Tổng hợp 20 đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay có đáp án (đề 12)
50 câu hỏi
Gọi l, h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện tích xung quanh Sxq của hình nón là:
Sxq=πrh
Sxq=2πrl
Sxq=πrl
Sxq=13πr2h
Đáp án C
Cho hàm số y=x−3x−2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng 1;+∞
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Hàm số nghịch biến trên R
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
Đáp án D
Ta có: y'=1x−22>0,∀x≠2⇒Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
Tập xác định của hàm số y=tanx là:
ℝ.
ℝ\π2+kπ,k∈ℤ.
ℝ\kπ,k∈ℤ.
ℝ\π2+kπ2,k∈ℤ.
Đáp án B
Điều kiện: cosx≠0⇔x≠π2+kπ⇒
TXĐ: D=ℝ\π2+kπ,k∈ℤ
Cho hàm số y=x3+x+2 có đồ thị (C). Số giao điểm của (C) và đường thẳng y = 2 là:
1.
0.
3.
2.
Đáp án A
Phương trình hoành độ giao điểm là:
x3+x+2=2⇔x3+x=0⇔xx2+1=0⇔x=0
Tập nghiệm S của phương trình log2x+4=4 là:
S=−4,12.
S=4.
S=4,8.
Đáp án D
Phương trình ⇔x+4=24⇔x=16−4=12
Cho a là số thực dương. Biểu thức a2.a3 được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
a43.
a73.
a53.
Đáp án B
a2a3=a2.a13=a2+13=a73
Cho hàm số y=fx xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số có đúng một cực trị.
Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 1.
Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 3.
Hàm số đạt cực đại tại x=1 và đạt cực tiểu tại x=3.
Đáp án D
Có bao nhiêu loại khối đa diện đều?
Vô số.
2.
3.
5.
Đáp án D
Có 5 loại khối đa diện đều: Tứ diện đều, lập phương, bát diện đầu, 12 mặt đều, 20 mặt đều
Tập xác định của hàm số y=x−53 là
−∞;5.
ℝ\5.
5;+∞.
5;+∞.
Đáp án D
Điều kiện x−5>0⇔x>5⇒TXĐ: D=5;+∞
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, SA=3a và SA vuông góc với mặt đáy. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) là:
SAD^.
ASD^.
SDA^.
Đáp án C
Vì SA⊥ABCDnên SD;ABCD=SDA⏜
Cho a>0,b>0 thỏa mãn a2+9b2=10ab. Khẳng định nào sau đây đúng?
loga+1+logb=1.
loga+3b4=loga+logb2
3loga+3b=loga−logb
2loga+3b=2loga+logb
Đáp án B
a2+9b2=10ab⇔a+3b2=16ab⇔a+3b4=ab⇒loga+3b4=loga+logb2
Nghiệm của phương trình 3cosx+sinx=−2 là:
−5π6+k2πx=π6+k2π,k∈ℤ.
x=−5π6+k2π,k∈ℤ.
x=±5π6+k2π,k∈ℤ.
x=−π2+k2π,k∈ℤ.
Đáp án B
PT⇔32cosx+12sinx=−1⇔sinx+π3=−1⇔x+π3=−π2+k2π⇔x=−5π6+k2π,k∈ℤ
Phương trình tan3x−300=−33 có tập nghiệm là:
k1800,k∈ℤ.
k600,k∈ℤ.
k3600,k∈ℤ.
k900,k∈ℤ.
Đáp án B
PT⇔3x−30°=−30°+k180°⇔x=k60°k∈ℤ
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây.
Hỏi đó là hàm số nào?
y=2x+1x+1.
y=−2x+5−x−1.
y=2x+3x+1.
y=2x+5x+1.
Đáp án D
Cho hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB. Biết AC=23a và góc ACB^=450. Diện tích toàn phần Stp của hình trụ (T) là:
12πa2.
8πa2.
24πa2.
Đáp án C
Vì ABCD là hình chữ nhật và ACB⏜=45° nên ABCD là hình vuông.
Ta có: 2.AB2=23a2⇔AB=6a
Stp=2πBC2+2π.BC=2π.BC.AB=2π.6a2+2π.6a2=24πa2
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, góc giữa mặt phẳng (A'BC) và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Thể tích khối lăng trụ ABCA'B'C' tính theo a là:
33a3.
