15 câu Trắc nghiệm Ôn tập Toán 10 Chương 2 Hình học có đáp án

Đáp án A

Ta có: $R=\frac{abc}{4S},r=\frac{S}{p}$

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên b = c và $a=\sqrt{b^2+c^2}=b\sqrt{2}$

Xét tỉ số:

$$\begin{gathered} \frac{R}{r}=\frac{abc.p}{4S^2}=\frac{abc.\frac{a+b+c}{2}}{4.\frac{1}{4}.{\left(b.c\right)}^2} \\ =\frac{a\left(a+2b\right)}{2b^2}=\frac{2b^2\left(1+\sqrt{2}\right)}{2b^2}=1+\sqrt{2} \end{gathered}$$

Đáp án B

Ta có: $\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|=18$

Dựng điểm I thỏa mãn:

$2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{AI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{9}\overrightarrow{AC}$

Khi đó:

$$\begin{gathered} \left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right| \\ \iff 9\left|\overrightarrow{MI}\right|=18\iff IM=2 \end{gathered}$$

Do đó tập hợp các điểm M là đường tròn cố định có bán kính R = 2cm

Đáp án A

$$\begin{gathered} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\right) \\ =2M{O}^2+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right) \\ Có \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0} \\ \Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}\Rightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0,\overrightarrow{OC}\perp \overrightarrow{OD}\Rightarrow \overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OD}=0 \end{gathered}$$

Đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh a có bán kính $\frac{a}{2}\Rightarrow MO=\frac{a}{2}\Rightarrow M{O}^2=\frac{a^2}{4}$

Vậy $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=2.\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{2}$

Đáp án D

Ta có chiều cao của tòa nhà chính là đoạn HC.

Mà HC = CD + DH = CD + 7

Xét tam giác ACD vuông tại D có $AC=\frac{CD}{\sin {40}^0}$

Xét tam giác ABD vuông tại D có $AB=\frac{5+CD}{\sin {50}^0}$

Xét tam giác ABC có:

$$\begin{gathered} B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos \widehat{BAC} \\ \iff \left(\frac{1}{{\sin }^2{50}^0}+\frac{1}{{\sin }^2{40}^0}-\frac{2\cos {10}^0}{\sin {40}^0\sin {50}^0}\right)C{D}^2+\left(\frac{10}{{\sin }^2{50}^0}-\frac{10\cos {10}^0}{\sin {40}^0\sin {50}^0}\right)+\frac{25}{{\sin }^2{50}^0}-25=0 \\ \iff CD\approx 11,9\Rightarrow HC\approx 7+11,9\approx 18,9\left(m\right) \end{gathered}$$

Vậy tòa nhà cao 18,9m

Đáp án D

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

$$\begin{gathered} c^2=a^2+b^2-2a.b.\cos C \\ \Rightarrow 81=25+b^2-\mathrm{2.5.}b.\left(-\frac{1}{10}\right) \\ \iff b^2+b-56=0\iff \left[\begin{array}{c}b=7\\ b=-8\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ta nhận được b = 7 (cm)

Diện tích tam giác ABC là  

$$\begin{gathered} S_{\Delta ABC}=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)} \\ =\sqrt{\frac{21}{2}\left(\frac{21}{2}-5\right)\left(\frac{21}{2}-7\right)\left(\frac{21}{2}-9\right)} \\ =\frac{21\sqrt{11}}{4}\left(c{m}^2\right) \end{gathered}$$

Độ dài đường cao $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{\frac{21\sqrt{11}}{2}}{5}=\frac{21\sqrt{11}}{10}\left(cm\right)$

Đáp án A

Gọi $\widehat{MOA}=\alpha \Rightarrow \widehat{MOB}={180}^0-\alpha$

Ta có:

$$\begin{gathered} MA=\sqrt{M{O}^2+A{O}^2-2MO.AO.\cos \alpha } \\ =\sqrt{9R^2+R^2-6R^2\cos \alpha }=R\sqrt{10-6\cos \alpha } \\ MB=\sqrt{M{O}^2+B{O}^2-2MO.BO.\cos \left({180}^0-\alpha \right)} \\ =\sqrt{9R^2+R^2+6R^2\cos \alpha }=R\sqrt{10+6\cos \alpha } \end{gathered}$$

Xét $C=\sqrt{10-6\cos \alpha }+\sqrt{10+6\cos \alpha }$

$\Rightarrow C^2=20+2\sqrt{100-36{\cos }^2\alpha }\ge 20+2\sqrt{100-36}=36$

Suy ra $C\ge 6$. Dấu bằng xảy ra khi 

${\cos }^2\alpha =1\iff \left[\begin{array}{c}\cos \alpha =1\\ \cos \alpha =-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}\alpha =0^0\\ \alpha ={180}^0\end{array}\right.$

Ta có $S=MA+MB=R\left(\sqrt{10-6\cos \alpha }+\sqrt{10+6\cos \alpha }\right)\ge 6R$

Suy ra min S = 6R khi và chỉ khi A, O, B, M thẳng hàng

Đáp án C

Xét đường tròn bán kính 1, ta cắt trên đó một hình chữ nhật ABCD.

Khi đó $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD.\sin \alpha =2\sin \alpha \le 2$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\alpha = {90}^{\circ }$

Vậy diện tích lớn nhất của miếng tôn cắt trên nửa đường tròn bằng 1

Đáp án B

Ta có:  

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{y}=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\left(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\right).\left(7\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}\right)=0\\ \left(\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}\right).\left(7\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\right)=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}7{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-15{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=-16\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\\ 7{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+8{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=30\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\\ {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2=2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\\ \left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|\end{array}\right. \end{gathered}$$

Từ đó, ta có:

$$\begin{gathered} \cos \left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)={60}^0 \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{a^2}{2} \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right)=\frac{a^2}{2} \\ \Rightarrow A{C}^2-A{B}^2=a^2 \end{gathered}$$

Mặt khác, tam giác ABC vuông tại A nên $A{B}^2+A{C}^2=3a^2$

Suy ra $\left\{\begin{array}{c}A{C}^2=2a^2\\ A{B}^2=a^2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}AC=a\sqrt{2}\\ AB=a\end{array}\right.$