2=1a2+1a32=43a2
⇒CH=a32
Để làm một chiếc cốc bằng thủy tinh dạng hình trụ với đáy cốc dày 1,5cm, thành xung quanh cốc dày 0,2cm và có thể tích thật (thể tích nó đựng được) là 480πcm3 thì người ta cần ít nhất bao nhiêu cm3 thủy tinh?
75,66πcm3
80,16πcm3
85,66πcm3
70,16πcm3
Đáp án A
Gọi x và h lần lượt là bán kính và chiều cao của cốc
Ta có 0,4<x và x−0,22h−1,5π=480π⇔h=480x−0,22+1,5
Thể tích thủy tinh cần là V=πx2h−480π=x2480x−0,22+1,5π−480π
⇒V'=2xx−0,231,5x−0,23−480.0,2πV'=0⇔x=480.0,21,53+0,2=4,2
Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm O. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác. Xác suất để 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật bằng:
7216
9969
3323
49
Đáp án C
Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác có C204=4845 cách
Đa giác đều 20 đỉnh có 10 đường chéo đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác
Cứ 2 đường chéo bất kì là 2 đường chéo cuiả 1 hình chữ nhật
Do đó số hình chứ nhật là C202=45
Vậy xác suất cần tìm là P=454845=3323
Trong một đợt kiểm tra vệ sinh an toàn thực phẩm của ngành y tế tại chợ X, ban quản lý chợ lấy ra 15 mẫu thịt lợn trong đó có 4 mẫu ở quầy A, 5 mẫu ở quầy B, 6 mẫu ở quầy C. Đoàn kiểm tra lấy ngẫu nhiên 4 mẫu để phân tích xem trong thịt lợn có chứa hóa chất tạo nạc hay không. Xác suất để mẫu thịt của cả 3 quầy A, B, C đều được chọn bằng
4391
491
4891
9791
Đáp án C
Lấy 4 mẫu thịt lợn trong 15 mẫu có C154=1365 cách
Gọi A là biến cô “mẫu thịt của cả 3 mẫu A, B, C đều được chọn”
Khi đó ΩA=C42.C51.C61+C41.C52.C61+C41.C51.C62=720 cách
Trong tập các số phức gọi z1,z2 là hai nghiệm của phương trình z2−z+20174=0 với z2 có phần ảo dương. Cho số phức z thỏa mãn z−z1=1. Giá trị nhỏ nhất của P=z−z2 là
2016−1
2017−1
2017−12
2016−12
Đáp án A
Phương trình z2−z+20172=0⇔4z2−4z+2017=0
⇔2z−12=2016i2⇔z1=1−i20162z2=1+i20162
Ta có z−z1+z−z2≥z−z1−z−z2=z−z2≥z1−z2−z−z1=2016−1
Vật giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pmin=2016−1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét hai hình H1,H2 được xác định như sau:
H1=Mx;y|log1+x2+y2≤1+logx+yH2=Mx;y|log2+x2+y2≤2+logx+y
Gọi S1,S2 lần lượt là diện tích của các hình H1,H2. Tính tỉ số S2S1
99
101
102
100
Đáp án D
Điều kiện x+y>0
Ta có log1+x2+y2≤1+logx+y=log10x+y
⇔1+x2+y2≤10x+y⇔x−52+y−52≤49
Xét riêng x−52+y−52≤49 là hình tròn tâm I5;5 bán kính R=7, diện tích H1 là diện tích của hình tròn tâm I5;5 bán kính R=7 nằm phía trên đường thẳng Δ:x+y=0
Vì dI,Δ=52>R⇒S1=49π
Tương tự
log2+x2+y2≤2+logx+y=log100x+y
⇔2+x2+y2≤100x+y⇔x−502+y−502≤4998π
Xét riêng x−502+y−502≤4998π là hình tròn tâm I'50;50 bán kính R=7102, diện tích H2 là diện tích của hình tròn tâm I50;50 bán kính R=7102, nằm phía trên đường thẳng Δ:x+y=0
Vì dI',Δ=502>R'⇒S2=4998π⇒S2S1=102
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và B’C’. Mặt phẳng (A'MN) cắt cạnh BC tại P. Thể tích của khối đa diện MBP.A'B'N bằng
7a3332
a3332
7a3368
7a3396
Đáp án D
Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE
Khi đó MF//AE mà AE//A'N nên MF//A'N
Suy ra các điểm A',M,F,N thuộc cùng một mặt phẳng
Vậy A'MN cắt cạnh BC tại P⇒P trùng với F
Công thức tổng quát tính thể tích khối đa diện
“thể tích khối chóp cụt là V=h3B+B'+BB' với h là chiều cao, B, B’ lần lượt là diện tích hai đáy”
Và diện tích đáy B=SMBP=SABC8=S8B'=SA'B'N=SA'B'C'2=S2 với S=a234
⇒ Thể tích khối đa diện MNP.A'B'N là V=BB'3S8+S2+S8.S2=73a396
Người ta cần cắt một tấm tôn có hình dạng là một elip với độ dài trục lớn bằng 2a, độ dài trục bé bằng 2ba>b>0 để được một tấm tôn hình chữ nhật nội tiếp elip. Người ta gò tấm tôn hình chữ nhật thu được một hình trụ không có đáy (như hình bên). Tính thể tích lớn nhất có thể thu được của khối trụ đó.
