Tổng hợp 25 đề thi thử thpt quốc gia môn Toán cực hay, chọn lọc có lời giải (Đề số 11)

Đáp án C

Ta có: y’ = 8x³ – 8x

ð y’ = 0 ó x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1

Ta có bảng biến thiên:

Vậy các điểm cực trị của hàm là: (-1;1), (0;3) và (1;1)

Theo công thức tính diện tích tam giác, ta có:

   $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$                                          

Trong đó

   $p=\frac{a+b+c}{2}$                                                    

Vậy diện tích tam giác tạo bởi 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là 2

Đáp án C

Ta có: y’ = -3x² + 3

ð y’ = 0 ó x = -1 hoặc x = 1

Ta có bảng biến thiên:

Đáp án B

Dễ thấy y’ = 0 tại x = -2 và x = 1

Lại thấy y’ < 0 trên khoảng (-∞;2) và y’ ≥ 0 trên khoảng (-2;+∞)

Từ đó ta có bảng biến thiên

Đáp án C

Đáp án A

Ta chuẩn hóa các cạnh SA, SB, SC của hình chóp về độ dài là 1

Lưu ý: việc chuẩn hóa phải đảm bảo các thông số về góc của bài toán không bị thay đổi

Gọi M là trung điểm AC, N là trung điểm AB, H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

Vì hình chóp có SA = SB = SC 

=> Hình chiếu của S trên (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Xét ∆SAB, ta có: $AC=\sin \frac{45°}{2}$

$AB=2\sin \frac{45°}{2}$

Xét ∆ABC, ta có: $A{M}^2 + M{B}^2 = A{B}^2$

$\Rightarrow MB=\frac{\sqrt{7-4\sqrt{2}}}{2}$

Ta có:  $S_{ABC}=\frac{abc}{4R}=\frac{1}{2}.AC.MB$

$\Rightarrow R=\frac{abc}{2MB}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{7-4\sqrt{2}}}$

Xét ∆ASH, ta có: $A{H}^2 + S{H}^2 = S{A}^2$

$\Rightarrow SH=\frac{1}{\sqrt{7-4\sqrt{2}}}$

Vậy $V_{S.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{\sqrt{7-4\sqrt{2}}}.\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{7-4\sqrt{2}}}{2}.1=\frac{1}{2}$

Lại có: $V_{S.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{4}.\frac{1}{5}$                          

Vậy   $V_{S.ABC}=5$

Đáp án B

Số điểm đồ thị cắt trục hoành -> Số nghiệm phương trình:

$(x-1)(x^3-2x^2+1)=0$

ó x = 1 hoặc  $x^3-2x^2+1$= 0

Xét hàm số: f(x) = $x^3-2x^2+1$  

Ta có: f’(x) = 3x² – 4x

ð y’ = 0 ó x = 0 hoặc x =$\frac{4}{3}$  

Ta có bảng biến thiên

Vậy đường x = 0 giao với đồ thị hàm số f(x) =$x^3-2x^2+1$  tại 3 điểm phân biệt

Ta lại có f(1) = 0

ð x = 1 là nghiệm phương trình $x^3-2x^2+1$  = 0

Vậy đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Đáp án C

Ta có: y’ = 3x² – 10x + 7

ð y’ = 0 ó x = 1 hoặc x =$\frac{7}{3}$

Xét các giá trị sau:

f(1) = 0

f( ) = $-\frac{32}{27}$

f(-2) = -45

f(2) = -1

Dễ thấy hàm số có giá trị nhỏ nhất là -45 tại x = -2 trên đoạn [-2;2]

Đáp án D

Ta có: y’ =  $-\frac{5}{{(x-3)}^2}$

ð y’(4) = -5

Phương trình đường tiếp tuyến tại M là: y = -5x + 27

Vậy phương trình cắt Ox, Oy lần lượt tại 2 điểm: A( ; 0), B(0;27)

Ta có: S_OAB =  $\frac{1}{2}\mathrm{.27.}\frac{27}{5}=\frac{729}{10}$

Đáp án B

Gọi M là trung điểm BC

Vì các cạnh AA’ = A’B = A’C

ð Hình chiếu của A’ trên (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

ð A’M $\perp$  (ABC)

Xét ∆A’BC, ta có: A’M =  $a\sqrt{3}$

Xét ∆ABC, ta có: AB = AC =  $a\sqrt{2}$

Vậy

$$\begin{gathered} V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=a\sqrt{3}.S_{ABC} \\ =a\sqrt{3}.\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.a\sqrt{2} \\ =a^3\sqrt{3} \end{gathered}$$ 

