23 câu Trắc nghiệm Toán 10 (có đáp án): Phương trình chứa căn

Điều kiện: $1-x\ge 0\iff x\le 1$

Ta có:

Vậy phương trình có 3 nghiệm

Đáp án cần chọn là: B

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{c}x+3\ge 0\\ 6-x\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge -3\\ x\le 6\end{array}\right.\iff -3\le x\le 6$

Đặt: $\sqrt{x+3}-\sqrt{6-x}=t$

$\iff {(\sqrt{x+3}-\sqrt{6-x})}^2=t^2\iff x+3+6-x-2\sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)}=t^2$

$\iff 2\sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)}=9-t^2\iff \sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)}=\frac{9-t^2}{2}(-3\le t\le 3)$

Khi đó, phương trình trở thành:

$t=3+\frac{9-t^2}{2}\iff t^2+2t-15=0\iff \left[\begin{array}{c}t=3\left(tm\right)\\ t=-5(ktm\end{array}\right.$

Với t=3$\Rightarrow \sqrt{x+3}-\sqrt{6-x}=3\iff \sqrt{x+3}=3+\sqrt{6-x}$

$\iff x+3=9+6\sqrt{6-x}+6-x\iff 2x-12=6\sqrt{6-x}$

$\iff x-6=3\sqrt{6-x}\iff \left\{\begin{array}{c}x-6\ge 0\\ x^2-12x+36=9\left(6-x\right)\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge 6\\ x^2-3x-18=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge 6\\ \left[\begin{array}{c}x=-3\left(l\right)\\ x=6\left(tm\right)\end{array}\right.\end{array}\right.\iff x=6$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{6\right\}$

Đáp án cần chọn là: C

Điều kiện: $x^2-6x+6\ge 0\iff \left[\begin{array}{c}x\le 3-\sqrt{3}\\ x\ge 3+\sqrt{3}\end{array}\right.$

Đặt: $\sqrt{x^2-6x+6}=t\left(t\ge 0\right)$

Khi đó, phương trình trở thành: $\iff t^2+3=4t\iff t^2-4t+3=0\iff \left[\begin{array}{c}t=1\left(tm\right)\\ t=3\left(tm\right)\end{array}\right.$

Vậy phương trình có 4  nghiệm.

Đáp án cần chọn là: D

Điều kiện: $12-x\ge 0\iff x\le 12$

Đặt $\sqrt[3]{x+24}=u;\sqrt{12-x}=v$

⇒ Hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}u+v=6\left(1\right)\\ u^3+v^2=36\left(2\right)\end{array}\right.$

 Từ (1) ⇒ v = 6 – u. Thay vào (2) ta được:

Vậy phương trình có 3 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: C

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{c}x+1\ge 0\\ 3-x\ge 0\\ \sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge -1\\ x<3\end{array}\right.\iff -1\le x\le 3$

Đặt: $\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}=t \left(t>0\right)$

Khi đó, phương trình trở thành: $\frac{2}{t}=1+\frac{t^2-4}{2}\iff \frac{2}{t}=\frac{t^2-2}{2}$

$\begin{array}{l}\iff t^3-2t-4=0\\ \iff \left(t-2\right)\left(t^2+2t+2\right)=0\iff t=2\end{array}$

+ Với t = 2

$\iff \sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}=0\iff \left(x+1\right)\left(3-x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-1\left(tm\right)\\ x=3\left(tm\right)\end{array}\right.$

Tổng bình phương các nghiệm là: 10

Đáp án cần chọn là: C

Điều kiện: x > 0

Ta có: $5\sqrt{x}+\frac{5}{2\sqrt{x}}=2x+\frac{1}{2x}+4$$5(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}})=2(x+\frac{1}{4x})+4$

Đặt $\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=t(t>0)\iff t^2=x+\frac{1}{4x}+1\iff x+\frac{1}{4x}=t^2-1$

Khi đó phương trình trở thành: 

$5t=2(t^2-1)+4\iff 2t^2-5t+2=0$$\iff \left[\begin{array}{c}t=2\left(tm\right)\\ t=\frac{1}{2}\left(tm\right)\end{array}\right.$

+ Với $t=\frac{1}{2}\Rightarrow x+\frac{1}{4x}=-\frac{3}{4}\iff 4x^2+3x+1=0$ ( vô nghiệm)

+ Với $t=2\Rightarrow x+\frac{1}{4x}=3\iff 4x^2-12x+1=0$ có hai nghiệm phân biệt

Vậy tổng 2 nghiệm của phương trình là: 3

Đáp án cần chọn là: B

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{c}3x^2+6x+16\ge 0\\ x^2+2x\ge 0\\ x^2+2x+4\ge 0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x\le -2\\ x\ge 0\end{array}\right.$

Đặt $t=\sqrt{x^2+2x}(t\ge 0)\iff t^2=x^2+2x$

Phương trình trở thành: $\sqrt{3t^2+16}+t=2\sqrt{t^2+4}$

$\begin{array}{l}\iff 3t^2+16+t^2+2t\sqrt{3t^2+16}=4t^2+16\\ \iff 2t\sqrt{3t^2+16}=0\\ \iff t=0\end{array}$

Với $t=0\iff x^2+2x=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=-2\end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{0;-2\right\}$

Đáp án cần chọn là: A

Vì: $4x^2-12x+11=4{\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+2>0,\forall x$ nên phương trình xác định với mọi x

Đặt $\sqrt{4x^2-12x+11}=t(t\ge \sqrt{2)}$

$\iff 4x^2-12x+1=t^2\iff 4x^2-12x+15=t^2+4$

Khi đó, phương trình trở thành: $t^2-5t+4=0\iff \left[\begin{array}{c}t=1\left(ktm\right)\\ t=4\left(ktm\right)\end{array}\right.$

Với $t=4\iff 4x^2-12x+11=16\iff 4x^2-12x-5=0$

Tổng 2 nghiệm của phương trình là: 3

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: $x^2+3x+1=\left(x+3\right)\sqrt{x^2+1}$

$\iff \left(x^2+1\right)+3\left(x+3\right)-9=\left(x+3\right)\sqrt{x^2+1}$

Đặt $\sqrt{x^2+1}=u(u\ge 0);x+3=v$

Phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}{u}^2+3v-9=uv\iff u^2+3v-9-uv=0\iff \left(u^2-9\right)-v\left(u-3\right)=0\\ \iff \left(u-3\right)\left(u+3-v\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}u=3\\ u+3-v=0\end{array}\right.\end{array}$

Vạy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{\pm 2\sqrt{2}\right\}$

Đáp án cần chọn là: D

Điều kiện: $2x-1\ge 0\iff x\ge \frac{1}{2}$

Đặt $t=\sqrt{2x-1}(t\ge 0)\Rightarrow x=\frac{t^2+1}{2}(*).$ Thay (*) vào phương trình, ta được:

$t+{\left(\frac{t^2+1}{2}\right)}^2-3\left(\frac{t^2+1}{2}\right)+1=0\iff t^4-4t^2+4t-1=0$

$\iff {\left(t-1\right)}^2\left(t^2+2t-1\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}t=1\left(tm\right)\\ t=\sqrt{2}-1\left(tm\right)\\ t=-\sqrt{2}-1\left(ktm\right)\end{array}\right.$

+ Với $t=1\Rightarrow 1=\sqrt{2x-1}\iff x=1$

+ Với $t=\sqrt{2}-1\Rightarrow \sqrt{2}-1=\sqrt{2x-1}\iff x=2-\sqrt{2}$

Vậy phương trình có 2 nghiệm

Đáp án cần chọn là: A

Khi đó phương trình trở thành:

Giả sử $x_1, x_2$  là hai nghiệm của phương trình (*)

Theo Vi – et, ta có $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-\frac{3}{2}\\ x_1.x_2=-9\end{array}\right.$

$\Rightarrow A=\sqrt{x_1^2+x_2^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{{\left(x_1+x_2\right)}^2-6x_1.x_2}$$=\sqrt{\frac{9}{4}+54}=\sqrt{\frac{225}{4}}=\frac{15}{2}$

Đáp án cần chọn là: D

Điều kiện: $x+1\ge 0\iff x\ge -1$

Ta có: $\sqrt{4x^2+x+6}=4x-2+7\sqrt{x+1}$

$\iff \sqrt{4x^2-4x+1+5x+5}=2\left(2x-1\right)+7\sqrt{x+1}$

$\iff \sqrt{{\left(2x-1\right)}^2+5\left(x+1\right)}=2\left(2x-1\right)+7\sqrt{x+1}$

