Ôn tập chương 4

Hai đường thẳng cắt nhau: AD và DC; AD và $D{D}_1$; $B{B}_1$ và BC; ...

Hai đường thẳng song song: AB và CD; AB và $A_1{B}_1$; ...

Hai đường thẳng cắt nhau và không cùng nằm trong một mặt phẳng : AB và $C{C}_1$; $A{A}_1$ và CD; ...

Đường thẳng nằm trong mặt phẳng: AB nằm trong mp($AB{B}_1{A}_1$); AB và mp(ABCD); .

Đường thẳng không có điểm chung với mặt phẳng : AB và mp($CD{D}_1{C}_1$); AB và mp ($A_1{B}_1{C}_1{D}_1$); ...

Đường thẳng cắt mặt phẳng : $A{A}_1$ cắt mp (ABCD) tại A; $A{A}_1$ cắt mp ($A_1{B}_1{C}_1{D}_1$) tại $A_1$; ...

Diện tích bể mặt bốn không có nắp bằng diện tích xung quanh cộng thêm diện tích mặt đáy.

Diện tich xung quanh bằng: $S_{xq}$ =(5,3 + 112,5).2.2,1 =74,76 ($m^2$)

Diện tích đáy: $S_{đáy}$ = 5,3 . 12,5= 66,25 ($m^2$)

Diện tích bề mặt bồn bằng: 74,76 + 66,25 = 141,01 ($m^2$)

Thể tich bồn bằng V= S.h = 66,25. 2,1=139,125 ($m^2$)

Ta có: 139,125 ($m^3$) =139 125 ($d{m}^3$)

Một lít nước tương đương với 1 $d{m}^3$

Vậy bồn chứa đầy nước: có 139125 lít nước.

Diện tích cả mặt trong và mặt ngoài bồn bằng:

141,01.2 = 282,02 ($m^2$)

Số lít sơn cần dùng là: 282,02 :116 ≈ 17,163 (lít)

Vì nước cách đáy bồn 1,05 m bằng nửa độ cao của bồn nên thời gian chảy cần thiết đẩy bể là:

(139125: 125) : 2 = 9 giờ 16 phút 30 giây

Hình vẽ là lăng trụ đứng đáy tam giác cân với cạnh bên bằng 5m, cạnh đáy 6m, chiều cao đáy 4m, chiều cao lăng trụ 10m.

Diện tích xung quanh bằng:

$S_{xq}$= (5 + 5 +6).10 =160 ($m^2$)

Diện tích đáy bằng: S= 1/2 6.4 = 12 ($m^2$)

Diện tích toàn phần bằng: $S_{TP}$ = $S_{xq}$ + S$S_{đáy}$ = 160 + 2.12 = 184($c{m}^2$)

Thể tích của thùng chứa bằng : V=3,1.7.1,6=34,72 ($m^2$)

Phần thể tích chở cát bằng: 34,72.3/4 =26,04 ($m^3$)

Lượng cát cân nặng là : 26,04 . 1,6 = 41,664 (tấn)

Khi cát san phẳng chở đầy thì diện tích của nó bên trong thùng gồm diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật có kích thước là 3,1m,7m và 1,6m cùng với đáy hình chữ nhật kích thước bằng 3,1m và 7m

Diện tích cát bên trong thùng là:

2.(7+3,1).1,6 +3,17=54,02 ($m^2$)

Gọi a là độ dài cạnh của hình lập phương. Vì là hình lập phương nên kích thước các cạnh bằng nhau.

Như vậy đường chéo đáy, là đường chéo hình vuông cạnh ạ.