3a3.
3a3.
23a3.
Đáp án A
Ta có:
AI=2a2−a2=a3;AA'=AItan60°=a3.3=3a
Thể tích lăng trụ là:
V=AA'.SABC=3a.122a2sin60°=33a3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2a, BC=a , SA vuông góc với mặt đáy, cạnh SC hợp đáy một góc 300. Thể tích khối chóp S.ABCD tính theo a là:
215a33.
15a33.
215a39.
Đáp án C
Ta có AC=2a2+a2=a5;SA=ACtan30°
=a5.13=a53
Thể tích khối chóp là:
V=13SA.SABCD=13a53.2a.a=215a39
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R?
y=−x4+2x2−2.
y=x4−3x2+5.
y=−x3+x2−2x−1.
y=−x3−3x2+4.
Đáp án C
Tiếp tuyến với đồ thị C:y=x3−3x2−2 song song với đường thẳng d:y=9x+3 có phương trình là:
y=9x−29 và y=9x+3.
y=9x−29.
y=9x−25.
y=9x−25 và y=9x+15.
Đáp án B
Gọi Δ là tiếp tuyến với (C) tại Mx0;y0 thỏa mãn đề bài.
Ta có y'=3x2−6x⇒y'x0=3x02−6x0=kΔ là hệ số góc của Δ
Δ//d⇒kΔ=9⇔3x02−6x0=9⇔x0=−1⇒Δ:y=9x+1+y−1⇔y=9x+3loaix0=3⇒Δ:y=9x−3+y3⇔y=9x−29
Cho hàm số y=x−1x2+mx+m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
0<m<4
m>4−12≠m<0
m>4
−12≠m<0
Đáp án B
Đồ thị hàm số căt trục hoành tại ba điểm phân biệt x−1x2+mx+m=0 có 3 nghiệm phân biệt 1+m+m=0 có hai nghiệm phân biệt
Suy ra Δ>01+m+m≠0⇔m2−4m>0m≠−12⇔m>4m<0m≠−12
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Thể tích khối chóp S.ABC tính theo a là:
26a312
78a312
26a33
78a33
Đáp án A
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD)
Ta có: AH=a2−a22=a33;
SH=3a2−a332=263a
Thể tích khối chóp là:
V=13SH.SABCD=13.263a.12a2sin60°=26a312
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, biết SA⊥ABC và AB=2a, AC=3a, SA=4a. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
d=12a6161
d=2a11
d=a4312
d=6a2929
Đáp án A
Gọi I, H lần lượt là hình chiếu của A lên BC và SI
Ta có: 1AI2=1AB2+1AC2=12a2+13a2=1336a2
1AH2=1SA2+1AI2=14a2+136a2=61144a2
⇒AI=12a61⇒d=AI=12a61
Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x2.e−x trên đoạn −1;1. Tính tổng M+N.
M+N=3e
M+N=e
M+N=2e−1
M+N=2e+1
Đáp án B
Ta có: y'=e−x2x−x2⇒y'=0⇔x=0x=2
Suy ra: y−1=e,y0=0,y1=1e
⇒M=eN=0⇒M+N=e
Giá trị lớn nhất của hàm số y=x+1x2+1 trên khoảng −∞;+∞ bằng:
22
1
2
2
Đáp án C
Ta có: y=x+1x2+1⇒y2x2+1=x+12
⇔x2y2−1−2x+y2−1=01
Ta có: Δ'1=1−y2−12≥0⇔−1≤y2−1≤1
⇒y2≤2⇒y≤2⇒maxy=2
Cho a=log315, b=log310. Tính log350 theo a và b.
log350=2a+b−1
log350=4a+b+1
log350=a+b−1
log350=3a+b+1
Đáp án A
Ta có: log350=2log35+log310
=2log315+log310−1=2a+b−1
Phương trình 32x+1−4.3x+1=0 có hai nghiệm x1, x2 trong đó x1<x2. Khẳng định nào sau đây đúng?
x1x2=2.
x1+2x2=−1.
2x1+x2=−1.
