Tổng hợp 20 đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay có đáp án (đề 19)
50 câu hỏi
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định?
y=x4−x2
y=−x3+3x2
y=2x−sinx
y=x−1x−2
Đáp án D
Xét hàm số y=x−1x−2. Ta có: y'=−1x−22<0∀x∈−∞;2∪2;+∞⇒ hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Tất cả các giá trị của m để hàm số y=m−lx3−3m−lx2+32m−5x+m nghịch biến trên R là:
m<1
m≤1
m=1
−4<m<1
Đáp án B
Ta có: y'=3m−1x2−6m−1x+32m−5.
Để hàm số nghịch biến trên R thì:y'≤0∀x∈ℝ
⇔3m−1x2−6m−1x+32m−5≤0∀x∈ℝ
⇔m−1x2−2m−1x+2m−5≤0∀x∈ℝ
TH1: m−1=0⇔m=1⇒−3<0 (luôn đúng)
TH2: m−1<0Δ'=m−12−2m−5m−1≤0⇔m<1
Vậy m≤−1.
Số điểm cực trị của hàm số y=x+2x2+1 là:
0
1
2
3
Đáp án B
Ta có:
y'=1+4x22x2+1=1+2x2x2+1=2x2+1+2x2x2+1=0
⇔2x2+1+2x=0⇔2x2+1=−2x
⇔x≤02x2+1=4x2⇔x≤0x=±12⇔x=−12
=> hàm số có 1 điểm cực trị.
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R, đồ thị của đạo hàm f'(x) như hình vẽ sau:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
f đạt cực tiểu tại x=0
f đạt cực tiểu tại x=-2
f đạt cực đại tại x=-2
cực tiểu của f nhỏ hơn cực đại.
Đáp án B
Quan sát đồ thị hàm số y=f'x ta có:
f'x>0⇔x<−2x>0,f'x<0⇔−2<x<0⇒ B sai; A,C và D đúng.
Với giá trị nào của tham số m thì phương trình x+4−x2=m có nghiệm?
−2<m<2
−2<m<22
−2≤m≤22
−2≤m≤2
Đáp án C
Ta có: x+4−x2≤12+12x2+4−x2=8
⇒−22≤x+4−x2≤22⇒để phương trình có nghiệm thì −22≤m≤22.
Cho hệ 9x2−4y2=5logm3x+2y−log33x−2y=1có nghiệm x;y thỏa mãn 3x+2y≤5. Khi đó giá trị lớn nhất của m là
-5
log35
5
log53
Đáp án C
Ta có: 9x2−4y2=5⇔3x+2y3x−2y=5⇔3x−2y=53x+2y
Khi đó: logm3x+2y=log33x−2y=1
⇔logm3x+2y−log353x+2y=1
⇔logm3x+2y+log33x+2y−log35=1⇔logm3.log33x+2y+log33x+2y=log315⇔log33x+2y1+logm3=log315
Vì 3x+2y≤5
nên log33x+2y≤log35⇒log3151+logm3≤log35
⇔log315log35≤1+logm3
⇔logm3≥log515−1=log53⇔m≤5.
Đồ thị hàm số nào sau đây có ba đường tiệm cận?
y=1−2x1+x
y=14−x2
y=x+35x−1
y=xx2−x+9
Đáp án B
Xét hàm số y=14−x2. Ta có: limx→±2y=∞⇒x=±2 là TCĐ. limx→∞y=limx→∞14−x2=0⇒y=0là TCN.
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây.
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
y=−x2+2x+1
y=log0,5x
y=12x
y=2x
Đáp án C
Cho a, b, c là ba số thực dương và khác 1. Đồ thị các hàm số y=logax,y=logbx,y=logcx được cho trong hình vẽ bên.
Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
a<b<c
c<a<b
c<b<a
b<c<a
Đáp án B
Hàm số y=logcx nghịch biến ⇒0<c<1, các hàm y=logax,y=logbx đồng biến nên a;b>1 Chọn x=100⇒loga100>logb100⇒a<b⇒c<a<b.