Độ dài đường chéo đáy là a$\sqrt{2}$

Suy ra: $A{C_1}^2$=${\left(a\sqrt{2}\right)}^2+a^2=2a^2+a^2=3a^2$

Mà AC1 = $\sqrt{12}$ nên 3$a^2$ =12 ⇒$a^2$=4 ⇒ a=2

Vậy cạnh hình lập phương bằng 2(đơn vị dài)

Diện tích toàn phần hình lập phương:

$S_{TP}$ =6.(2.2) = 24 (đơn vị diện tích)

Thể tích hình lập phương:

V = 2.2.2 = 8 (đơn vị thể tích)

Khi vẽ hình thứ 3,ta có:

Số hình lập phương đơn vị bên trái là 3.4.3=36

Số hình lập phương đơn vị bên trái là 3.4.3 =36

Số hình lập phương đơn vị ở giữa là 3.3=9

Vậy có tổng số :36+36+9=81 hình lập phương đơn vị

Với quy luật đó thì hình thứ 10:

Số hình lập phương đơn vị bên trái là 10.11.10=1100

Số hình lập phương đơn vị bên trái là 10.11.10=1100

Số hình lập phương đơn vị ở giữa là 10.10 =100

Vậy tổng số hình lập phương đơn vị của hình thứ 10 là:

1100 + 1100 +100=2300 (hình)

Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật là:

     $S_{xq}$=4.5.2=40 ($c{m}^2$)

Diện tích đáy hình hộp chữ nhật là:

      S = 5.5 = 25 ($c{m}^2$)

Đường cao hình chóp bằng 3 nên đường cao mặt bên bằng:

$\sqrt{\left(3^2+{\left(2,5\right)}^2\right)}=\sqrt{9+6,25}=\sqrt{15,25}$ ≈ 3,9 cm

Diện tích xung quanh hình chóp đểu:

     $S_{xq}$= 1/2 (5.4).3,9 = 39 ($c{m}^2$)

Vậy diện tích xung quanh vật thể bằng:

       40 + 25 + 39 = 104 ($c{m}^2$)

Diện tích xung quanh vật thể gồm diện tích xung quanh hai hình chóp đều có cạnh đáy bằng 6cm và đường cao hình chóp 9cm

Đường cao mặt bên bằng : $\sqrt{\left(3^2+9^2\right)}=\sqrt{90}$

Diện tích xung quanh của hình chóp là:

      $S_{xq}$ = 1/2 .(6.4). $\sqrt{90}$ =12$\sqrt{90}$ ($c{m}^2$)

Diện tích xung quanh vật thể là: 2.12$\sqrt{90}$ ≈ 228 ($c{m}^2$)

Lớp dưới cùng có: 3.3=9 (hình lập phương đơn vị)

Lớp thứu hai có: 2.3=6 (hình lập phương đơn vị)

Lớp trên cùng có: 3 (hình lập phương đơn vị)

Trong hình bên có tất cả: 9+6+3=18 (hình lập phương đơn vị)

Gọi a, b, c lần lượt là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.

*Cho a = 30cm; b = 16cm, ta có:

$a^2+b^2+c^2={50}^2\Rightarrow {30}^2+{16}^2+c^2={50}^2$

Suy ra: $c^2$ = 2500 - 900 - 256 = 1344

Vậy c = $\sqrt{1344}$ ≈36,7(cm)

*Cho a = 25cm; b = 20cm, ta có:

$a^2+b^2+c^2={50}^2\Rightarrow {25}^2+{20}^2+c^2={50}^2$

Suy ra: $c^2$ = 2500 - 625 - 400 = 1475

Vậy c = $\sqrt{1475}$ ≈38,4 cm

Diện tích mặt đáy bằng: S = 1/2 .3.4 = 6 ($c{m}^2$)

Cạnh huyền của tam giác đáy bằng: $\sqrt{\left(3^2+4^2\right)}=\sqrt{25}=5$ (cm)

Diện tích xung quanh bằng: $S_{xq}$ = (3+ 4 + 5).7 = 84 ($c{m}^2$)

Diện tính toàn phần bảng: $S_{TP}=S_{xq}+S_{đáy}$ = 84 + 2.6 = 96 ($c{m}^2$)

Thể tích của hình lăng trụ bằng: V = S.h = 6.7 = 42 ($c{m}^3$)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=9^2+{12}^2$ = 225

Suy rạ: BC = 15 (cm)

Diện tích xung quanh bằng:

$S_{xq}$=(9 + 12 + 15).10 =360 ($c{m}^2$)

Diện tích mặt đáy bằng:

S = 1/2 .9.12=54 ($c{m}^2$)

Diện tích toàn phần bằng :

$S_{TP}$ = $S_{xq}$ + $S_{đáy}$ =360 + 2.54=468 ($c{m}^2$)

Thể tích của hình lăng trụ bằng : V =S.h = 54.10 = 540 ($c{m}^3$)

Gọi O là tâm của hình vuông đáy.