Đáp án B
PT⇔33x2−4.3x+1=0⇔3x=13x=13⇔x=0x=−1⇒x1=−1x2=0⇒x1+2x2=−1
Đạo hàm của hàm số y=x+1.lnx là:
y'=xlnx+2x+12xx+1.
y'=12xx+1.
y'=x+x+1xx+1.
y'=3x+22xx+1.
Đáp án A
y'=lnx2x+1+x+1x=xlnx+2x+12xx+1
Cho hàm số y=ax−bbx+1 có đồ thị (C). Nếu (C) có tiệm cận ngang là đường thẳng y=2 và tiệm cận đứng là đường thẳng x=13 thì các giá trị của a và b lần lượt là :
−12 và −16
-3 và -6
−16 và −12
-6 và -3
Đáp án D
Nghiệm của phương trình cos2x−5sinx−3=0 là:
x=−π6+k2πx=7π6+k2π,k∈ℤ.
x=−π3+k2πx=7π3+k2π,k∈ℤ.
x=−π6+kπx=7π6+kπ,k∈ℤ.
x=−π3+kπx=7π3+kπ,k∈ℤ.
Đáp án A
PT⇔1−2sin2x−5sinx−3⇔2sin2x+5sinx+2=0⇔sinx=−12sinx=−2
⇒sinx=−12⇔x=−π6+k2πx=7π6+k2πk∈ℤ
Thể tích của khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh bằng 2πa2 là:
πa33
πa333
πa336
πa332
Đáp án B
Số nghiệm của phương trình 4−x2.cos3x=0 là:
7.
2.
4.
6.
Đáp án D
Điều kiện: 4−x2≥0⇔−2≤x≤2*
Với điều kiện (*) thì phương trình đã cho
⇔4−x2=0cos3x=0⇔x=±23x=π2+kπ⇔x=±2x=π6+kπ3,k∈ℤ
Từ điều kiện (*) ta có: k∈−2;−1;0;1⇒Phương trình có 6 nghiệm
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của đoạn OA và SD,ABCD^=600. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD). Tính tanα.
tanα=4159.
tanα=3012.
tanα=103.
Đáp án D
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số fx=x4+x3−mx2 có 3 điểm cực trị?
m∈0;+∞.
m∈−92;+∞\0 .
m∈−∞;0.
m∈−932;+∞\0.
Đáp án D
Ta có: y'=4x3+3x2−2mx=x4x2+3x−2m
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình 4x2+3x−2m=0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0
⇔Δ=9+32m>0−2m≠0⇔m∈−932;+∞\0
Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y=x3+6mx2+6x−6 đồng biến trên R?
1.
2.
3.
0.
Đáp án A
Ta có: y'=3x2+12mx+6. Để hàm số đồng biến trên R thì y'>0,∀x∈ℝ
Δ'=36m2−18<0⇔−12<m<12 Mà m∈ℤ nên m=0
Cho hàm số y=x+1.e3x. Hệ thức nào sau đây đúng?
y''+6y'+9y=0.
y''−6y'+9y=0.
y''+6y'+9y=10xex.
y''−6y'+9y=ex.
Đáp án B
Ta có: y'=e3x+3x+1e3x=e3x3x+4
⇒y''=3e3x3x+4+3e3x=3e3x3x+5
y''−6y'+9y=0
Gọi n là số nguyên dương sao cho 1log3x+1log32x+1log33x+...+1log3nx=210log3x đúng với mọi x dương. Tìm giá trị của biểu thức P=2n+3.
P=32.
P=40.
P=43.
Đáp án C
Ta có: 1log3x+2log3x+3log3x+...+nlog3x=210log3x
nn+12log3x=210log3x⇔nn+1=420⇔n=20⇒P=2.20+3=43
Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 4x−m.2x+1+2m=0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1+x2=3?
2.
0.
1.
3.
Đáp án C
Đặt t=2x>0 . Khi đó phương trình đã cho trở thành t2−2mt+2m=0,t>01
Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1+x2 thì (1) có 2 nghiệm t>0 và thỏa mãn t1t2=2x12x2=23=8
Khi đó ta có: Δ'=m2−2m≥0S=2m>0P=2m=8>0⇔m=4Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài cho
Cho hàm số y=mx+1x+m, với m là tham số. Các hình nào dưới đây không thể là đồ thị của hàm số đã cho với mọi m∈ℝ?
Hình (III).
Hình (II).
Hình (I) và (III).