2a2b32π
2a2b33π
4a2b32π
4a2b33π
Đáp án B
Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ
Chọ hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ với tứ giác ABCD là hình chữ nhật nối tiếp hình (E)
Gọi Ax0;y0x0>y0>0, khi đó ta có AB=2πRCD=h⇔2x0=2πR2y0=h⇔x0=πRy0=h2
Thể tích khối trụ là V=πR2h=2x02π.y0 mà A∈E⇒x02a2+y02b2=1⇒x02=a2b2b2−y02
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn y=1011−logx,z=1011−logy. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x=10−11−logz
x=1011−lnz
x=1011+logz
x=1011−logz
Đáp án D
Ta có
y=1011−logxz=1011−logy⇔logy=11−logxlogz=11−logy⇔logy=11−logzlogy=11−logx⇒1−11−logz=11−logx⇔logz−1logz=11−logx⇔1−logx=logzlogz−1⇔logx=−1logz−1⇔x=1011−logz
Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=13x3−m−1x2−m−3x+2017m đồng biến trên các khoảng (−3;−1) và (0;3) là đoạn T=a;b. Tính a2+b2
a2+b2=10
a2+b2=13
a2+b2=8
a2+b2=5
Đáp án D
Ta có y'=x2−2m−1x−m−3
Để hàm số đồng biến trên các khoảng −3;−1 và 0;3 thì y'≥0 với mọi x∈−3;−1 và x∈0;3
Hay
x2−2m−1x−m−3≥0⇔x2+2x+3≥m2x+1⇔x2+2x+32x+1≥m
với x∈0;3 và x2+2x+32x+1≤m với x∈−3;−1
Xét f'x=x2+2x+32x+1=2x−1x+22x+1→f'x=0⇔x=1x=−2
Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số fx, để fx đồng biến trên khoảng −3;−1 thì m≤2 và để fx đồng biến trên khoảng 0;3 thì m≥−1⇒a2+b2=5
Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay (H) , một mặt phẳng chứa trục (H) cắt (H) theo một thiết diện cho trong hình vẽ bên. Tính thể tích của (H)
VH=41π3
VH=13π
VH=23π
VH=17π
Đáp án A
Xét mặt cắt và đặt tên các điểm như hình vẽ
Thể tích khối trụ là V1=πr12ht=π1,52.4=9π
Ta có: CDAB=HKOK⇒OK=4⇒HK=2
Thể tích khối nón cụt là Vn=πOA2OK3−πCH2HK3=14π3
Thể tích của H là: Vt+Vn=41π3
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn lnx+lny≥lnx2+y. Tính giá trị nhỏ nhất của P=x+y
P=6
P=3+22
P=2+32
P=17+3
Đáp án B
Ta có lnxy=lnx+lny≥lnx2+y⇔xy≥x2+y⇔yx−1≥x2
Vì x=1 không thỏa và y>0⇒x>1⇒P=xy≥x2x−1+x=fx
Xét hàm số fx=x2x−1+x với x>1
⇒f'x=x2−2xx−12+x=2x2−4x+1x−12→f'x=0⇔x=2+22 vì x>1
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số fx suy ra ⇒MinP=Minx>1fx=f1=3+22