$\iff \sqrt{\frac{{\left(2x-1\right)}^2}{x+1}+5}=2.\frac{2x-1}{\sqrt{x+1}}+7$

Đặt $t=\frac{2x-1}{\sqrt{x+1}}$, phương trình trở thành: $\sqrt{t^2+5}=2t+7$

Điều kiện $2t+7\ge 0\iff t\ge -\frac{7}{2}$

Phương trình:

$\iff t^2+5={\left(2t+7\right)}^2\iff t^2+5=4t^2+28t+49$

$\iff 3t^2+28t+44=0\iff \left[\begin{array}{c}t=-2\left(tm\right)\\ t=-\frac{22}{3}\left(ktm\right)\end{array}\right.$

+ Với $t=-2\iff -2=\frac{2x-1}{\sqrt{x+1}}\iff \sqrt{x+1}=-x+\frac{1}{2}\left(*\right)$

Điều kiện $-x+\frac{1}{2}\ge 0\iff x\le \frac{1}{2}$

Khi đó $\left(*\right)\iff x+1=x^2-x+\frac{1}{4}\iff x^2-2x-\frac{3}{4}\iff 4x^2-8x-3=0$

Giả sử $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình (1)

Theo Vi-et, ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2\\ x_1.x_2=-\frac{3}{4}\end{array}\right.$

$\Rightarrow x_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1.x_2=4+\frac{3}{2}=\frac{11}{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{c}x+2\ge 0\\ 2-x\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge -2\\ x\le 2\end{array}\right.\iff -2\le x\le 2$

Đặt: $t=3\sqrt{x+2}-6\sqrt{2-x}$

+ Với $t=0\Rightarrow 3\sqrt{x+2}-6\sqrt{2-x}=0$

$\iff 3\sqrt{x+2}=6\sqrt{2-x}\iff x+2=8-4x\iff x=\frac{6}{5}$

+ Với $t=9$

$\Rightarrow 3\sqrt{x+2}-6\sqrt{2-x}=9\iff \sqrt{x+2}=3+2\sqrt{2-x}$

$\iff x+2=0+8-4x+12\sqrt{2-x}\iff 5x-15=12\sqrt{2-x}$

Điều kiện: $5x-15\ge 0\iff x\ge 3$ (không thỏa mãn $-2\le x\le 2$)

Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất $x=\frac{6}{5}$

Đáp án cần chọn là: C

$\sqrt{5x^2+4x}-\sqrt{x^2-3x-18}=5\sqrt{x}\left(1\right)$

ĐK: $\left\{\begin{array}{c}5x^2+4x\ge 0\\ x^2-3x-18\ge 0\\ x\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge 0,x\le -\frac{4}{5}\\ x\ge 6,x\le -3\\ x\ge 0\end{array}\right.\iff x\ge 6$

Khi đó $\left(1\right)\iff \sqrt{5x^2+4x}=5\sqrt{x}+\sqrt{x^2-3x-18}$

Dễ thấy x = 6 không là nghiệm phương trình nên với x > 6 ta chia cả hai vế cho $x^2-6x>0$ ta được:

$2+3.\frac{x+3}{x^2-6x}=5.\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x^2-6x}}\left(2\right)$

Đặt $\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x^2-6x}}=t>0$ thì  (2) trở thành $3t^2-5t+2=0\iff \left[\begin{array}{c}t=1\left(TM\right)\\ t=\frac{2}{3}\left(TM\right)\end{array}\right.$

+ Nếu $t=1$ thì $\sqrt{x+3}=\sqrt{x^2-6x}$

$\iff x+3=x^2-6x\iff x^2-7x-3=0$$\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{7+\sqrt{61}}{2}\left(TM\right)\\ x=\frac{7-\sqrt{61}}{2}\left(L\right)\end{array}\right.$

+ Nếu $t=\frac{2}{3}$ thì $\sqrt{x+3}=\frac{2}{3}\sqrt{x^2-6x}\iff x+3=\frac{4}{9}(x^2-6x)$

$\iff 4x^2-33x-27=0\iff \left[\begin{array}{c}x=9\left(TM\right)\\ x=-\frac{3}{4}\left(L\right)\end{array}\right.$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $s=\left\{\frac{7+\sqrt{61}}{2};9\right\}$ hay S có 2 phần tử.

Đáp án cần chọn là: D