Tổng hợp đề thi thử THPT quốc gia môn Toán cực hay có lời giải - Đề 11

Đáp án D

Phương pháp: Xét hai mặt phẳng

+ . Khi đó $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}//\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}$

+ (P) và (Q) cắt nhau khi và chỉ khi chúng không song song hay trùng nhau 

+ (P)$\perp$(Q) <=> $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\perp \overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}\iff \overrightarrow{n_{\left(P\right)}}.\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=0$

Cách giải: (P): 2x – y + 3z – 1 = 0; (Q): 4x – 2y + 6z – 1 = 0

Ta có: 

=> (P) và (Q) song song với nhau

Đáp án C

Phương pháp: Gọi số cần tìm là $\overline{abc}\left(a,b,c\in \left\{2;3;4;5;6;7\right\}\right)$, chọn lần lượt các chữ số a, b, c sau đó áp dụng quy tắc nhân.

Cách giải: Gọi chữ số lập thành là $\overline{abc}\left(a,b,c\in \left\{2;3;4;5;6;7\right\}\right)$.

Khi đó : a có 6 sự lựa chọn, b có 6 sự lựa chọn, c có 6 sự lựa chọn. => Số các số gồm 3 chữ số được lập từ 6 chữ số đó là : $6^3=216$

Đáp án A

Phương pháp:

- TXĐ

- Tính đạo hàm y’

- Tìm nghiệm của phương trình y’ = 0 và điểm mà tại đó y’ không xác định.

- Xét dấu y’.

- Kết luận.

Cách giải: $y=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x+1$ 

Hàm số đồng biến trên các khoảng 

Đáp án D

Phương pháp: 

Cách giải: 

Đáp án D

Phương pháp: (Oxy): z = 0, (Oyz): x = 0, (Oxz): y = 0

Trục Oy: $\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=t\\ z=0\end{array}\right.$

Cách giải: M (1;0;3)$\in$(Oxz)

Đáp án C

Cách giải: 

Đáp án C

Phương pháp: Diện tích xung quanh của hình nón: $S_{xq}=\pi Rl$ 

Trong đó : R bán kính đáy, l độ dài đường sinh.

Cách giải: Tam giác ABC vuông cân tại A, AH$\perp$BC

=> AH = HB = HC

Diện tích xung quanh của hình nón:

$S_{xq}=\pi Rl$

Đáp án A

Phương pháp:  

Cách giải: 

Đáp án A

Phương pháp:

Đường thẳng đi qua $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và có VTCP là $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$ có phương trình chính tắc: $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$

Cách giải:

Đường thẳng d đi qua $M\left(2;0;-1\right)$ và có VTCP là $\overrightarrow{u}=\left(2;-3;1\right)$ có phương trình chính tắc: $\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z+1}{1}$

Đáp án B

Phương pháp: Loại trừ phương án sai.

Cách giải: Hàm số ở bốn phương án có dạng  

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên R => a>0

=> Loại đi phương án A và C.

Mặt khác, hàm số đồng biến trên  

Xét  

y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt => có khoảng đồng biến, có khoảng nghịch biến.

=>Loại đi phương án D.

=>Chọn phương án B

Đáp án C

Phương pháp: Giải bất phương trình loagrit cơ bản:

 nếu a>1

 nếu 0<a<1

Chú ý tìm điều kiện xác định của f(x)

Cách giải: 

Đáp án A

Phương pháp:  Thể tích khối lăng trụ: V = Bh, trong đó

B: diện tích đáy, h: chiều cao.

Cách giải: Tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{ACB}={60}^0$

Thể tích khối lăng trụ:

0

Đáp án D

Phương pháp: Hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d, a\ne 0$: 

y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt : Hàm số có 2 điểm cực trị.

y’ = 0 có 1 nghiệm (nghiệm kép) : Hàm số không có cực trị.

y’ = 0 vô nghiệm : Hàm số không có cực trị.

Cách giải: $y=x^3+3x^2+1$ => $y\text{'}=3x^2+3x$ <=>  => Hàm số có hai điểm cực trị

Đáp án B

Phương pháp: Điểm biểu diễn của số phức z = a +bi, (a,b$\in$R) là M (a;b)

Cách giải: Số phức z = –4 + 3i  được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ M (–4;3)

Đáp án B

Cách giải: Thể tích V của khối nón tròn xoay thu được khi cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị của y = f (x), x = a, x = b (a<b) khi quay xung quanh trục Ox tính bằng công thức: $V=\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}{\mathrm{f}}^2\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$

Đáp án A

Phương pháp: Sử dụng sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số để đánh giá số nghiệm của phương trình.

Cách giải: 

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số  và đường thẳng 

Xét  có 

Bảng biến thiên:

Khi đó,  cắt  tại 3 điểm phân biệt 

Đáp án A

Phương pháp: Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (P).

Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng a và a’.

Cách giải: ABCD là hình chữ nhật 

Vì SA$\perp$(ABCD) nên (SC;(ABCD)) = (SC;AC) = $\widehat{SCA}$

Ta có: AB//CD, CD$\subset$(SCD) => d(B;(SCD)) = d(A;(SCD))

Kẻ AH$\perp$SD, H$\in$SD

Ta có: 

Mà AH$\perp$SD => AH$\perp$(SCD) => d(A;(SCD)) = AH

Tam giác SAD vuông tại A,

Đáp án B

Cách giải: $y=2x^3+3x^2-12x+2$ 

Đáp án D

Phương pháp :Nếu $\underset{x\to \infty }{lim}y=a$ => y = a là TCN của đồ thị hàm số.

Nếu $\underset{x\to x_0}{lim}y=a$ => $x=x_0$ là TCĐ của đồ thị hàm số.

Cách giải:

$y=\frac{ax+1}{2x-b}\left(a,b\in R; ab\ne -2\right)$ có hai đường tiệm cận là $x=\frac{b}{2}; y=\frac{a}{2}$ => giao điểm  của hai đường tiệm cận là

Đáp án B

Phương pháp:

- Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng:

Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (P).

Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng a và a’.

Cách giải: Tam giác ABC vuông tại C có AB = 2a; $\widehat{CAB}={30}^0$

Tam giác SAC vuông tại A

Vì SA$\perp$(ABC) => (SC;(ABC)) = (SC;AC) = $\widehat{SCA}$

Đáp án A

Phương pháp: Xét hàm số có dạng 

+ Nếu 0<a<1 hàm số nghịch biến trên (–∞;+∞)

+ Nếu a>1 : hàm số đồng biến trên (–∞;+∞)

Cách giải: Với 0<a<1:

 (luôn đúng). Vậy phương án A đúng

 (Loại). Vậy phương án B sai

 (Loại). Vậy phương án C sai

(Loại). Vậy phương án D sai

Đáp án C

Phương pháp: 

Cách giải: 

Đáp án B

Phương pháp: - Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ được tính:

- Phương trình mặt phẳng đi qua $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và có 1 VTPT $\overrightarrow{n}(a;b;c)$: a(x$-$x₀)+b(y$-$y₀)+c(z$-$z₀) = 0

Cách giải: Trọng tâm G của tam giác ABC: $G\left(-1;1;1\right)$ 

(P) vuông góc với AB => (P) nhận $\overrightarrow{AB}\left(2;2;-3\right)$ là một VTPT 

Phương trình mặt phẳng (P): 

Đáp án A

Phương pháp:  Áp dụng định lí Vi –et, xác định tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn 

Cách giải: Xét phương trình $3z^2-z+4=0$. Áp dụng định lý Vi-ét: 

Đáp án D

Phương pháp:

Cách giải: Số phần tử của không gian mẫu: 

Gọi A: “Mỗi khối có ít nhất 1 học sinh được chọn.”

Khi đó 

Xác suất: 

Đáp án C

Phương pháp:

+) Công thức khai triển nhị thức Newton: 

+) 

Cách giải:

Với n =15: 

Hệ số chứa $x^{10}$ứng với i = 10 và bằng 

Đáp án D

Phương pháp: Biến đổi và đặt ${\log }_{2}x=t$ giải bất phương trình ẩn t.

Cách giải:   (Điều kiện : x > 0, x ≠ 1)

Đặt ${\log }_{2}x=t,t\ne 0$. Bất phương trình (1) trở thành: 

Bảng xét dấu:

Mà 

Đáp án A

Phương pháp:  Sử dụng phương pháp hàm số.

