17 câu Trắc nghiệm Toán 10 (có đáp án): Hệ phương trinh có cấu trúc đặc biệt

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}x+y=4\\ x^2+y^2=m^2\end{array}\right.$$\Rightarrow 4^2-2P=m^2\iff P=\frac{16-m^2}{2}$

$\Rightarrow S^2-4P=16-2\left(16-m^2\right)=2m^2-16\ge 0\iff \left|m\right|\ge \sqrt{8}$

Đáp án cần chọn là: B

Khi $x,y\ge 0$ thì hệ trở thành $\left\{\begin{array}{c}x+2y=3\\ 7x+5y=2\end{array}\right.\iff x=-\frac{11}{9};y=\frac{19}{9}\left(loại\right)$

Khi $x,y<0$ thì hệ trở thành $\left\{\begin{array}{c}-x-2y=3\\ 7x+5y=2\end{array}\right.\iff x=\frac{19}{9};y=\frac{-23}{9}\left(loại\right)$

Khi $x\ge 0,y<0$ thì hệ trở thành $\left\{\begin{array}{c}x-2y=3\\ 7x+5y=2\end{array}\right.\iff x=1;y=-1\left(nhận\right)$

Khi $x<0,y\ge 0$ thì hệ trở thành $\left\{\begin{array}{c}-x+2y=3\\ 7x+5y=2\end{array}\right.\iff x=-\frac{11}{9};y=\frac{23}{9}\left(nhận\right)$

Đáp án cần chọn là: C

Khi x = y thì $x^6+x^6=27\iff x^6=\frac{27}{2}\iff x=\pm \sqrt[6]{\frac{27}{2}}$

Do đó hệ có nghiệm $\left(\pm \sqrt[6]{\frac{27}{2}};\pm \sqrt[6]{\frac{27}{2}}\right)$

$\iff 3{\left(xy\right)}^3+27xy=0\iff \left[\begin{array}{c}xy=0\\ {\left(xy\right)}^2=-9\end{array}\right.\left(vô lý\right)$

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: B

Điều kiện: $x,y\ge 1$

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}2x+\sqrt{y-1}=1\\ 2y+\sqrt{x-1}=1\end{array}\right.$$\Rightarrow 2x-2y+\sqrt{y-1}-\sqrt{x-1}=0$

$\Rightarrow 2\left(x-y\right)+\frac{y-x}{\sqrt{y-1}+\sqrt{x-1}}=0$$\Rightarrow \left(x-y\right)\left(2-\frac{1}{\sqrt{y-1}+\sqrt{x-1}}\right)=0$

Khi $x=y$ thì $2x+\sqrt{x+1}=1\Rightarrow \sqrt{x+1}=1-2x$ (vô nghiệm do $x\ge 1$ thì $VT\ge 0,VP<0$)

Khi $\sqrt{y-1}+\sqrt{x-1}=\frac{1}{2}$ thì $2x+2y+\frac{1}{2}=2\Rightarrow x+y=\frac{3}{4}$ (vô nghiệm vì $x,y\ge 1$ )

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Đáp án cần chọn là: B

Khi $m=-1$ thì hệ trở thành $\left\{\begin{array}{c}x+y=0\\ x^{2}y+y^{2}x=0\end{array}\right.\Rightarrow$Hệ có vô số nghiệm => (I) đúng

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}x+y=m+1\\ x^{2}y+y^{2}x=2m^2-m-3\end{array}\right.\Rightarrow xy\left(m+1\right)=2m^2-m-3$

$\Rightarrow xy=2m-3$

$\Rightarrow S^2-4P={\left(m+1\right)}^2-4\left(2m-3\right)=m^2-6m+13>0,\forall m$đúng

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}2xy+y^2-4x-3y+2=0\\ xy+3y^2-2x-14y+16=0\end{array}\right.$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}2xy+y^2-4x-3y+2=0\\ 2xy+6y^2-4x-28y+32=0\end{array}\right.$

$\Rightarrow 5y^2-25y+30=0\Rightarrow y=3;y=2$

Khi $y=3$ thì phương trình đầu trở thành $6x+9-4x-9+2=0\iff x=-1$

Khi $y=2$ thì phương trình đầu trở thành $4x+4-4x-6+2=0$

$\iff 0x=0\iff x\in R$

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình $\left(1\right)\iff \left(x+y\right)\left(2x-y\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-y\\ 2x=y\end{array}\right.$

Trường hợp 1: $x=-y$ thay vào (2) ta được $x^2-4x+3=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=3\end{array}\right.$

Suy ra hệ phương trình có hai nghiệm là (1; −1), (3; −3).

Trường hợp 2: $2x=y$ thay vào (2) ta được $-5x^2+17x+3=0$ phương trình này không có nghiệm nguyên.

Vậy các cặp nghiệm (x; y) sao cho x, y đều là các số nguyên là (1; −1) và (3; −3).

Đáp án cần chọn là: C

Trừ vế cho vế phương trình (1) cho (2) ta được:

$x^2+y^2-y=-1\iff x^2+y^2-y+1=0$

Ta có:

$\left\{\begin{array}{c}{x}^2\ge 0,\forall x\\ y^2-y+1={\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0,\forall y\end{array}\right.$$\Rightarrow x^2+y^2-y+1>0,\forall x,y$

Do đó phương trình $x^2+y^2-y+1=0$ vô nghiệm

Vậy không tồn tại giá trị của xy

Đáp án cần chọn là: D