Kẻ SK ⊥ BC, ta có: KB = KC

Vì SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ OK

Trong tam giác SOK ta có:

∠(SOK) = ${90}^o$

OK = 12; AB = 5cm

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông SOK, ta có:

$S{K}^2=S{O}^2+O{K}^2={12}^2+5^2$=169

Suy ra: SK = 13 (cm)

Diện tích xung quanh hình chóp đều: S = (2.10).13 = 260 ($c{m}^2$)

Diện tích mặt đáy: S = 10.10 = 100($c{m}^2$)

Diện tích toàn phần hình chóp đều : $S_{TP}=S_{xq}+S_{đáy}$ = 260 + 100 = 360 ($c{m}^2$)

Thể tích hình chóp đều bằng: V = 1/3 S.h = 1/3.100.12 = 400 ($c{m}^3$)

Diện tích hình chữ nhật CDKL

CD = AB = 108 cm

SCDKL = CD.CL = 108.78 = 8424 ($c{m}^2$)

Hình BCLGF có thể chia thành hai hình Một hình chữ nhật có kích thước 18cm và 54cm, một hình thang vuông có: 2 đáy là 24cm và 54cm, chiều cao 72cm

Diện tích phần hình chữ nhật là: S = 18.54= 972($c{m}^2$)

Diện tích phần hình thang vuông

S = [(24 + 54) : 2].72 = 2808 ($c{m}^2$)

Diện tích hình BCLGF bằng: 972 + 2808 = 3780 ($c{m}^2$)

Hình lăng trụ đứng ADKHE.BCLGF có thể chia thành hai hình.

Một hình hộp chữ nhật có hai cạnh đáy là 13cm và 54cm ,chiều cao hình hộp 108cm, một hình lăng trụ đứng đáy hình thang vuông với hai cạnh đáy 24cm và 54cm, chiều cao đáy 72cm chiều cao lăng trụ 108cm

Thể tích phần hình hộp chữ nhật là :

V = 18.54.108 = 104976 ($c{m}^3$)

Thể tích phần hình lăng trụ đứng là:

V = S.h = 2808.108 = 303264 ($c{m}^3$)

Thể tích lăng trụ đứng ADKHE.BCLGF bằng:

V = 104976 +303264 = 408240 ($c{m}^3$)

Ta có: V = 1/3 .S.h mà V = 126 ($c{m}^3$) ,h = 6cm nên :

      126 = 1/3 .S.6 ⇒ S = 126 :2 = 63 ($c{m}^2$)

Vậy chọn đáp án C

Một mặt bên của hình chóp cụt là một hình thang có hai đáy là a và 2a; đường cao bằng a.

Diện tích mặt bên là:

S = (a+ 2a): 2.a =3/2 $a^2$ (đvtt)

Diện tích xung quanh hình nón cụt:

$S_{xq}$ = 4.3/2 $a^2$ = 6$a^2$ (đvtt)

Kẻ A'H ⊥ AB.

Ta có K là trung điểm của AB, I là trung điểm của A'B'. O và O' là tâm của hai hình vuông đáy.

Ta có: A'I =a/2 ; AK = a ⇒ AH =a/2

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AA'H, ta có:

$A\text{'}{A}^2=A\text{'}{H}^2+A{H}^2=a^2+a^2/4=5a^2/4$

Suy ra: AA' = $\sqrt{\left(5a^2/4\right)}$

Kẻ IE ⊥ OK, ta có: OK = a ⇒ EK = a/2

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông IEK, ta có:

$I{K}^2=I{E}^2+E{K}^2$

Suy ra: $I{E}^2=I{K}^2-E{K}^2=a^2-{\left(a/2\right)}^2=3a^2/4$

Vậy IE = $\sqrt{\left(3a^2/4\right)}$

Gọi viên gạch là hình hộp chữ nhật $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$

Để đo đường chéo $A{C}_1$ ta làm như sau: trên tia đối tia $C{C}_1$ ta lấy điểm $C_2$ sao cho $C{C}_2$ = $C{C}_1$

Dùng thước chia vạch đo đoạn $A{C}_2$. Độ dài đoạn $A{C}_2$ chính là độ dài đường chéo $A{C}_1$

Thể tích phần hình hộp chữ nhật:

V = 5.5.5 = 75 (đvtt)

Ta có: IJ = AA' ⇒ IJ = 3

OI = IJ = 3

SJ = 9 ⇒ SO = 3

Suy ra: $S{A}_1=A_{1}A\text{'}; S{D}_1=D_{1}D\text{'}$

Khi đó hình vuông $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ có cạnh $A_1{B}_1$ = 1/2 A'B' = 2,5

Thể tích hình chóp đều S. A'B'C'D' là:

V= 1/3 (5.5).6 = 50 (đvtt)

Thể tích hình chóp đều $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ là:

V= 1/3(2,5.2,5).3 = 6,25 (đvtt)

Thể tích hình chóp cụt A'B'C'D'.$A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ là:

      V = 50 – 6,25 = 43,75 (đvtt)

Thể tích của một trụ bê tông là:

      V = 43,75 + 75 = 118,75 (đvtt).

Trải 6 mặt của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' như hình bs.18a. Để đi đường ngắn nhất từ M đến M' (M' chính là trung điểm của A'D' trên mặt khai triển) thì con kiến cần bò theo đoạn thẳng MM'. Trên chiếc hộp, đường đi ngắn nhất của con kiến là đường MNPQKZM' như ở hình bs.18b (dễ thấy N, P, Q, K, Z lần lượt là trung điểm của DD', CD, BC, BB', A'B').

Tam giác đều cạnh a có diện tích bằng $\left(a^2\sqrt{3}\right)/4$. Do đó, hình chóp tam giác đều với cạnh đáy a, chiều cao h có thể tích :

Nếu tăng gấp đôi chiều cao thì thể tích hình chóp là:

Tam giác đều cạnh a có diện tích bằng $\left(a^2\sqrt{3}\right)/4$. Do đó, hình chóp tam giác đều với cạnh đáy a, chiều cao h có thể tích :

Nếu tăng gấp đôi cạnh đáy thì thể tích hình chóp là:

Tam giác đều cạnh a có diện tích bằng $\left(a^2\sqrt{3}\right)/4$. Do đó, hình chóp tam giác đều với cạnh đáy a, chiều cao h có thể tích :

Nếu gấp đôi cả chiều cao và cạnh đáy thì thể tích hình chóp là:

Xét hình chóp cụt đều ABCD.A'B'C'D' như hình bs.19.

Gọi M, M' thứ tự là trung điểm của BC, B'C'. Khi đó MM' là đường cao của hình thang cân BCC'B'.

Do đó diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều là:

$S_{xq}$ = 4.(a+b)/2.MM′=(2a+2b).MM′

Từ giả thiết ta có:

(2a+2b).MM′=$a^2+b^2$ 

Dễ thấy OM // O'M' nên OM và O'M' xác định mặt phẳng (OMM'O'). Trong mặt phẳng (OMM'O'), kẻ MH ⊥ O'M'. Khi đó: HM' = O'M' – O'H = (b−a)/2

Trong tam giác vuông MHM' ta có: $MM{\text{'}}^2=M{H}^2+HM{\text{'}}^2=h^{}+{\left(\left(b-a\right)/2\right)}^2$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra :