Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải ( Đề số 13)
50 câu hỏi
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số fx=x3−2x2+3x+1 tại điểm có hoành độ x0=2
y=−x−7
y=7x−14
y=7x−7
y=−x+9
Đáp án C
Có f'x=3x2−4x+3⇒k=f'2=7
phương trình tiếp tuyến cần tìm là
y=7x−2+f2=7x−7
Tính giới hạn limx→01+x−1x ?
−12
+∞
0
12
Đáp án D
limx→01+x−1x=limx→0x1+x+1x=limx→011+x+1=12
Cho dãy số (un) với un=−1nsinπn, chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Dãy số (un)là dãy số tăng
Dãy (un)bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên
Dãy số (un)bị chặn
Dãy số (un)bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới
Đáp án C
Ta có un=−1nsinπn=sinπn≤1
⇒Dãy số (un) bị chặn
Cho hàm số fx=x4−2x2+1. Tìm x để f'x>0
x∈−1;0∪1;+∞
x∈−1;1
x∈−∞;−1∪0;1
x∈ℝ
Đáp án A
Ta có f'x=4x3−4x.
Khi đó
f'x>0⇔4x3−4x>0⇔4xx2−1>0
⇔x∈−1;0∪1;+∞
Tính đạo hàm của hàm số y=2sin3x+cos2x
y'=2cos3x−sin2x
y'=2cos3x+sin2x
y'=6cos3x−2sin2x
y'=−6cos3x+2sin2x
Đáp án C
y'=2sin3x+cos2x'=2.3cos3x−2sin2x=6cos3x−2sin2x
Tính giới hạn limn2+12n2+n+1
0
12
+∞
1
Đáp án B
Ta có
limn2+12n2+n+1=lim1+1n21+1n+1n2=12
Tính đạo hàm của hàm số y=x3−3x22017
y'=2017x3−3x22016
y'=2017x3−3x22016x2−3x
y'=6051x3−3x22016x2−2x
y'=2017x3−3x23x2−6x
Đáp án C
y'=2017x3−3x22016x3−3x2'=2017x3−3x220163x2−6x=6051x3−3x22016x2−2x
Cho hai số phức z1,z2. Chọn mệnh đề đúng
Nếu z1=z2thì z1=z2¯
Nếu z1=z2¯thì z1=z2
Nếu z1=z2thì z1=z2
Nếu z1=z2thì thì các điểm biểu diễn cho z1và z2tương ứng trên mặt phẳng tọa độ sẽ đối xứng nhau qua gốc tọa độ O
Đáp án B
Lấy ví dụ z1=1+i,z2=2
dễ thấy A, C, D sai
Cho dãy số fx=x+2x4−x. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
Hàm số xác định trên −∞;0∪0;4
Hàm số liên tục tại x = 2
Hàm số không liên tục tại x = 2 và x = 4
Vì f−1=−15,f2=2 nên f−1.f2<0, suy ra phương trình fx=0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc −1;2
Đáp án D
Hàm số xác định khi và chỉ khi
4−x≥0x4−x≠0⇔x<4x≠0
⇒−∞;0∪0;4
Hàm số liên tục tại x = 2, không liên tục tại x = 2 và x = 4
Phương trình
fx=0⇔x+2x4−x=0⇔x=−2∉−1;2
Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, có AD=CD=a; AB=2a; SA⊥ABCD,E là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
CE⊥SDC
CB⊥SAB
ΔSC vuông ở C
CE⊥SAB
Đáp án D
Vì ABCD là hình thang vuông tại A, D
⇒AD⊥CD.
Mà SA⊥ABCD⇒SA⊥SAD⇒CD⊥SD
⇒ Tam giác SCD vuông tại D
Vì E là trung điểm của AB suy ra AECD là hình vuông
⇒CE⊥AB mà SA⊥ABCD⇒SA⊥AB
suy ra CE⊥SAB
Tính giới hạn
−∞
-2
0
2
Đáp án B
limx→−∞x+x2+xx+2=limx→−∞x+x1+1x2x1+2x2=limx→−∞−2xx=−2
Cho hàm số fx=2x2x. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
Vì limx→0+fx=limx→0−fx nên f( x)liên tục tại x = 0
Hàm số f (x )xác định với mọi x≠0.
limx→0+fx≠limx→0−fx
Hàm số f ( x) liên tục trên ℝ
Đáp án B
Hàm số f ( x) xác định với mọi x≠0.
Tìm m để phương trình f'x=0 có nghiệm. Biết fx=mcosx+2sinx−3x+1
m>0
m≥5
m<0
−5<m<5
Đáp án B
f'x=0⇔2cosx−msinx=3*
Phương trình
f'x=0⇔2cosx−msinx=3*
Để (*) có nghiệm khi và chỉ khi
322+−m2≤1⇔m2≥5⇔m≤5
Tính giới hạn limx→−3−2x2−x+5x+3
limx→−3−2x2−x+5x+3=+∞
limx→−3−2x2−x+5x+3=2
limx→−3−2x2−x+5x+3=−∞
limx→−3−2x2−x+5x+3=−2
Đáp án C
limx→−3−2x2−x+5x+3=−∞
Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
Hàm số y=2x3−10x2+3x+2017 liên tục tại mọi điểm x∈ℝ
Hàm số y=1x2+x+1 liên tục tại mọi điểm x∈ℝ
Hàm số y=1x3+1liên tục tại mọi điểm x≠−1
Hàm số y=x2−x liên tục tại mọi điểm x≠2
Đáp án D
Hàm số y=x2−x liên tục trên khoảng −∞;2
Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân un, biết u1=−3 và công bội q=−2.
S10=−1023
S10=1025
S10=−1025
S10=1023
Đáp án D
Sn=n1−qn1−q⇒S10=−31−−2101−−2=1023
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).
300
450
600
900
Đáp án B
Vì hai tam giác ABC và SBC đều và có chung cạnh BC nên bằng nhau ⇒AH=SH.
Mà ΔHSA vuông tại H nên vuông cân
⇒SAH^=45°
Cho tứ diện đều ABCD. Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng ( BCD) và ( ABC) Khẳng định nào sau đây là đúng?
tanφ=13
φ=60°
cosφ=13
φ=30°
Đáp án C
Gọi M là trung điểm của
BC⇒AM⊥BCDM⊥BC⇒BC⊥ADM
Suy ra
ABC;DBC^=AM;DM^=ADM^=φ
Gọi O là hình chiếu của A lên
mặt phẳng BCD
⇒O là trọng tâm của tam giác BCD
⇒OM=DM3=13.a32=a36
Tam giác AMO vuông tại O, có
cosAMD^=OMAM=a36:a32=13
Vậy cosφ=13
Giá trị lớn nhất của hàm số y=−x3+3x2−1 trên đoạn [−3;1] lần lượt là
1; -1
53; 1
3; -1
53; -1
Đáp án D
y'=−3x2+6x=0⇔x=0x=2y−3=53;y1=1y0=−1;y2=3⇒Max−3;1y=53,Min−3;1y=−1
Nguyên hàm Fx của hàm số fx=4x3−3x2+2 trên tập số thực thỏa mãn F−1=3 là:
x4−x3+2x+3
x4−x3+2x
x4−x3+2x+4
x4−x3+2x−3
Đáp án A
Ta có∫fx=∫4x3−3x2+2dx
= x4−x3+C=Fx
Do F−1=3⇒C=3
⇒ Fx= x4−x3+2x+3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai véc tơ a→=3;0;2, c→=1;−1;0. Tìm tọa độ của véc tơ b→ thỏa mãn biểu thức 2b→−a→+4c→=0→
12;−2;−1
−12;2;1
−12;−2;1
−12;2;−1
Đáp án B
Ta có a→−4c→=−1;4;2
⇒2b→=a→−4c→⇒b→=−12;2;1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=2a; BC=a; SA=a3 và SA vuông góc với mặt đáy ABCD. Thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng
V=2a33
V=2a333
V=a33
V=a333
Đáp án B
Thể tích khối chóp là
V=13SA.SABCD=13.a.3.2a.a=2a333
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh cạnh SD,DC. Thể tích khối tứ diện ACMN là
a324
a38
a336
a322
Đáp án C
Ta có SCD;ABC^=SMH^=60°
Khi đó SH=HMtan60°=a3
Mặt khác
SACM=12AD.CM=122a.a=a2
dN;ACM=12SH=a32⇒VN.ACM=13dN;ACM=a336
Tìm m để hàm số y=x3−3x2+mx+2 tăng trên khoảng 1;+∞
m≠3
m≥3
m≤3
m<3
Đáp án B
Xét hàm số y=x3−3x2+mx+2
ta có y'=3x2−6x+m,∀x∈ℝ
Hàm số đồng biến trên khoảng 1;+∞
⇔y'≥0,∀x∈1;+∞⇔m≥6x−3x2,∀x∈1;+∞*
Xét hàm số fx=6x−3x2
trên 1;+∞
có f'x=6−6x=0⇔x=1
Vật giá trị lớn nhất của hàm số fx là 3.