Hình (I).
Đáp án B
Ta có y=mx+1x+mC có tiệm cận đứng x=−m ,TCN y=m (với m≠−1 )
Giao điểm với trục hoành −1m;0 , giao điểm với trục tung 0;1m
Hình (I) ứng với m=12
Hình (II) với thõa mãn tiệm cận khi đó đồ thị hàm số không cắt Ox(loại)
Hình (II) ứng với
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài tất cả các cạnh bằng a và hình chiếu vuông góc của đỉnh C lên mặt phẳng (ABB'A') là tâm của hình bình hành ABB'A'. Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' tính theo a là:
a324
a3212
a33
a334
Đáp án A
Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB=1, đáy lớn CD=3, cạnh bên BC=DA=2. Cho hình thang đó quay quanh AB thì được vật tròn xoay có thể tích bằng:
43π.
53π.
23π.
73π.
Đáp án D
Ta có: AE=BF=1
Khi đó: DE=AD2−AE2=1
Khi quay hình chữ nhật DEFC quanh trục AB ta được hình trụ có thể tích là:
V1=πDE2.DC=π.12.3=3π
Khi quay tam giác AED quanh trục AB ta được hình nón có thể tích là:
V2=13πDE2.AE=13π.12.1=π3
Do đó thể tích vận tròn xoay tạo thành khi cho hình thang quay quanh AB là:
V=V1−2V2=7π3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, SC=SD=a3. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.
V=a326.
V=a36.
V=a32.
Đáp án A
Gọi M, N lần lược là trung điểm của AB,CD⇒SMN⊥ABCD
Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a≠1, a≠1b và logab=5. Tính P=logabba.
P=11−354
P=11+354
P=11−254
P=11+352
Đáp án A
Ta có: P=logabba=2logabba
=2logabb−logaba=21logbab−12logaba
=211+logba−12.1logaab=211+1logab−12.11+logab=211+15−12.11+5=11−354
Gọi M và N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=−1+2cosx2−3sinx+cosx trên R. Biểu thức M+N+2 có giá trị bằng:
0.
42−3.
2.
Đáp án C
Ta có: y=−1+2−3.2sinxcosx+2cos2x
=2−3.sin2x+cos2x
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, có:
2−3.sin2x+cos2x2≤2−32+12.sin22x+cos22x=8−43
Suy ra y2≤8−43⇔−8−43≤y≤8−43.
Vậy M+N+2=2
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình: cos4x=cos23x+msin2x có nghiệm x∈0;π12.
m∈0;12.
m∈12;2.
m∈0;1.
Đáp án C
Ta có: cos23x1+cos6x2=4cos32x−3cos2x+12 và cos4x=2cos22x−1
Khi đó, phương trình đã cho
⇔2cos22x−1=4cos32x−3cos2x+12+1−cos2x2m
⇔4cos22x−2=4cos32x−3cos2x+1+1−cos2xm
⇔cos2x−1m=4cos32x−4cos22x−3cos2x+3
Đặt t=cos2x, với x∈0;π12→t∈32;1 do đó: *⇔m4t3−4t2−3t+3t−1=4t2−3
Xét hàm số ft=4t2−3 trên khoảng 32;1→minft=0maxft=1
Vậy để phương trình m=ft có nghiệm khi và chỉ khi m∈0;1
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=2x4+2mx2−3m2 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị này cùng với gốc tọa độ O tạo thành bốn đỉnh của một tứ giác nội tiếp được. Tính tổng tất cả các phần tử của S.
2−23.
−2−3.
-1.
0.
Đáp án B
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị ⇔y'=4x2x2+m đổi dấu 3 lần ⇔m<0
Khi đó, gọi A0;−3m2,B−m2;−m2−3m2 và C−−m2;−m2−3m2 là 3 điểm cực trị
Vì yA>yB=yC nên yêu cầu bài toán
<=> Tứ giác ABOC nội tiếp (I)
Vì AB=ACOB=OC→OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC
Suy ra OA là đường kính của (I)
=> I⇒OB→.AB→=0⇔−m2+m22.m2+3m2=0⇔m=−1m=−1−3
Vậy tổng các giá trị của tham số m là −2−3
Cho hình chóp S.ABC có AB=BC=CA=a, SA=SB=SC=a3, Mlà điểm bất kì trong không gian. Gọi d là tổng các khoảng cách từ M đến tất cả các đường thẳng AB, BC, CA, SA, SB, SC. Giá trị nhỏ nhất của d bằng:
d=2a3.
a62.
a6.
Đáp án C
Gọi E và F là trung điểm của BC và AB và O là trọng tâm tam giác ABC ta có: SO⊥ABC
Do AE=BCSO=BC⇒BC⊥SAE. Dựng EK⊥A suy ra EK là đoạn vuông góc cung của SA và BC. Tương tự dựng FI; RL là các đoạn vuông góc chung của 2 cạnh đối diện.
Do tính chất đối xứng ta dễ dàng suy ra EK, FI, RL đồng quy tại điểm M
Như vậy d≥EK+FI+RL=3EK
Mặc khác OA=a33⇒cosSAO⏜=13⇒sinSAO⏜=223
Do đó: KE=AEsinA=a32−223=a63
Do vậy dmin=a6
Ông Bình đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt, không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được 220500cm3 nước. Biết tỉ lệ giữa chiều cao và chiều rộng của bể bằng 3. Xác định diện tích đáy của bể cá để tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất.
2220cm2.
1880cm2.
2100cm2.
Đáp án C
Gọi a, b, h lần lượt là chiều rộng, chiều dài đáy và chiều cao của hình hộp chữ nhật
Theo bài ra, ta có: ha=3⇔h=3a và thể tích
V=abh=220500⇒a2b=73500⇔b=73500a2
Diện tích cần làm bể là:
S=ab+2ah+2bh=a.73500a2+2a.3a+2.73500a2.3a
Dấu “=” xảy ra ⇔6a2=257250a⇔a=35→b=60
Vậy S=a.b=2100 cm2
Có bao nhiêu số nguyên dương a (a là tham số) để phương trình
3a2+12a+15log272x−x2+92a2−3a+1log111−x22
=2log92x−x2+log112−x22
có nghiệm duy nhất?
2.
0.
Vô số.
1.
Đáp án B
Điều kiện: 2x−x2>02−x2>0⇔0<x<2⇒D=0;2
Phương trình
⇔a2+4a+5log32x−x2+9a2−6a+2log111−x22
=log32x−x2+log111−x22
⇔fx=a+22log32x−x2+3a−12log111−x22=0
⇔fx=a2+4a+4log32x−x2+9a2−6a+2log111−x22
=log32x−x2+log111−x22=0x∈0;2
⇔fx=a+22log32x−x2+3a−12log111−x22=0
Ta có:
f'x=a+22.2−2x2x−x2ln3+3a−12.1−x1=x22ln11=0
⇔x=1
Ta có:
limx→0fx=−∞;f1=−3a−12log112;limx→2fx=−∞⇒phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi −3a−12log112=0⇔a=13∉ℤ
Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh SA=BC=x, SB=AC=y, SC=AB=z thỏa mãn x2+y2+z2=12. Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC là:
V=223
V=233
V=23
V=322
Đáp án A
Thể tích khối chóp S.ABC là:
VS.ABC=212.x2+y2−z2y2+z2−x2x2+z2−y2
Mà: x2+y2−z2y2+z2−x2x2+z2−y2
≤x2+y2−z2+y2+z2−x2+x2+z2−y227
=x2+y2+z2327
Suy ra: S.ABC≤212.x2+y2+z227
=212.12327=223
Vậy: Vmax=223
Một khúc gỗ có dạng khối nón có bán kính đáy r = 30cm, chiều cao h = 120cm. Anh thợ mộc chế tác khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng khối trụ như hình vẽ.
Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ dạng khối trụ có thể chế tác được. Tính V.
V=0,16πm3.
V=0,024πm3.
V=0,36πm3.
V=0,016πm3.
Đáp án D
Gọi r0;h0 lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ.
Theo giả thuyết, ta có:
r0r=h−h0h⇔r0=30.120−h0120=30−h04
Suy ra thể tích khối trụ là:
V=πr02.h0=π30−h042.h0=π.120−h02.h016
Xét hàm số ft=t120−t2 với t∈0;120 suy ra: max0;120ft=256000
Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ là:
Vmax=π25600016.11003=0,016π cm3