Cho phương trình x3−3x2+1−m=01. Điều kiện của tham số m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn x1<1<x2<x3 là
m=−1
−1<m<3
−3<m<−1
−3≤m≤−1
Đáp án C
Vẽ đồ thị hàm số y=x3−3x2+1
Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn x1<1<x2<x3 thì đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số y=x3−3x2+1 tại ba điểm phân biệt thỏa mãn x1<1<x2<x3⇔−3<m<−1.
Cho a, b là các số thực dương. Rút gọn biểu thức P=a3b244a12b63 được kết quả là
ab2
a2b
ab
a2b2
Đáp án C
Ta có: P=a3b244a12b63=a3b2a6b33=a3b2a2b=ab.
Cho fx=2018x2018x+2018. Giá trị của biểu thức:
S=f12017+f22017+...+f20162017 là
2017
1008
2016
1006
Đáp án B
Ta có: fx+f1−x=1.
Suy ra S=f12017+f22017+...+f20162017
=20162fx+f1−x=1008.
Cho n là số nguyên dương và a>0,a≠1.
Tìm n sao cho: loga2019+loga2019+...+logan2019=2033136loga2019.
n=2017
n=2016
n=2018
n=2019
Đáp án B
Ta có: loga2019+loga2019+...+logan2019
=loga2019+2log2019+...+nloga2019
=loga20191+2+...+n=n2n+1loga2019
=2033136loga2019⇒n2n+1=2033136
⇔n2+n−4066272=0⇔n=2016n=−2017⇒n=2016.
Giải phương trình 2,55x−7=25x+1.
x≥1
x=1
x<1
x=2
Đáp án B
PT⇔525x−7=52−x−1⇔5x−7=−x−1⇔x=1.
Tập nghiệm của bất phương trình 9x−2x+53x+92x+1≥0 là
0;1∪2;+∞
−∞;1∪2;+∞
1;2
−∞;0∪2;+∞
Đáp án A
BPT⇔3x−2x−13x−9≥0⇔3x≥2x+13x≥93x≤2x+13x≤9⇔3x≥2x+1x≥23x≤2x+1x≤21.
PT 3x=2x+1 có hai nghiệm x=0,x=1.
Suy ra 1⇔x≥1x≤00≤x≤1x≤2⇔x≥20≤x≤1⇒S=0;1∪2;+∞.
Phương trình log33x−2=3 có nghiệm là
x=293
x=113
x=253
x=87
Đáp án A
PT⇔3x−2>03x−2=27⇒3x−2=27⇔x=293.
Tập nghiệm của bất phương trình log2x2−3x+1≤0 là
S=0;3−52∪3+52;3
S=0;3−52∪3+52;3
3−52;3+52
S=∅
Đáp án A
BPT⇔x2−3x+1>0x2−3x+1≤1⇔x>3+52x<3−520≤x≤3⇔0≤x<3−523+52<x≤3
⇒S=0;3−52∪3+52;3.
Phương trình 25x−2.10x+m24x=0 có hai nghiệm trái dấu khi
m∈−1;0∪0;1
m≤1
m<−1m>1
m≥−1
Đáp án A
PT⇔522x−252x+m2=0→t−52xt2−2t+m2=0 1.
PT ban đầu có 2 nghiệm trái dấu ⇔1 có hai nghiệm thỏa mãn 0<t 1<1<t2.
Suy ra Δ'1>0t1+t2>0t1t2>0t1−1t2−1<0⇔1−m2>02>0m2>0t1t2−t1+t2+1<0
⇔−1<m<1m≠0m2−2+1<0⇔−1<m<1m≠0.
Tìm số nghiệm của phương trình 2x+3x+4x+...+2017x+2018x=2017−x.
1
2016
2017
0
Đáp án A
Xét hàm số fx=2x+3x+4x+...+2018x
f'x=2xln2+3xln3+4xln4+...+2018xln2018
Suy ra f'x>0,∀x∈ℝ⇒fx đồng biến trên
Xét hàm số gx=2017−x,g'x=−1<0,∀x∈ℝ
⇒gx nghịch biến trên
Suy ra PT⇔fx=gx⇒PT có nghiệm thì là nghiệm duy nhất.
Dễ thấy x=0 là nghiệm PT đã cho. Suy ra PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất. x=0.
Phương trình log4x+12+2=log24−x+log84+x3 có bao nhiêu nghiệm?
Vô nghiệm
1 nghiệm
2 nghiệm
3 nghiệm
Đáp án C
Điều kiện x+12>04−x>04+x3>0⇔x≠−1x<4x>−4⇔−4<x<4x≠−1
PT⇔log2x+12+2=log24−x+log24+x⇔log24x+12=log24−x4+x
⇔4x+12=16−x2⇔x+1≥04x+1=16−x2x+1<0−4x+1=16−x2⇔x≥−1x2+4x−12=0x<−1x2−4x−20=0⇔x≥−1x=2x=−6x<−1x=2+26x=2−26⇔x=2x=2−26
Một sinh viên ra tiường đi làm vào ngày 1/1/2018 với mức lương khởi điểm là a đồng/ 1 tháng và cứ sau 2 năm lại được tăng thêm 10% và chi tiêu hàng tháng của anh ta là 40% lương. Anh ta dự định mua một căn nhà có giá trị tại thời điểm 1/1/2018 là 1 tỷ đồng và cũng sau 2 năm thì giá trị căn nhà tăng thêm 5%. Với a bằng bao nhiêu thì sau đúng 10 năm anh ta mua được ngôi nhà đó, biết rằng mức lương và mức tăng giá trị ngôi nhà là không đổi? ( kết quả quy tròn đến hàng nghìn đồng)
21.776.000 đồng
55.033.000 đồng
14.517.000 đồng
11.47.000 đồng
Đáp án C
Mức giá ngôi nhà sau 10 năm bằng 1091+5% đồng.
Số tiền: 24.0,6a+24.0,6a1+10%+24.0,6a1+10%2
+24.0,6a1+10%3+24.0,6a1+10%4 đồng.
⇒24.0,6a+24.0,6a1+10%+24.0,6a1+10%2+24.0,6a1+10%3+24.0,6a1+10%4=1091+5%5
⇔24.0,6a1−1+10%51−1+10%=1091+5%5
⇒a≈14.517.000 đồng
Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí A tới điểm B về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3km (như hình vẽ).
Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến C và sau đó chạy đến B, hay có thể chèo trực tiếp đến B, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm D giữa C và B và sau đó chạy đến B. Biết anh ấy có thể chèo thuyền 6km/h chạy 8km/h và quãng đường BC=8km. Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến
32
97
736
1+78
Đáp án D
Thời gian đi từ A đến B là tAB=32+826=736h .
Thời gian đi từ A đến C rồi đến B là tACB=36+88=32h
Gọi CD=xkm⇒tADB=x2+96+8−x8h.
Xét hàm số fx=x2+96+8−x80≤x≤8
f'x=x6x2+9−18⇒f'x=0⇔x=97.
Suy ra f0=32=tACB,f8=736=tAB,f97=1+78.
Suy ra thời gian ngắn nhất bằng 1+78h.
Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây.
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
y=cosx+1
y=2−sinx
y=2cosx
y=cos2x+1
Đáp án A
Tập xác định của hàm số y=−tanx là
D=ℝ\π2+kπ;k∈ℤ
D=ℝ\kπ;k∈ℤ
D=ℝ\k2π;k∈ℤ
D=ℝ\π2+k2π;k∈ℤ
Đáp án A
Hàm số xác định c osx≠0
⇔x≠π2+kπ,k∈ℤ⇒D=ℝ\π2+kπ,k∈ℤ.
Nghiệm của phương trình tanx=−33 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?
Điểm F, điểm D.
Điểm C, điểm F.
Điểm C, điểm D, điểm E, điểm F.
Điểm E, điểm F.
Đáp án A
PT⇔x=−π6+kπ
Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn −2018;2018 để phương trình m+1sin2x−sin2x+cos2x=0 có nghiệm là:
4037
4036
2019
2020
Đáp án D
PT⇔m+11−cos2x2−sin2x+cos2x=0⇔sin2x+m−12cos2x=m+12.
PT có nghiệm ⇔12+m−122≥m+122⇔m≤1.
Vì m∈−2018;2018⇒ có 2020 giá trị nguyên của m.
Nghiệm của phương trình sinxcosxcos2x=0 là
kπk∈ℤ
kπ2k∈ℤ
kπ4k∈ℤ
kπ8k∈ℤ
Đáp án C
PT⇔12sin2xcos2x=0⇔14sin4x=0⇔4x=kπ
⇔x=kπ4∈ℤ
Trong trận đấu bóng đá giữa 2 đội Real madrid và Barcelona, trọng tài cho đội Barcelona được hưởng một quả Penalty. Cầu thủ sút phạt sút ngẫu nhiên vào 1 trong bốn vị trí 1, 2, 3, 4 và thủ môn bay người cản phá ngẫu nhiên đến 1 trong 4 vị trí 1, 2, 3, 4 với xác suất như nhau (thủ môn và cầu thủ sút phạt đều không đoán được ý định của đối phương). Biết nếu cầu thủ sút và thủ môn bay cùng vào vị trí 1 (hoặc 2) thì thủ môn cản phá được cú sút đó, nếu cùng vào vị trí 3 (hoặc 4) thì xác suất cản phá thành công là 50%. Tính xác suất của biến cố “cú sút đó không vào lưới”?
516
316
18
14
Đáp án B
Gọi A là biến cố “Cú sút đó không vào lưới”. Nếu cầu thủ sút vào vị trí 1 hoặc 2, xác suất để bóng không vào bằng 214.14=18. Nếu cầu thủ sút cào vị trí 3 hoặc 4, xác suất để bóng không vào bằng 214.14.12=116. Suy ra xác suất để bóng không vào bằng PA=18+116=316.
Bình A chứa 3 quả cầu xanh, 4 quả cầu đỏ và 5 quả cầu trắng. Bình B chứa 4 quả cầu xanh, 3 quả cầu đỏ và 6 quả cầu trắng. Bình C chứa 5 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 2 quả cầu trắng. Từ mỗi bình lấy một quả cầu. Có bao nhiêu cách lấy để cuối cùng được 3 quả có màu giống nhau.
180
150
120
60
Đáp án A
Số cách bằng 3.4.5+4.3.5+5.6.2=180 cách.
Tìm số hạng chứa x3y3 trong khai triển biểu thức x+2y6 thành đa thức.
160x3y3
120x3y3
20x3y3
8x3y3
Đáp án A
Ta có: x+2y6=∑k=06C6kx6−k2yk=∑k=06C6k2kx6−kyk.
Số hạng chứa x3y3⇒6−k=3k=3⇒k=3⇒a3=C6323x3y3=160x3y3.
Biết rằng hệ số của xn−2 trong khai triển x−14n bằng 31. Tìm n .
n=32
n=30
n=31
n=33
Đáp án A
Hệ số của xn−2 trong khai triển x−14n là: Cn2.−142.xn−2
Ta có: Cn2.−142=31
⇔n!n−2!2!=496⇔nn−1=992⇔n=32.
Một đội gồm 5 nam và 8 nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca, tính xác suất để trong 4 người được chọn có ít nhất 3 nữ ?
70143
73143
56143
87143
Đáp án A
Xác suất cần tìm là: P=C83.C51+C84C134=70143.
Cho hai đường thẳng song song d1;d2.Trên d1 có 6 điểm phân biệt được tô màu đỏ. Trên d2 có 4 điểm phân biêt được tô màu xanh. Xét tất cả các tam giác được tạo thành khi nối các điểm đó với nhau. Chọn ngẫu nhiên một tam giác, khi đó xác suất để thu được tam giác có hai đỉnh màu đỏ là:
532
58
59
57
Đáp án B
Số tam giác được tạo bởi 2 đỉnh trên d1 và 1 đỉnh trên d2 là: C62.C41=60. Số tam giác được tạo bởi 1 đỉnh trên d1 và 2 đỉnh trên d2 là: C61.C42=36.
Do đó số tam giác được tạo thành là: C62.C41+C61.C42=96. Xác suất cần tìm là: 6096=58.
Cho hàm số y=5x33−x2+4 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0=3 có hệ số góc là:
39
40
51
3
Đáp án A
Ta có: y'=5x2−2x;k=y'3=5.9−2.3=39.
Tính đạo hàm cấp 2018 của hàm số y=e2x
y2018=22017e2x
y2018=22018e2x
y2018=e2x
y2018=22018.xe2x
Đáp án B
Ta có: y'=2e2x;y2=22.e2x⇒y2018=22018e2x.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a;AD=a32. Mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng. Biết ASB⏜=120∘. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng:
60∘
30∘
45∘
90∘
Đáp án A
Gọi H là trung điểm của AB .
Lại có: SAB⊥ABCD⇒SH⊥ABCD.
Do AD//BC nên giao tuyến d của (SAD) và (SBC) đi qua S và song song với AD.
Do AD⊥ABAD⊥SH⇒AD⊥SAB⇒d⊥SAB .Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng 180∘−ASB⏜=60∘.
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, SA=a. Gọi H là hình chiếu của A trên SB . Khoảng cách giữa AH và BC bằng:
a22
a
a2
a32
Đáp án A
Do BC⊥SABC⊥AB⇒BC⊥SAB. Khi đó HB⊥BC lại có: HB⊥AH⇒dAH;BC=HB
Tam giác SAB vuông cân tại A nên ABH⏜=45∘.
Do vậy HB=acosABH⏜=a22.
Hình đa diện sau có bao nhiêu mặt?
11
20
3
6
Đáp án A
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Cắt hình lăng trụ bởi một mặt phẳng ta được một thiết diện. Số cạnh lớn nhất của thiết diện thu được là?
5
4
3
6
Đáp án A
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a . Gọi O và O' lần lượt là tâm các hình vuông. Gọi Mvà N lần lượt là trung điểm của các cạnh B' C' và CD. Tính thể tích khối tứ diện OO'MN.
a38
a3
a312
a324
Đáp án D
SO'ON=12OO'.ON=12.a.a2=a24;MO'=a2.VMO'ON=13MO'.SO'ON=a324.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao choSE=2EC. Tính thể tích V của khối tứ diện S.EBD.
V=23
V=16
V=13
V=43
Đáp án C
Ta có: dC;SBDdE;SBD=SCSE=32
⇒dC;SBD=32dE;SBD.
Mặt khác:
VS.BCD=13.dC;SBD.SΔSBD=13.32dE;SBD.SΔSBD.
⇒VBSBD=23xVS.BCD
⇔VS.EBD=23.12xVS.ABCD=13xVS.ABCD=13.
Thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều ABCDA'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng a là
3a3
a332
a3
a334
Đáp án C
Thể tích khối lăng trụ cần tính là: V=A A'.SABCD=a.a2=a3.
Công thức tính thể tích khối trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng h là
V=πRh
V=πR2h
V=13πR2h
V=πRh2
Đáp án B
Thể tích khối trụ cần tính là V=πR2h
Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác đều cạnh có độ dài 2a. Thể tích của khối nón là
πa336
πa333
πa332
πa3312
Đáp án B
Khối nón giả thiết cho có bán kính đáy r=a chiều cao h=2a.32=a3.
Vậy thể tích của khối nón cần tính là V=13πr2h=13πa2.a3=πa333.
Cho tứ diện ABCD có AD⊥ABC,ABC là tam giác vuông tại B. Biết BC=a, AB= a3,AD=3a. Quay các tam giác ABC và ABD xung quanh đường thẳng AB ta được 2 khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng
33πa316
83πa33
53πa316
43πa316
Đáp án A
Vì hai mặt phẳng (ABC), (ABD) vuông góc với nhau nên bài toán trở thành “Tính thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác HAB quanh AB với ABCD là hình thang vuông tại A,B” như hình bên. Hai tam giác BHC và DHA đồng dạng ⇒BHDH=HCHA=BCAD=13.
Mà BD=AD2+AB2=2a3;AC=AB2+CB2=2a
Suy ra AH=34AC=34.2a=3a2 và BH=14BD=14.2a3=a32.
Diện tích tam giác ABH là:
SΔABH=12.AH.BH=12.3a2.a32=3a238=12.dH;BC.BC⇒dH;BC=2.3a238.a3=3a4.
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là:
V=13π3a42.a3=33πa216.
Cho hình lăng trụ ABCA'B'C' có thể tích bằng V. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, A'C’, BB’. Thể tích của khối tứ diện CMNP bằng
524V
V4
724V
V3
Đáp án A
Gọi E là trung điểm của AC⇒NE//B B'. Nối NP cắt BE tại I suy ra B là trung điểm của EI. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ⇒BG=2EG.
⇒dB;MC=2dE;MC⇒dB;MC=23dB;AC
Suy ra: dI;MC=1+32dB;MC=52dB;MC
Mà SΔIMC=12dI;MC.MC
=12.52dB;MC.MC=52SΔMBC=54SΔABC
Ta có: VN.MPCVN.MIC=NPNI=12⇒VN.MPC=12xVN.MIC 1
Lại có:
VN.MIC=13.dN;ABC.SΔIMC=13.dA';ABC.54SΔABC⇒VN.MIC=512.dA';ABC.SΔABC=512VABC.A'B'C'=512V
Từ (1) và (2) suy ra VCMNP=12.512xV=524V.
Cho mặt cầu có diện tích bằng 8πa23, bán kính của mặt cầu bằng
a63
a33
a62
a23
Đáp án A
Diện tích mặt cầu là:
S=4πR2=8πa23⇔R2=2a23⇒R=a63.
Có 4 viên bi hình cầu bán kính bằng 1 cm. Người ta đặt 3 viên bi tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt bàn. Sau đó đai chặt 3 viên bi đó lại và đặt 1 viên bi thứ tư tiếp xúc với cả 3 viên bi (hình vẽ dưới).
Gọi O là điểm thuộc bề mặt của viên bi thứ tư có khoảng cách đến mặt bàn là lớn nhất. Khoảng cách từ O đến mặt bàn bằng
6+263
72
3+263
463
Đáp án A
Gọi A,B,C,D lần lượt là tâm của bốn hình cầu. Với B,C,D là tâm tứ diện đều cạnh 2cm có chiều cao h=dA;BCD=263cm.
Khi đó, khoảng cách từ điểm đến mặt bàn là d=h+2r=263+2=6+263.
Cho hình chóp S.ABCD có ABC⏜=ADC⏜=90∘, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc tạo bởi SC và mặt phẳng đáy bằng 60∘, CD=a và tam giác ADC có diện tích bằng a232. Diện tích mặt cầu Smc ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là
Smc=16πa2
Smc=4πa2
Smc=32πa2
Smc=8πa2
Đáp án A
Tam giác ADC vuông tại D ⇒SΔADC=12.AD.CD=a232
⇒CD=a3⇒AC=AD2+CD2=a2+a32=2a.
Vì tứ giác ABCD có ABC⏜=ADC⏜=90∘⇒ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O với O là trung điểm của AC ⇒RABCD=AC2=a.
Và SA⊥ABCD⇒SC;ABCD⏜=SC;AC⏜=SCA⏜=60∘
Tam giác SAC vuông tại A ⇒tanSCA⏜=SAAC⇒SA=2a3.
Suy ra bán kính mặt cầu cần tính là:
R=R2ABCD+SA24=2a⇒Smc=16πa2.
Trong không gian mặt cầu (S) tiếp xúc với 6 mặt của một hình lập phương cạnh a, thể tích khối cầu (S) bằng
V=πa324
V=πa33
V=πa36
V=43πa3
Đáp án C
Mặt cầu (S) chính là mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a ⇒R=a2.
Vậy thể tích khối cầu (S) là V=43πR3=43π.a23=π a36.