Đáp án D

$$\begin{gathered} {\log }_{63}84=\frac{{\log }_{2}84}{{\log }_{2}63}=\frac{2+{\log }_{2}3+{\log }_{2}7}{2{\log }_{2}3+{\log }_{2}7} \\ =\frac{2+{\log }_{2}3+\frac{{\log }_{3}7}{{\log }_{3}2}}{2{\log }_{2}3+\frac{{\log }_{3}7}{{\log }_{3}2}}=\frac{2+a+ab}{2a+ab} \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} \frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-{(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})}^2 \\ =\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{ab}-(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}-2\sqrt[3]{ab}) \\ =3\sqrt[3]{ab} \end{gathered}$$

Đáp án A

Đáp án B

Trải hình ra ta thu được:

Dễ thấy AM + MN + NA đạt giá trị nhỏ nhất khi A, M, N, A thẳng hàng

Lại có S.ABC là hình chóp tam giác đều

ð ∆SAB = ∆SBC = ∆SAC (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{\text{AS}B}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}$$\Rightarrow \widehat{\text{AS}A}=90°$

AM + MN + $N{A}_{min}$ = $a\sqrt{2}$

Đáp án B

Đáp án D

Ta có: y’ = 3x² – 6mx + 3

Hàm đồng biến trên R -> y’ ≥ 0      ∀x ϵ D=R

<->3x² – 6mx + 3 ≥ 0

$\iff$m² – 1 ≤ 0

$\iff$-1 ≤ m ≤ 1

Xét m = 1, ta có: y’ = 3x² – 6x + 3

ð y’ = 0 $\iff$ x = 1

 Xét m = -1, ta có: y’ = 3x² + 6x + 3

ð y’ = 0 $\iff$ x = 1

Vậy tập giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài là: -1 ≤ m ≤ 1

Đáp án C

Ta có: y’ = 3$x^2$ – 3

ð y’(2) = 9

ð Phương trình đường tiếp tuyến tại M(2;4) là:

y = 9(x – 2) + 4 = 9x – 14

Đáp án B

Đáp án D

Ta có: y’ = $-\frac{3}{{(x-2)}^2}$ 

Dễ thấy hàm số nghịch biến trên (-∞;2) và (2;+∞)

ð Hàm có giá trị lớn nhất là 2 tại x = 5 trên đoạn [3;5]

Đáp án D

$\sqrt[5]{a^3.\sqrt[3]{a^2}}=\sqrt[5]{a^3.a^{\frac{2}{3}}}=\sqrt[5]{a^{\frac{11}{3}}}=a^{\frac{11}{15}}$

Kẻ MM’ // AA’

Xét hình chóp B.MM’C’C, ta có: $S_{MCN}=\frac{1}{4}{S}_{MM\text{'}C\text{'}C}$

$V_{B\text{'}.MCN}=\frac{1}{4}{V}_{B\text{'}.MM\text{'}C\text{'}C}$

Dễ thấy  $V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=2V_{MBC.M\text{'}B\text{'}C\text{'}}$

Lại có  $V_{MBC.M\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\frac{3}{2}{V}_{B\text{'}.MM\text{'}C\text{'}C}$

$V_{B\text{'}.MCN}=\frac{1}{12}{V}_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}$

Đáp án C

Gọi O là trọng tâm ∆ABC

Kẻ BH  AC

Vì SABC là tứ diện đều => SO $\perp$ (ABC)

Vì ∆ABC đều => BO = $\frac{2}{3}$ BH =  $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Xét ∆SBO vuông tại O

$S{O}^2+O{B}^2=S{B}^2$

-> SO=$\frac{a\sqrt{6}}{3}$

$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}\cdot a^2\cdot \frac{1}{2}\cdot \sin A=\frac{a\sqrt{2}}{12}$

Đáp án D

Hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞)

$\iff$ y’ ≥ 0       ∀ x ϵ D(2;+∞)

 Ta có: (-m; +∞) = D (2;+∞)

ð m ≥ -2

Ta có: y’ =  $\frac{m^2-3}{{(x+m)}^2}$

ð  y’ ≥ 0  $\iff$ m ≥ $\sqrt{3}$    hoặc m ≤ -$\sqrt{3}$

Vậy tập giá trị m thỏa mãn đề bài là:  m ≥ $\sqrt{3}$   hoặc -2 ≤ m ≤ -$\sqrt{3}$  

Đáp án C

Ta có: y’ = 4x³ + 2x

ð y’ ≥ 0  $\iff$ x = 0

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số chỉ có duy nhất 1 cực trị

Đáp án A

Dễ thấy $\widehat{(SC,(ABC\left)\right)}$  =  SAC (vì SA $\perp$(ABC))

ð SA = AC.tan60° = a$\sqrt{3}$  

Ta có:

$$\begin{gathered} V_{SABC}=\frac{1}{3}.S_{ABC}.a\sqrt{3} \\ =\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.a.a.a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6} \end{gathered}$$

