Ôn tập chương II Hình học 10 có đáp án

Đáp án C

M là điểm trên nửa đường tròn lượng giác sao cho $\widehat{xOM}=150°$. Khi đó, tọa độ M:

$M(c{\text{os 150}}^0;\sin {150}^0)=\left(\frac{-\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)$

Đáp án A

$P=si{n}^2\left(90°-\alpha \right)+si{n}^2\alpha =co{s}^2\alpha +si{n}^2\alpha =1$

Đáp án B

$co{s}^2\alpha =1-si{n}^2\alpha =1-{\left(\frac{12}{13}\right)}^2=\frac{25}{169} .$

$Do 90°<\alpha <180°$nên  $\cos \alpha <0 \Rightarrow \cos \alpha =-\frac{5}{13}$

Đáp án A

$si{n}^4\alpha +co{s}^4\alpha ={\left(si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha \right)}^2-2{\left(\sin \alpha \cos \alpha \right)}^2=1^2-2{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{7}{9}$

Đáp án C

$0°<\alpha <\beta <90° \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}0<\sin \alpha <\sin \beta \\ 0<\cos \beta <\cos \alpha \end{array}\right.$

$\Rightarrow \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }〈\frac{\sin \beta }{\cos \beta } ,\frac{\cos \alpha }{sin \alpha }〉\frac{\cos \beta }{\sin \beta } \Rightarrow \tan \alpha 〈\tan \beta ,\cot \alpha 〉\cot \beta$

Đáp án A

$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)=\widehat{BAC}=60°$

Đáp án D

$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC} \right)=180°-\widehat{ABC}=120°\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC} \right)=-\frac{1}{2}$

Đáp án D

$\overrightarrow{DM}.\overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}\right).\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}$

$=a.a.c{\text{os180}}^0+\text{}AM.BC.c{\text{os 90}}^0=-a^2+\text{}0=-a^2$

Đáp án B

Hai vecto $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ngược hướng

$\iff \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)={180}^0$

Ta $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.c{\text{os 180}}^0=-\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|$

Đáp án D

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\mathrm{12.3.}\cos 120°=-18$

Đáp án D

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\mathrm{12.3.}\cos 120°=-18$

Đáp án B

$\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right).\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right)={\overrightarrow{u}}^2-{\overrightarrow{v}}^2={\left|\overrightarrow{u}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{v}\right|}^2={\left(5\sqrt{2}\right)}^2-7^2=1$

Đáp án B

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=3.4+\left(-1\right).14= -2$

Đáp án C

$\overrightarrow{AB}=\left(1;5\right), \overrightarrow{AC}=\left(5;-2\right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=1.5+5.\left(-2\right)=-5$

Đáp án D

Độ dài vecto $\overrightarrow{a}$ là: $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{10}^2+{20}^2}=\sqrt{500}=10\sqrt{5}$

Đáp án A

$AB= \sqrt{{\left(5-2\right)}^2+{\left(-1-3\right)}^2}=5 , AC= \sqrt{{\left(7-2\right)}^2+{\left(-9-3\right)}^2}=13$

$BC= \sqrt{{\left(7-5\right)}^2+{\left(-9+1\right)}^2}=2\sqrt{17}$

Chu vi tam giác ABC là: $5+13+\text{}2\sqrt{17}=18+\text{}2\sqrt{17}$

ĐÁP ÁN C

Để hai vecto đã cho có độ dài bằng nhau thì:             

 $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|\iff \sqrt{x^2+9}=\sqrt{41}\iff x^2=32\iff x=\pm 4\sqrt{2}$

Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=3x-30$

Để hai vecto đã cho vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\iff 3x-30=0\iff x=10$

Chọn B

$\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{3.1+\left(-1\right).2}{\sqrt{3^2+{\left(-1\right)}^2}.\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$

Chọn A

$\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{-3.2+3\sqrt{3}.2\sqrt{3}}{\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}.\sqrt{2^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}}=\frac{12}{6.4}=\frac{1}{2}$

Do đó, góc giữa hai vecto là:$\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=60°$

ĐÁP ÁN D

Ta có: $\text{cos}\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=c{\text{os 60}}^0\iff \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{1.\sqrt{3}+\text{}m.1}{\sqrt{1^2+m^2}.\sqrt{3+1^2}}=\frac{1}{2}$ 

$\begin{array}{l}\iff \frac{\sqrt{3}+\text{}m}{\sqrt{1+\text{}{m}^2}.2}=\frac{1}{2}\iff \frac{\sqrt{3}+\text{}m}{\sqrt{1+\text{}{m}^2}}=1\\ \iff \sqrt{3}+\text{}m=\sqrt{1+\text{}{m}^2}\iff 3+\text{}2\sqrt{3}m+\text{}{m}^2=1+\text{}{m}^2\\ \iff 2\sqrt{3}m=-2\iff m=\frac{-\sqrt{3}}{3}\end{array}$

Chọn  C.

Gọi tọa độ điểm H(a;b)

Ta có: $\overrightarrow{AH}=\left(a+1;b-1\right), \overrightarrow{BH}=\left(a;b-2\right), \overrightarrow{BC}=\left(1;-1\right), \overrightarrow{AC}\left(2;0\right)$

Do H là trực tâm tam giác ABC nên:

$\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BH}=0\\ \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AH}=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}2.a+0.\left(b-2\right)=0\\ 1.\left(a+1\right)-1.\left(b-1\right)=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}a=0\\ b=2\end{array}\right.$

Vậy H (0; 2).

Chọn A

Gọi I(a;b) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có: AI = BI = CI $\iff$ AI² =  BI² = CI²

$\left\{\begin{array}{c}A{I}^2=B{I}^2\\ B{I}^2=C{I}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{\left(a-3\right)}^2+{\left(b+3\right)}^2={\left(a+3\right)}^2+{\left(b-5\right)}^2\\ {\left(a+3\right)}^2+{\left(b-5\right)}^2={\left(a-3\right)}^2+{\left(b-5\right)}^2\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{c}{a}^2-6a+\text{}9+\text{}{b}^2+\text{}6b+\text{}9=a^2+\text{}6a+9+\text{}{b}^2-10b+25\\ a^2+6a+\text{}9+\text{}{b}^2-10b+\text{}25=a^2-6a+9+b^2-10b+\text{}25\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{c}-12a+16b=16\\ 12a=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=0\\ b=1\end{array}\right.\end{array}$

Vậy tâm I(0; 1).

Chọn B.

Áp dụng định lí côsin  trong tam giác ta có:

 $B{C}^2=2^2+5^2-\mathrm{2.2.5.}\cos 45°=29-10\sqrt{2}\Rightarrow BC=\sqrt{29-10\sqrt{2}}$

Chọn B

Áp dụng hệ quả định lí cô sin trong tam giác ta có:

 $\cos A=\frac{2^2+2^2-1^2}{\mathrm{2.2.2}}=\frac{7}{8}$

Chọn C.

Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:

$\begin{array}{l}{m}_c^2=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}=\frac{2^2+2^2}{2}-\frac{3^2}{4}=\frac{7}{4}\\ \Rightarrow m_c=\frac{\sqrt{7}}{2}\end{array}$

Chọn D.

Theo định lí sin trong tam giác ta có:

$\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{6}{2.\sin {60}^0}=2\sqrt{3}$

Chọn B.

Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}\mathrm{.5.6.}\sin 30°=\frac{15}{2}$

Chọn A

Diện tích tam giác ABC là:

$S\text{}=\frac{1}{2}{h}_b.b=\frac{1}{2}2.10=10$

ĐÁP ÁN A

Nửa chu vi của tam giác ABC là: $p=\frac{9+10+11}{2}=15$

Áp dụng công thức Hê- rông, diện tích tam giác ABC là:

$S=\sqrt{15\left(15-9\right)\left(15-10\right)\left(15-11\right)}=\sqrt{\mathrm{15.6.5.4}}=30\sqrt{2}$

Chọn D.