Vậy *⇔m≥max1;+∞fx=3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba véc tơ a→=−1;1;0,b→=1;1;0,c→=1;1;1. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
cosb→,c→=26
a→.c→=1
a→ và b→ cùng phương
a→+b→+c→=0→
Đáp án A
Dựa vào đáp án, ta có các nhận xét sau
a→ và b→ vuông góc với nhau
a→=−1;1;0,c→=1;1;1⇒a→.c→=−1.1+1.1+0.1=0
a→+b→+c→=1;3;1
và cosb→,c→=26
Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y=2x+4x−m có tiệm cận đứng.
m>−2
m=−2
m<−2
m≠−2
Đáp án D
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi
và chỉ khi x=m≠−2
Biết phương trình 9x−2x+12=2x+32−32x−1 có nghiệm là a. Tính giá trị biểu thức P=a+12log922
P=12
P=1
P=1−12log922
P=1−log922
Đáp án B
PT 9x+9x3=22.2x+2.2x⇔499x=32.2x⇔92x=924⇔x=log92924⇒a=log92924
⇒P=log92924+12log922=log92924log922=log9292=1
Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là những tam giác đều cạnh bằng 1, AD=2. Gọi O là trung điểm cạnh AD. Xét hai khẳng định sau:
(I) Olà tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
(II) O.ABC là hình chóp tam giác đều.
Hãy chọn khẳng định đúng
Chỉ (II) đúng
Cả (I) và (II) đều sai
Cả (I) và (II) đều đúng
Chỉ (I) đúng
Đáp án C
Ta có AD2=AB2+BD2=AC2+CD2
⇒ΔABD,ΔACD vuông cân tại B, C
Mà O là trung điểm cạnh AD⇒OA=OB−OC
⇒O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Dễ thấy OA=OB−OC và ΔABC đều cạnh a
⇒khối chóp O.ABC là hình chóp tam giác đều
Cho hàm số y=fx có đạo hàm trên và f'x>0,∀x>0. Biết f1=2 khẳng định nào sau đây có thể xảy ra?
f2016>f2017
f2+f3=4
f2=1
f−1=2
Đáp án D
Ta có f'x>0,∀x>0
⇒hàm số đồng biến trên khoảng 0;+∞
Do đó f2>f1=2,f2016<f2017
và f3>f2>2⇒f2+f3>4
Vậy điều có thể xảy ra duy nhất là f−1=2
Trong các hình hộp nội tiếp mặt cầu tâm I bán kính R, hình hộp có thể tích lớn nhất bằng
83R3
833R3
833R3
8R3
Đáp án B
Gọi a, b, c là các kích thước của khối hộp khi đó
R=a2+b2+c22
Mặt khác
a2+b2+c2≥3a2b2c23=3V23⇒4R2≥3V23⇒V≤833R3
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính thể tích khối nón có đỉnh là tâm hình vuông ABCD và đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông A'B'C'D'
V=π12a3
V=π6a3
V=π4a3
V=4π3a3
Đáp án A
Chiều cao hình nón h = a và bán kính đáy bằng bán kính đáy của đường tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’ và bằng r=a2.
Do đó VN=13πr2h=πa312
Nguyên hàm của I=∫xln2x−1 dx là:
I=4x2−18ln2x−1+xx+14+C
I=4x2−18ln2x−1−xx+14+C
I=4x2−18ln2x−1+xx+14+C
I=4x2−18ln2x−1−xx+14+C
Đáp án B
Đặt u=ln2x−1dv=xdx
⇒du=22x−1v=x2−142=4x2−18⇒I=4x2−18ln2x−1−∫2x−12x+142x−1dx
=4x2−18ln2x−1−∫2x+14dx
=4x2−18ln2x−1+xx+14+C
Cho hàm số y=fx có đồ thị (C) như hình vẽ. Hỏi (C) là đồ thị của hàm số nào?
y=x−13
y=x3−1
y=x3+1
y=x+13
Đáp án A
Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng
Đồ thị hàm số đi qua điểm 1;0,0;−1→ loại C, D
Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành tại điểm 1;0⇒y'1=0→chọn A
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a. Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng bằng a2 ta được thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích khối trụ
πa334
πa33
πa3
3πa3
Đáp án B
Gọi hình vuông thiết diện ABCD và O là tâm đường tròn đáy của hình trụ
Gọi H là trung điểm của AB, ta có
OH=a2⇒AH=OA2−AH2=a2−a22=a32⇒AB=a3
Chiều cao của khối trụ chính là độ dài cạnh của hình vuông bằng h=a3
Thể tích khối trụ là V=πr2h=πa33
Cho phí cho xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ công nhan viên giấy in…) được cho bởi Cx=0,0001x2−0,2x+10000, Cx được tính theo đơn vị là vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. Tỉ số Mx=Txx với T( x) là tổng chi phí (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn. khi chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí M( x) thấp nhất tính chi phí cho mỗi cuốn tạp chí đó
15.000 đồng
20.000 đồng
10.000 đồng
22.000 đồng
Đáp án D
Ta có
Mx=Txx=Cx+0,4xx=0,0001x2+0,2x+10000x=0,0001x+0,2+10000x
Khi đó
Mx=0,0001x+10000x+0,2≥0,0001x.10000x+0,2=2,2
Suy ra
MinMx=2,2⇔0,0001x=10000x⇔x=10000⇒Mx=22.00 đồng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Mặt cầu đi qua bốn điểm S, A, B, E có bán kính là
a418
a4124
a4116
a216
Đáp án A
Tam giác ABE cân có AE=BE=a52
và AB = a
⇒SΔABE=a22=AE.BE.AB4.RΔABE⇒RΔABE=2a.a522:4a2=5a8
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABE là
R=RΔABE2+SA24=5a82+a24=a418
Cho hàm số y=fx liên tục trên khoảng a;b và x0∈a;b. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
(1). Hàm số đạt cực trị tại điểm x0 khi và chỉ khi f'x0=0
(2). Nếu hàm số y=fxcó đạo hàm và có đạo hàm cấp hai tại điểm x0 thoả mãn điều kiện f'x0=f''x0=0 thì điểm x0 không phải là điểm cực trị của hàm số y=fx
(3). Nếu f'x đổi dấu khi x qua x0 thì điểm x0 là điểm cực tiểu của hàm số y=fx
(4). Nếu hàm số y=fx có đạo hàm và có đạo hàm cấp hai tại điểm x0 thoả mãn điều kiện f'x0=0; f''x0>0 thì điểm x0 là điểm cực đại của hàm số y=fx
0
1
2
3
Đáp án A
A sai vì hàm số y=x3 có y'0=0 nhưng không đạt cực trị tại x = 0
B sai vì hàm số y=x4có y'0=0,y''0=0đạo hàm và có đạo hàm cấp hai tại điểm x0 thoả mãn điều kiện f'x0=f''x0=0 thì điểm x0nhưng không đạt cực trị tại x = 0
C sai vì “Nếu f'x đổi dấu khi x qua x0 thì điểm x0 là điểm trị (cực đại và cực tiểu) của hàm số y=f''x
D sai vì “Nếu hàm số y=fx có đạo hàm và có đạo hàm cấp hai tại điểm x0 thoả mãn điều kiện f'x0=0;f''x0>0 thì điểm x0là điểm cực đại của hàm số y=f''x
Số nguyên tố dạng Mp=2P−1, trong đó p là một số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mecxen. Số M6972593 được phát hiện năm 1999. Hỏi rằng nếu viết số đó trong hệ thập phân thì có bao nhiêu chữ số?
2098960 chữ số
2098961 chữ số
6972593 chữ số
6972592 chữ số
Đáp án A
Ta có
logM6972593=log26972593−1≈log26972593=log2log2106972593log210=6972593log210=2098959,641
Do đó số chữ số của số đó là
2098959+1=2098960
Cho hàm số y=−x2+2, khi x≤1x, khi x>1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn −2;3
max−2;3y=−2
max−2;3y=2
max−2;3y=1
max−2;3y=3
Đáp án D
Với x∈−2;1 ta có
y=−x2+2⇒y'=−2x;y'=0⇔x=0.
Ta có y−2=−2;y0=2;y1=1
Xét x∈1;3 ta có
y=x⇒y'=1>0.
Ta có y3=3
Suy ra max−2;3y=3
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang vuông tại A và B, biết AB=BC=a,AD=2a,SA=a3 và SA⊥ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB, SA. Tính khoảng cách từ M đến (NCD) theo a
a6611
a6622
a6644
2a66
Đáp án B
Gọi K=CD∩AB khi đó BC là đường trung bình trong tam giác KAD nên KB =a
Gọi I=KN∩AM
Ta có
IMIA=MNKB=12⇒dM=12dA
Do CE=12AD nên ΔACD vuông tại C
Dựng AH⊥NC,
dA=AH=NA.ACNA2+AC2=a6611
Do đó dM=a6622
Cho tam giác ABC cân tại A. Biết rằng độ dài cạnh BC, trung tuyến AM và độ dài cạnh AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có công bội q. Tìm công bội q của cấp số nhân đó
q=1+22
q=2+222
q=−1+22
q=−2+222
Đáp án B
Ta có
AM2+BC22=AB2BC.AB=AM2⇒BC.AB+BC22=AB2⇔ABBC2−ABBC−14=0
⇔q2=ABBC=1+22⇔q=1+22
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA= y. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM= x. Biết rằng x2+y2=a2. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM
a334
a38
a332
a338
Đáp án D
Ta có
V=13SA.SABCM=13y.12ax+a=16ax+aa2−x2
Xét fx=x+aa2−x2
⇒f'x=a2−x2+x+a.−xa2−x2=0
⇒a2−x2=xx+a⇔2x2+ax−a2=0⇔x+a2x−a=0⇔x=a2
⇒V≤16aa2+aa2−a22=a338
Xét các số thực a, b thỏa mãn a≥b>1. Biết rằng biểu thức P=1logaba+logaab đạt giá trị lớn nhất khi b=ak. Khẳng định nào sau đây đúng?
k∈2;3
k∈32;2
k∈−1;0
k∈0;32
Đáp án D
Đặt 0<t=logab≤1
⇒P=logaab+logaa+logab=1+t+1−t=ft
f't=1−121−t→f't=0
⇔t=34⇒f34=94.
Dựa vào bảng biến thiên,
suy ra ft0<t≤1≤f34
Khi đó t=34=logab
⇔a34=b⇔k=34
Giả sử hàm số y=fx liên tục nhận giá trị dương trên khoảng (0;+∞)và thỏa mãn f1=1, fx=f'x3x+1, với ∀x>0. Mệnh đề nào sau đây đúng?
1<f5<2
4<f5<5
2<f5<3
3<f5<4
Đáp án D
Ta có fx=f'x3x+1
⇔f'xfx=13x+1⇔∫f'xfxdx=∫dx3x+1
⇔∫afxfx=∫3x+1−12dx
⇔lnfx=233x+1+C⇔fx=e233x+1+C
Mặt khác f1=1
suy ra 1=e43+C
⇔C=−43⇒f5≈3,793
Cho hàm số fx có đạo hàm là f'x. Đồ thị của hàm số y=f'x được cho như hình vẽ bên. Biết rằng f0+f3=f2+f5. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của fx trên đoạn [0;5] lần lượt là
f0,f5
f2,f0
f1,f5
f2,f5
Đáp án D
Từ đồ thị y=f'x trên đoạn [0;5], ta có bảng biến thiên của hàm số y=fx như hình vẽ bên
Suy ra min0;5fx=f2.
Từ giả thiết, ta có
f0+f3=f2+f5⇔f5−f3=f0−f2
Hàm số f(x) đồng biến trên 2;5
⇒f3>f5⇒f5−f2>f5−f3=f0−f2⇔f5>f0
Suy ra max0;5fx=f0;f5=f5
Cho dãy số (un) thỏa mãn u1=12,un+1=un2n+1un+1,n≥1. Sn=u1+u2+...+un<20172018 khi n có giá trị nguyên dương lớn nhất là
2017
2015
2016
2014
Đáp án C
2016
Cho hai đường cong C1:y=3x3x−m+2+m2−3m và C2:y=3x+1. Để (C1) và (C2) tiếp xúc nhau thì giá trị của tham số m bằng
m=5−2103
m=5+323
m=5+2103
m=5−323
Đáp án C
Xét đường cong
C1:fx=3x3x−m+2+m2−3m
Và đường cong C2:gx=3x+1.
Để (C1) tiếp xúc với (C2)
⇔f'x=g'xfx=gx
⇔2ln33x2−m−2ln3.3x=3x.ln33x2−m−2.3x+m2−3m=3x+1⇔23x−m+2=13x2−m−2.3x+m2−3m=3x+1
⇔3x=m−123x2−m−2.3x+m2−3m=3x+1⇒m−122−m−2.m−12+m2−3m=m−12+1*
vì 3x>0⇒m>1,
do đó *⇔m=5+2103
Trên mặt phẳng Oxy ta xét một hình chữ nhật ABCD với các điểm A−2;0,B−2;2, C4;2,D(4;0). Một con châu chấu nhảy trong hình chữ nhật đó tính cả trên cạnh hình chữ nhật sao cho chân nó luôn đáp xuống mặt phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên (tức là điểm có cả hoành độ và tung độ đều nguyên). Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm M( x;y) mà x+y<2
37
821
13
47
Đáp án A
Đường thẳng x+y−2=0 chia hình chữ nhật thành 2 phần như hình vẽ. Xét điểm X0;1
Số các điểm nguyên không nằm bên ngoài hình chữ nhật là 3.7=21 (điểm)
Các điểm có tọa độ thỏa mãn x+y<2 là các điểm nằm phía bên trái đường thẳng x+y−2=0, hay cùng phía với X so với đường thẳng x+y−2=0 và không lấy các điểm nằm trên đường thẳng này.
Dễ thấy trường hợp này có 9 điểm thỏa mãn
Vậy xác suất cần tìm là 921=37
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. I nằm trên cạnh SC sao cho IS = 2IC. Mặt phẳng (P) chứa cạnh AI cắt cạnh SB, SD lần lượt tại M, N. Gọi V’, V lần lượt là thể tích khối chóp S.AMIN và S.ABCD. Tính giá trị nhỏ nhất của tỷ số thể tích V'V
45
554
815
524
Đáp án C
Bài toán sử dụng bổ đề sau: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (P) bất kì cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm A’, B’, C’, D’ với tỉ số
SA'SA=x;SB'SB=y;SC'SC=z;SD'SD=t thì ta có đẳng thức
1x+1z=1y+1t và tỉ số
VS.A'B'C'D'VS.ABCD=xyzt41x+1y+1z+1t
Áp dụng vào bài toán
đặt u=SMSB,v=SNSD ta có
1u+1v=SASA'+SCSI=11+123=52≥2uv≥1625⇒V'V=uv.1.2341u+1v+11+123=5uv6≥815
Cho biểu thức fx=12018x+2018. Tính tổng sau
S=2018[ f−2017+f−2016+...+f0+f1+...+f2018]
S=2018
S=12018
S=2018
S=12018
Đáp án A
Đặt
a=2018⇒fx+f1−x=1ax+a+1a1−x+a=a1−x+ax+2aax+aa1−x+a=1a
Do đó
fx+f1−x=12018