Đáp án B

Đáp án A

Xét ∆SAB, ta có: SA = SB =  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

ð SH =  $\frac{a}{2}$

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a}{2}.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}.a.a=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$

Đáp án A

Đáp án D

Dễ thấy hàm số là hàm phân thức bậc nhất

ð Hàm đơn điệu trên từng khoảng xác định của hàm số (-∞;1) và (1;+∞)

Lưu ý: Hàm đơn điệu trên từng khoảng chứ không phải R\{1}

Đáp án C

Ta có: y’ = 3x² + 2(m+1)x – (3m+2)

Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)

3x² + 2(m+1)x – (3m+2) ≥ 0       ∀ x ∈ (0;1)

$\iff$ $m\le -\frac{3x^2+2x-2}{2x-3}$  ∀ x ∈ (0;1)

Xét hàm số: g = $-\frac{3x^2+2x-2}{2x-3}$     D =(0;1)

Ta có: g’ =$-\frac{6x^2-18x-2}{{(2x-3)}^2}$

ð g’ = 0 $\iff$ $x=\frac{9\pm \sqrt{93}}{6}$   (không thoản mãn)

Ta có bảng biến thiên

Vậy với m $\le 3$  hàm số đồng biến trên khoảng (0;1) 

Đáp án C

Xét y = 2x³ – 3x² + 1 

Ta có: y’ = 6x² – 6x

ð y’ = 0 $\iff$ x = 0 hoặc x = 1

Ta có bảng biến thiên

Số nghiệm phương trình đã cho m = 2x³ – 3x² + 1 

= Số giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x³ – 3x² + 1 và đường thẳng y = m

-> 0<m<1

Đáp án B

Đáp án D

Đáp ván A

Vì I là hình chiếu của S trên (ABCD)

$\Rightarrow (\overrightarrow{SC},(ABCD\left)\right)=\overbrace{SCI}$

$\Rightarrow SI=IC.\tan 60°=\frac{a\sqrt{5}}{2}.\tan 60°=\frac{a\sqrt{15}}{2}$

Vậy  

$$\begin{gathered} V_{S.IBC}=V_{S.ABCD}-V_{S.AIB}-V_{S.ICD} \\ =\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{15}}{2}\left(\frac{a+2a}{2}.a-\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.2a-\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.a\right) \\ =\frac{a^3\sqrt{15}}{8} \end{gathered}$$

Đáp án A

Đáp án B

$|x^4 – 5x^2 + 4|$

Đáp án D

Xét hàm y = $x^4 – 5x^2 + 4$

$\Rightarrow$ y’ = 4x3 – 10x

$\Rightarrow$ y’ = 0 ó x = 0 hoặc x = $\pm \sqrt{\frac{5}{2}}$

Ta có bảng biến thiên

Ta có bảng biến thiên hàm y = |$x^4 – 5x^2 + 4$|

Vậy phương trình có 8 nghiệm ó đường y = m giao đồ thị hàm số y = |$x^4 – 5x^2 + 4$| tại 8 điểm phân biệt

$\iff 0<m<\frac{9}{4}$

Đáp án A

Đáp án D

Đáp án C

Dễ thấy với m < 0 thì hàm không có tiệm

cận ngang vì x không tiến đến ∞

Với m = 0, hàm có dạng y = x + 1 và cũng

không có tiệm cận ngang

Với m > 0, ta có:

Xét $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+1}{\sqrt{m{x}^2+1}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}{\sqrt{m+{\displaystyle \frac{1}{x}}}}=\frac{1}{\sqrt{m}}$

Lại có $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+1}{\sqrt{m{x}^2+1}}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}{-\sqrt{m+{\displaystyle \frac{1}{x}}}}=\frac{1}{-\sqrt{m}}$

$\Rightarrow$Hàm có 2 tiệm cận ngang

Đáp án A

Xét hàm y = $x^4 – 2x^2 – 3$

Ta có: y’ = 4x3 – 4x

$\Rightarrow$y’ = 0 $\iff$ x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = 1

Ta có bảng biến thiên

Số phương trình có 2 nghiệm phân biệt

bằng số giao điểm giữa đồ thị hàm số y = $x^4 – 2x^2 – 3$và đường thẳng y = m

ð  $\Rightarrow$m = -4 hoặc m > -3

Đáp án B

Đáp án A

Ta có: y’ = $3x^2 + 4mx + m^2$

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

$\Rightarrow$ y’(1) = 0

$\Rightarrow$ m = -3 hoặc m = -1

Với m = -3, ta có:

y’ = 0 $\iff$ x = 1 hoặc x = 3

Vậy m = -3 không thoản mãn yêu cầu bài toán

Với m = -1, ta có:

y’ = 0 $\iff$ x = 1 hoặc x = $\frac{1}{3}$

Vậy m = -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán