10 câu Trắc nghiệm Ôn tập Toán 10 Chương 2 Hình học có đáp án (Vận dụng)

Đáp án D

Giả sử M(x; y) là điểm thỏa mãn điều kiện đề bài.

Kẻ AH vuông góc với BC. Suy ra

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}BM.AH=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}AH.BC\Rightarrow \overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \\ \left(x-2;y\right)=\frac{1}{3}\left(-5;1\right)\iff \left\{\begin{array}{c}x-2=-\frac{5}{3}\\ y=\frac{1}{3}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{1}{3}\\ y=\frac{1}{3}\end{array}\right.\Rightarrow M\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right) \end{gathered}$$

Đáp án A

Ta có: Sau 2h quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: $S_1$ = 30.2 = 60km.

Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy được là: $S_2$ = 40.2 = 80km.

Vậy: sau 2h hai tàu cách nhau là:

$S=\sqrt{S_1^2+S_2^2-2S_1.S_2.\cos {60}^0}=20\sqrt{13}$

Đáp án A

Ta có:

$\widehat{C_{1}D{A}_1}={90}^0-{49}^0={41}^0;\widehat{C_{1}D{B}_1}={90}^0-{35}^0={55}^0;$

nên $\widehat{A_{1}D{B}_1}={14}^0$

Xét tam giác $A_{1}D{B}_1$ có

$$\begin{gathered} \frac{A_1{B}_1}{\sin \widehat{A_{1}D{B}_1}}=\frac{A_{1}D}{\sin \widehat{A_1{B}_{1}D}} \\ \Rightarrow A_{1}D=\frac{12.\sin {35}^0}{\sin {14}^0}\approx 28,45m \end{gathered}$$

Xét tam giác $C_1{A}_{1}D$ vuông tại $C_1$, có:

$$\begin{gathered} \sin \widehat{C_1{A}_{1}D}=\frac{C_{1}D}{A_{1}D} \\ \Rightarrow C_{1}D=A_{1}D.\sin \widehat{C_1{A}_{1}D}=28,45.\sin {49}^0 \\ \approx 21,47m \end{gathered}$$

Đáp án D

Ta có: $A{B}^2=8,A{C}^2=2\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$

Giả sử E (x; y) thuộc đoạn BC. Theo tính chất đường phân giác ta có:

$$\begin{gathered} \frac{EB}{AB}=\frac{EC}{AC}\Rightarrow \frac{EC}{EB}=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \frac{\overrightarrow{EC}}{\overrightarrow{EB}}=-\frac{1}{2} \\ \iff \left(2-x;-2-y\right)=-\frac{1}{2}\left(3-x;-5-y\right) \\ \iff \left\{\begin{array}{c}2-x=-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}x\\ -2-y=\frac{5}{2}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{1}{2}y\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{7}{3}\\ y=-3\end{array}\right. \\ \Rightarrow E\left(\frac{7}{3};-3\right) \end{gathered}$$

Đáp án C

Gọi a là góc tạo bởi hai trung tuyến BE, CF

Khi đó $\cos a=\frac{\left|\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{CF}\right|}{\left|\overrightarrow{BE}\right|\left|\overrightarrow{CF}\right|}$

Sử dụng phân tích

$$\begin{gathered} \overrightarrow{BE}.\overrightarrow{CF}=\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}\right)\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}\right) \\ =\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AF} \\ =0-\overrightarrow{AB}.\frac{\overrightarrow{AB}}{2}-\overrightarrow{AC}.\frac{\overrightarrow{AC}}{2}+0 \\ =-\frac{A{B}^2}{2}-\frac{A{C}^2}{2}=-\frac{A{B}^2}{2}-\frac{A{B}^2}{2}=-A{B}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} BE=CF=\sqrt{A{B}^2+A{E}^2} \\ =\sqrt{A{B}^2+\frac{A{B}^2}{4}}=AB\sqrt{\frac{5}{4}} \end{gathered}$$

Từ đó suy ra $\cos a=\frac{A{B}^2}{A{B}^2\frac{5}{4}}=\frac{4}{5}$

Đáp án C

Với p là nửa chu vi của tam giác ta có:

$S=\frac{\sqrt{3}}{36}{\left(a+b+c\right)}^2=\frac{\sqrt{3}}{36}.{\left(2p\right)}^2=\frac{\sqrt{3}}{9}{p}^2$

Theo công thức He-rong ta có:

$$\begin{gathered} \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\frac{\sqrt{3}}{9}{p}^2 \\ \iff \left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)=\frac{1}{27}{p}^3 \end{gathered}$$

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

$$\begin{gathered} \left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\le \frac{{\left(p-a+p-b+p-c\right)}^3}{27} \\ =\frac{{\left(3p-\left(a+b+c\right)\right)}^3}{27}=\frac{{\left(3p-2p\right)}^3}{27}=\frac{p^3}{27} \end{gathered}$$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Khi đó tam giác ABC đều

Đáp án A

Theo định lí cosin ta có:

$$\begin{gathered} a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \\ =7^2+5^2-\mathrm{2.7.5.}\frac{3}{5}=32\Rightarrow a=4\sqrt{2} \end{gathered}$$

Từ công thức ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1\Rightarrow \sin A=\frac{4}{5}$

Theo định lí sin ta có: $\frac{a}{\sin A}=2R$

$\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{4\sqrt{2}}{2.\frac{4}{5}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$

Đáp án C

Theo định lí cosin ta có: $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ thay vào đẳng thức thứ hai của hệ trên. Ta có:

$$\begin{gathered} a=2b\cos C=2b.\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \\ \Rightarrow a^2=a^2+b^2-c^2\iff b^2-c^2=0 \\ \iff b^2=c^2\iff b=c \end{gathered}$$

Thay b = c vào hệ thức thứ nhất ta có:

$$\begin{gathered} \frac{2b^3-a^3}{2b-a}=a^2\iff 2b^3-a^3=2b{a}^2-a^3 \\ \iff b^2=a^2\iff a=b \end{gathered}$$

Do đó a = b = c. Vậy tam giác ABC đều

Đáp án C

Dễ thấy $\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta ABM}}=4\iff \frac{BC}{BM}=4\iff \left[\begin{array}{c}\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{BM}\\ \overrightarrow{BC}=-4\overrightarrow{BM}\end{array}\right.$

TH1: $\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{BM}\Rightarrow \overrightarrow{BM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$ 

thì $\left\{\begin{array}{c}x-2=-\frac{3}{4}\\ y-1=-\frac{3}{4}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{5}{4}\\ y=\frac{1}{4}\end{array}\right.\Rightarrow x.y=\frac{5}{16}$

TH2: $\overrightarrow{BC}=-4\overrightarrow{BM}\Rightarrow \overrightarrow{BM}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$

thì $\left\{\begin{array}{c}x-2=\frac{3}{4}\\ y-1=\frac{3}{4}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{11}{4}\\ y=\frac{7}{4}\end{array}\right.\Rightarrow x.y=\frac{77}{16}$

Đáp án A

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

Khi đó: D (0; 0), C (0; 1), A (1; 0); B (1; 1), M (1; x); N (y; 0).

Ta có: $\overrightarrow{CM}=\left(1;x-1\right);\overrightarrow{BN}=\left(y-1;-1\right)$

Do đó: $CM\perp BN$

$\iff \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{BN}=0\iff x-y=0$