Cách giải: Gọi độ dài đoạn MB là x 

Tam giác ABM vuông tại B => 

Thời gian người đó đi từ A tới C: 

Xét hàm số f(x) 

=> x = $2\sqrt{5}$

Vậy, để người đó đến C nhanh nhất thì khoảng cách từ B đến M là $2\sqrt{5}$

Đáp án B

Cách giải:

f ' (x) = $\frac{1}{x\left(x-2\right)}$

Đáp án A

Phương pháp: Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ  thị  hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được tính theo công thức : 

Cách giải: Phương trình đường thẳng d đi qua A(0;4) có hệ số góc k 

Cho . Vậy, d cắt Ox tại điểm 

Giao điểm của $y=x^2-4x+4$ và trục hoành: Cho y = 0 => x = 2

=>Để d chia (H) thành 2 phần thì 

Vì d chia (H) thành 2 phần có diện tích bằng nhau

Đáp án C

Phương pháp: Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng

 tại hữu hạn điểm thuộc D.

Cách giải:

Hàm số $y=\frac{mx+4}{x+m}$nghịch biến trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$

Đáp án D

Phương pháp: - Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng:

Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (P).

Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng a và a’.

Cách giải:

Vì

ABCD là hình chữ nhật 

∆SAC vuông tại A 

∆ABM vuông tại B 

∆SAM vuông tại A 

Đáp án B

Phương pháp: Công thức tính diện tích tam giác ΔABC trong hệ tọa độ Oxyz là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}\left|\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]\right|$

Cách giải: $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{1}$ có phương trình tham số : $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t_1\\ y=-t_1\\ z=-2+t_1\end{array}\right.$, có 1 VTCP ${\overrightarrow{u}}_1\left(2;-1;1\right)$

$d_2:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{7}=\frac{z-3}{-1}$ có phương trình tham số :$\left\{\begin{array}{l}x=1+t_2\\ y=1+7t_2\\ z=3-t_2\end{array}\right.$, có 1 VTCP ${\overrightarrow{u}}_2\left(1;7;-1\right)$

=> Gọi , 

=> $\overrightarrow{AB}$ =

AB là đường vuông góc chung của $d_1$, $d_2$ => $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_1}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_2}=0\end{array}\right.$

=> $\overrightarrow{OA}=\left(1;0;-2\right),\overrightarrow{OB}=\left(-1;1;3\right)$

Diện tích tam giác OAB: $S_{OAB}=\frac{1}{2}\left|\left[\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right]\right|=\frac{1}{2}\left|\left(2;-1;1\right)\right|$ = $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Đáp án D

Phương pháp: Đặt 

Do 

Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình ẩn t.

Cách giải: Đặt 

Phương trình đã cho trở thành:

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho 

Tổng các nghiệm của phương trình là: 

Đáp án B

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Sử dụng định lý Vi – ét , tìm m.

Cách giải: Phương trình hoành độ giao điểm của d: $y=-x+m$ và (C): $y=\frac{-2x+1}{x+1}$ là:

(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ó Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt và khác -1

Gọi tọa độ giao điểm là $A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)$ => $x_1,x_2$ là nghiệm của (1).

Theo Vi – ét: 

( Thỏa mãn điều kiện (2))

Tổng các giá trị của m là: 

Đáp án D

Phương pháp: Sử dụng phương pháp hàm số.

Cách giải: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x+{\left(\frac{1}{3}\right)}^x+{\left(\frac{1}{4}\right)}^x=m\left(2^x+3^x+4^x\right)$ 

Xét hàm số    trên [0;1]:

$y\text{'}=\frac{-\left(2^{-x}\ln 2+3^{-x}\ln 3+4^{-x}\ln 4\right)\left(2^x+3^x+4^x\right)}{{\left(2^x+3^x+4^x\right)}^2}$ $-$ $\frac{\left(2^{-x}+3^{-x}+4^{-x}\right)\left(2^x\ln 2+3^x\ln 3+4^x\ln 4\right)}{{\left(2^x+3^x+4^x\right)}^2}<0$ $\forall x\in$[0;1]

=> Hàm số nghịch biến trên [0;1]

=>Phương trình (1) có nghiệm trên [0;1]

Đáp án B

Phương pháp: Lập bảng biến thiên của g(x) và đánh giá số giao điểm của đồ thị hàm số y = g(x) và trục hoành.

Cách giải: 

Xét giao điểm của đồ  thị  hàm sốy = f’(x) và đường thẳng y = -x ta thấy, hai đồ  thị  cắt nhau tại ba điểm có hoành độ là: -2;2;4 tương ứng với 3 điểm cực trị của y = g(x).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy  => phương trình g(x) = 0 không có nghiệm

Đáp án C

Phương pháp: Xác định góc giữa hai mặt phẳng $\alpha ;\beta$: 

- Tìm giao tuyến ∆ của $\alpha ;\beta$

- Xác định 1 mặt phẳng $\gamma \perp △$

- Tìm các giao tuyến $a=\alpha \cap \gamma , b=\beta \cap \gamma$

- Góc giữa hai mặt phẳng $\alpha ;\beta$: $\alpha ;\beta$ = a;b

Cách giải: Kẻ OH$\perp$AM, H$\in$AM, OK$\perp$SH, K$\in$SH

Vì 

=> AM$\perp$OK

Mà OK$\perp$SH => OK$\perp$(SAM) => d(O;(SAM)) = OK = 2

Ta có:  ( vì AM$\perp$OH, AM$\perp$SO)

Mà (SOH)$\cap$(OAM) = OH; (SOH)$\cap$(SAM) = SH => ((SAM);(OAM)) = (SH;OH) = $\widehat{SHO}$ = ${30}^0$

Tam giác OHK vuông tại K

Tam giác SOH vuông tại O 

Tam giác OAM cân tại O, $\widehat{AOM}$ = ${60}^0$, OH$\perp$AM

Tam giác OHM vuông tại H 

Thể tích khối nón: 

Đáp án D

Phương pháp:

- Biểu diễn số phức và giải bài toán tìm GTLN trên mặt phẳng tọa độ.

Cách giải: Gọi I(1;1), J$\left(-1;-3\right)$, A(2;3)

Xét số phức z = x + yi, (x,y$\in$R), có điểm  biểu diễn là M(x;y)

 (1)

 => M di chuyển trên đường elip có tiêu điểm I và  J, độ dài trục lớn là $3\sqrt{5}$

Tìm giá trị lớn nhất của $\left|z-2-3i\right|$ tức là tìm độ dài lớn nhất của đoạn AM khi M di chuyển trên elip

Ta có: $\overrightarrow{IA}=(1;2),\overrightarrow{JA}=\left(3;6\right)$ => $\overrightarrow{JA}=3\overrightarrow{IA}$,điểm A nằm trên trục lớn của elip.

=>AM đạt độ  dài lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với B, là đỉnh của elip nằm trên trục lớn và khác phía A so với điểm I.

Gọi S là trung điểm của IJ => S(0;$-$1)

Độ dài đoạn AB = SA + SB

Mà $\overrightarrow{AS}=\left(-2;-4\right)$ => AS = $2\sqrt{5}$, SB = $\frac{6\sqrt{5}}{2}=3\sqrt{5}$ => AB = $5\sqrt{5}$

Vậy ${\left|z-2-3i\right|}_{max}=5\sqrt{5}$

Đáp án B

Phương pháp:  Nhân xác suất.

Cách giải: Gọi số lần Amelia tung đồng xu là n, 

=> Số lần Blaine tung là n – 1

Amelia thắng ở lần tung thứ n của mình nên n – 1 lượt đầu Amelia tung mặt sấp, lần thứ  n  tung mặt ngửa, còn toàn bộ n – 1lượt của Blaine đều sấp. Khi đó:

Xác suất Amelia thắng ở lần tung thứ n: 

Xác suất Amelia thắng :

Đáp án C

Phương pháp: Bài toán lãi suất trả góp:  

Trong đó:

N: số tiền vay

r: lãi suất

A: số tiền phải trả hàng tháng để sau n tháng là hết nợ.

Cách giải: Ta có:

≈ 21,116 triệu đồng

Đáp án B

Cách giải: $\overrightarrow{AB}=\left(-1;-2;3\right)$

d: $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-1}{2}$ có 1 VTCP $\overrightarrow{v}\left(1;-2;2\right)$ là một VTCP của ∆
 ∆ là đường thẳng qua A, vuông góc với d => ∆$\subset$(α) mặt phẳng qua A và vuông góc d

Phương trình mặt phẳng (α): 1(x – 3) – 2(y – 2) + 2(z – 1) = 0 ó x – 2y + 2z – 1 = 0

Khi đó,  khi và chỉ khi ∆ đi qua hình chiếu H của B lên (α)

*) Tìm tọa độ điểm H:

Đường thẳng BH đi qua B(2;0;4) và có VTCP là VTPT của (α) có phương trình:

=> 

<=>

∆ đi qua A(3;2;1), H(1;2;2) có VTCP $\overrightarrow{HA}=\left(2;0;-1\right)=\overrightarrow{u}\left(2;b;c\right)$; $\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{5}$

Đáp án D

Cách giải:

+  => Hàm số đồng biến trên 

+  Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 

Theo đinh lí Viet ta có

Khi đó, để hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞) thì

 ( vô lí )

Vậy m ≥ 13

Mà 

Số giá trị của m thỏa mãn là: 2018 $-$ 13 + 1 = 2006

Đáp án B

Phương pháp: Đạo hàm: 

Cách giải:

Ta có:

Đáp án B

Phương pháp: Dựa vào khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

+)  Lấy mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d_2$ và song song với $d_1$

Khi đó d($d_1$,$d_2$) = d($d_1$,(P))

(Chọn sao cho ta dễ dàng tính được khoảng cách).

+) Tính khoảng cách giữa đường thẳng $d_2$ và mặt phẳng (P).

Cách giải:

Dựng hình bình hành A’C’B’D

=>A’D//B’C’ => B’C’//(BDA’)

=>D(B’C’;BA’) = d(B’C’;(BDA’))

Gọi J là trung điểm A’D.

Kẻ B’H$\perp$BJ, H$\in$BJ

∆A’B’C’ đều => ∆A’B’D’ đều => B’J$\perp$A’D

Mà BB’$\perp$A’D => A’D$\perp$(BA’D) => A’D$\perp$B’H 

B’H$\perp$(A’DB) => d(B’C;A’B) = B’H

∆A’B’D’ đều, cạnh bằng a => B'J = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

∆JB’B vuông tại B’ 

Đáp án A

Phương pháp: Đạo hàm hàm hợp: 

Cách giải: Ta có: 

=> 

Đáp án D

Phương pháp: $d^2+r^2=R^2$

Trong đó,

d: khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P),

r: bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S)

và mặt phẳng (P),

R: bán kính hình cầu.

Cách giải:

(S): $x^2+y^2+z^2-6x+4y-2z+5=0$ <=> ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=9$

=> (S) có tâm I(3; –2;1) bán kính R = 3

(Q) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính r = 2

Ta có: $d^2+r^2=R^2$ 

Gọi $\overrightarrow{n}\left(a;b;c\right),\left(\overrightarrow{n}\ne 0\right)$ là một VTPT của (Q). Khi đó $\overrightarrow{n}$ vuông góc với  VTCP $\overrightarrow{n}\left(1;0;0\right)$ của Ox

=>1.a + 0.b +).c = 0 ó a = 0

Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua O(0;0;0) và có VTPT $\overrightarrow{n}\left(0;b;c\right),\left(\overrightarrow{n}\ne 0\right)$ là:

0.(x – 0) + b(y – 0) + c(z – 0) ó by + cz = 0

Khoảng cách từ tâm I đến (Q):

Cho c = –1 => b = 2 => $\overrightarrow{n}\left(0;2;-1\right)$

Phương trình mặt phẳng (Q): 2y $-$ z = 0

Đáp án C

Phương pháp: Sử dụng phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Cách giải: Đặt A(x;0;0), B(0;y;0), (x,y > 0)

Vì OA + OB = OC = 1 => x + y = 1

Gọi J, F lần lượt là trung điểm AB, OC. Kẻ đường thẳng qua F song song OJ, đường thẳng qua J song song OC, 2 đường thẳng này cắt nhau tại G.

∆OAB vuông tại O => J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

GJ // OC => GJ$\perp$(OAB) => GO = GA = GB