Ôn tập cuối năm

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+xy+y^2=4\\ x+y+xy=2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(x+y\right)}^2-xy=4\\ \left(x+y\right)+xy=2\end{array}\right.\right.$

Đặt S= x+ y;  P = xy. Khi đó hệ phương trình trên trở thành: $\left\{\begin{array}{l}{S}^2-P=4 \left(1\right)\\ S+P=2 \left(2\right)\end{array}\right.$

Từ (2) suy ra: P= 2- S thay (1): S²  - (2 – S) = 4

$\iff S^2+S-6=0\iff [\begin{array}{l}S=-3\\ S=2\end{array}$

* Với S = -3 thì P = 5. Khi đó,x, y là nghiệm phương trình:  t² + 3t +  5 = 0 ( vô nghiệm).

* Với S=  2 thì P =  0. Khi đó, x, y là nghiệm phương trình:

 t² – 2t = 0$\iff [\begin{array}{l}t=0\\ t=2\end{array}$

 Do đó, có 2 cặp số thỏa mãn là ( 0; 2) và(2; 0).

Chọn B.

$\left\{\begin{array}{l}x-y=m \left(1\right)\\ x^2-xy-m-2=0 \left(2\right)\end{array}\right.$

Từ (1), ta có y = x - m , thế vào (2) ta được phương trình:

 x² – x (x- m) – m - 2= 0$\iff$x² – x² + mx –m –2 = 0

hay mx –m -2 = 0 (*) .

Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình (*) có nghiệm $\iff m\ne 0$.

Chọn B.

Với mọi x, y ta có:

       $$\begin{gathered} {\left(x-y\right)}^2\ge 0\iff x^2-2xy+y^2\ge 0\iff x^2+y^2\ge 2xy \\ \iff x^2+y^2+2xy\ge 4xy\iff {\left(x+y\right)}^2\ge 4xy \end{gathered}$$ 

$\iff \frac{{\left(x+y\right)}^4}{4}\ge xy\iff xy\le \frac{{\left(x+y\right)}^2}{4}=\frac{S^2}{4}$

 Giá trị lớn nhất của xy là $\frac{S^2}{4}$. Dấu "=" xảy ra khi x = y.

Chọn D.

Ta có: $2<5\iff 2+\left(-x\right)<5+\left(-x\right) \forall x$

Hay 2 – x <  5- x

Chọn D.

Ta có : 

$$\begin{gathered} \frac{1}{x-1}\ge \frac{1}{x+2}-1\iff \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+2}+1\ge 0 \\ \iff \frac{\left(x+2\right)-\left(x-1\right)+\left(x-1\right).\left(x+2\right)}{\left(x-1\right).\left(x+2\right)}\ge 0 \\ \iff \frac{3+x^2+2x-x-2}{\left(x-1\right).\left(x+2\right)}\ge 0\iff \frac{x^2+x+1}{\left(x-1\right).\left(x+2\right)}\ge 0 (*) \end{gathered}$$

Lại có: $x^2+x+1=x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0 \forall x$ 

Do đó, (*)$\iff \left(x-1\right).\left(x+2\right)>0\iff [\begin{array}{l}x>1\\ x<-2\end{array}$

Tập nghiệm của bất phương trình: $S=\left(-\infty ;-2\right)\cup \left(1;+\infty \right)$

Chọn A.

Để biểu thức $\frac{m-1}{2}+\frac{3m-2}{3}$ có giá trị âm thì:

$$\begin{gathered} \frac{m-1}{2}+\frac{3m-2}{3}<0\iff \frac{3\left(m-1\right)+2\left(3m-2\right)}{6}<0 \\ \iff 3\left(m-1\right)+2\left(3m-2\right)<0\iff 3m-3+6m-4<0 \\ \iff 9m-7<0\iff m<\frac{7}{9} \end{gathered}$$

Chọn D.

+ Khi m = 0, bất phương trình trở thành $-2x+2<0\iff x>1$. Vậy m = 0 không thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

+ Khi $m\ne 0$, bất phương trình vô nghiệm khi $$\begin{gathered} m{x}^2+2\left(m-1\right)x+m+2\ge 0, \forall x\in \mathrm{ℝ}. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ ∆\text{'}\le 0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ {(m-1)}^2-m(m+2)\le 0\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$.

$\iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ -4m+1\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ m\ge \frac{1}{4}\end{array}\right.\iff m\ge \frac{1}{4}$

Chọn C.

$\sqrt{x^2-x}>x+1\iff [\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}x+1<0\\ x^2-x\ge 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x+1\ge 0\\ x^2-x>0\end{array}\right.\end{array}\iff [\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}x<-1\\ [\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le 0\end{array}\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x\ge -1\\ x^2-x>x^2+2x+1\end{array}\right.\end{array}$

$[\begin{array}{c}x<-1\\ \left\{\begin{array}{l}x\ge -1\\ -3x>1\end{array}\right.\end{array}\iff [\begin{array}{c}x<-1\\ \left\{\begin{array}{l}x\ge -1\\ x<\frac{-1}{3}\end{array}\right.\end{array}\iff [\begin{array}{l}x<-1\\ -1\le x\le \frac{-1}{3}\end{array}\iff x<\frac{-1}{3}$

Chọn B.

Số trung bình cộng $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+...+x_N}{N}=\frac{1542}{20}=77,1$.

Sau khi sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần, ta thấy số đứng ở vị trí thứ 10 là 78 là số đứng ở vị trí thứ 11 là 82.

Do đó số trung vị là $M_e=\frac{78+82}{2}=80$.

Chọn C.

Phương sai của mẫu số liệu là $s^2=\frac{{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+...+{\left(x_N-\overline{x}\right)}^2}{N}$

$=\frac{{\left(92-77,1\right)}^2+{\left(98-77,1\right)}^2+{\left(65-77,1\right)}^2+...+{\left(45-77,1\right)}^2}{20}=\frac{4249,8}{20}=212,49$.

Chọn A.

$$\begin{gathered} S={\cos }^{2}13°+{\cos }^{2}32°+{\cos }^{2}58°+{\cos }^{2}77° \\ ={\cos }^{2}13°+{\cos }^{2}32°+{\cos }^2(90-32)°+{\cos }^2(90-13)° \\ =co{s}^{2}13°+{\cos }^{2}32°+{\sin }^{2}32°+{\sin }^{2}13°=2 \end{gathered}$$

Chọn B.

Ta có:  $\left(\cos x-sinx\right).\left(\cos x+\sin x\right)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos 2x$

Do đó, đẳng thức D sai

Chọn D.

$$\begin{gathered} A=\sin \left(\mathrm{\pi }+\mathrm{x}\right)-\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x\right)+\tan \left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}-x\right)+cot\left(2\mathrm{\pi }-\mathrm{x}\right) \\ =-sinx-\sin x+\tan \left(\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)+cot\left(-x\right)=-2\sin x+cotx-cotx=-2\sin x \end{gathered}$$

Chọn B.

Ta có:  ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow {\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =\frac{8}{9}$

Mà $\frac{\mathrm{\pi }}{2}<\alpha <\mathrm{\pi }\Rightarrow \mathrm{cos\alpha }<0$ 

Suy ra: $\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\sin \left(\alpha +\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)=\sin \alpha cos\frac{\mathrm{\pi }}{6}+\cos \alpha \sin \frac{\mathrm{\pi }}{6}=\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{3}.\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{6}$.

Chọn  D.

$$\begin{gathered} A=\frac{\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x}{\cos 2x+\cos 3x+\cos 4x}=\frac{\left(\sin 2x+\sin 4x\right)+\sin 3x}{\left(\cos 2x+\cos 4x\right)+\cos 3x} \\ =\frac{2\sin 3x.\cos x+\sin 3x}{2\cos 3x.\cos x+\cos 3x}=\frac{\sin 3x\left(2\cos x+1\right)}{\cos 3x\left(2\cos x+1\right)}=\frac{\sin 3x}{\cos 3x}=\tan 3x \end{gathered}$$

Chọn B.

Tổng ba góc trong 1 tam giác bằng 180⁰  nên:

$$\begin{gathered} \hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°\iff \hat{A}+\hat{B}=180°-\hat{C} \\ \iff \frac{\hat{A}+\hat{B}}{2}=90°-\frac{\hat{C}}{2}\Rightarrow cos\frac{A+B}{2}=\sin \frac{C}{2}; \sin \frac{A+B}{2}=cos\frac{C}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \sin A+\sin B+\sin C=2.\sin \frac{A+B}{2}.cos\frac{A-B}{2}+2\sin \frac{C}{2}.cos\frac{C}{2} \\ =2\cos \frac{C}{2}.\cos \frac{A-B}{2}+2\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{C}{2}=2\cos \frac{C}{2}.\left(\cos \frac{A-B}{2}+\sin \frac{C}{2}\right) \\ =2\cos \frac{C}{2}.\left(\cos \frac{A-B}{2}+\cos \frac{A+B}{2}\right)=2\cos \frac{C}{2}.2\cos \frac{A}{2}.cos\frac{B}{2} \\ =4\cos \frac{A}{2}.cos\frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2} \end{gathered}$$