Ôn tập chương 4

Nếu a > b và c > 0 thì ac > bc

Nếu a > b và c > 0 thì a + c > b + c

Nếu a > b và c < 0 thì a + c > b + c

Nếu a > b và c < 0 thì ac < bc

Nểu a < b và c > 0 thì ac < bc

Nếu a < b và c > 0 thì a + c < b + c

Nếu a < b và c < 0 thì ac > bc

Nếu a < b và c < 0 thì a + c < b + c

Ta có: a > b ⇔ 3a > 3b ⇔ 3a + 5 > 3b + 5 (1)

Mặt khác: 3b + 5 > 3b + 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 3a + 5 > 3b + 2

Ta có: a > b ⇔ -4a < -4b ⇔ 3 – 4a < 3 – 4b (1)

Mặt khác: 2 – 4a < 3 – 4a (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2 – 4a < 3 – 4b

Ta có 2,99 là nghiệm của bất phương trình x < 3. Bốn số lớn hơn 2,99 là nghiệm của bất phương trình là: 2,999; 2,998; 2,997; 2,996.

Ta có 4,01 là nghiệm của bất phương trình x > 4. Ba số nhỏ hơn 4,01 là nghiệm của bất phương trình là: 4,003; 4,002; 4,001.

Ta có: 2(3x – 1) – 2x < 2x + 1

      ⇔ 6x – 2 – 2x < 2x – 1

       ⇔ 6x – 2x – 2x < -1 + 2

       ⇔ 2x < 1

       ⇔ x < 1/2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x|x < 1/2 }

Ta có: 4x – 8 $\ge$ 3(3x – 2) + 4 – 2x

       ⇔ 4x – 8 $\ge$ 9x – 6 + 4 – 2x

       ⇔ 4x – 9x + 2x $\ge$ - 6 + 4 + 8

      ⇔ -3x $\ge$ 6

      ⇔ x $\le$ -2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x|x $\le$ -2}

⇔ 10x + 7 < 3x – 7

⇔ 10x – 3x < -7 – 7

⇔ 7x < -14

⇔ x < -2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x|x < -2}

Ta có:

⇔ 6 + 2 + 4x > 2x – 1 – 12

⇔ 4x – 2x > -1 – 12 – 6 – 2

⇔ 2x > -21

⇔ x > -10,5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x|x > -10,5}

Gọi x (km) là đoạn đường người đó đi với vận tốc 5km/h. ĐK: x < 18.

Khi đó đoạn đường người đó đi với vận tốc 4km/h là 18 – x(km)

Thời gian đi với vận tốc 5km/h là x/5 giờ

Thời gian đi với vận tốc 4km/h là (18 - x)/4 giờ.

Vì thời gian đi hết đoạn đường không quá 4 giờ nên ta có bất phương trình: x/5 + (18 - x)/4 ≤ 4.

Ta có: x/5 + (18 - x)/4 ≤ 4

      ⇔ x/5 .20 + (18 - x)/4 .20 ≤ 4.20

      ⇔ 4x + 90 – 5x ≤ 80

      ⇔ 4x – 5x ≤ 80 – 90

      ⇔ -x ≤ -10

      ⇔ x ≥ 10

Vậy đoạn đường đi với vận tốc 5km/h ít nhất là 10km.

Ta có: |2x| = 2x khi 2x $\ge$ 0 ⇔ x $\ge$ 0

       |2x| = -2x khi 2x < 0 ⇔ x < 0

Ta có: 2x = 3x – 2

      ⇔ 2x – 3x = -2

       ⇔ x = 2

Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x $\ge$ 0 nên 2 là nghiệm của phương trình.

       -2x = 3x – 2

       ⇔ -2x – 3x = -2

       ⇔ x = 2/5

Giá trị x = 2/5 không thỏa mãn điều kiện x < 0 nên loại.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}

Ta có: |x + 15| = x + 15 khi x + 15 $\ge$ 0 ⇔ x $\ge$ -15

       |x + 15| = -x – 15 khi x + 15 < 0 ⇔ x < -15

Ta có: x + 15 = 3x – 1

      ⇔ x – 3x = -1 – 15

      ⇔ -2x = -16

      ⇔ x = 8

Giá trị x = 8 thỏa mãn điều kiện x $\ge$ -15 nên 8 là nghiệm của phương trình.

       -x – 15 = 3x – 1

       ⇔ -x – 3x = -1 + 15

       ⇔ -4x = 14

       ⇔ x = -3,5

Giá trị x = -3,5 không thỏa mãn điều kiện x < -15 nên loại.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {8}

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác.

Chu vi tam giác là a + b + c.

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

      a < b + c

      ⇔ a + a < a + b + c

      ⇔ 2a < a + b + c

      ⇔ a < (a + b + c)/2

Tương tự:

      b < a + c

      ⇔ b + b < a + b + c

      ⇔ 2b < a + b + c

      ⇔ b < (a + b + c)/2

      c < a + b

      ⇔ c + c < a + b + c

      ⇔ 2c < a + b + c

      ⇔ c < (a + b + c)/2

Vậy trong một tam giác độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn nửa chu vi.

Ta có: ${\left(m+1\right)}^2$ $\ge$ 0

       ⇔ ${\left(m-1\right)}^2$ + 4m $\ge$ 4m

      ⇔ $m^2$ – 2m + 1 + 4m $\ge$ 4m

       ⇔ $m^2$ + 2m + 1 $\ge$ 4m

      ⇔ ${\left(m+1\right)}^2$ $\ge$ 4m

Ta có: ${\left(m-1\right)}^2$ $\ge$ 0; ${\left(n-1\right)}^2$ $\ge$ 0

       ⇒ ${\left(m-1\right)}^2$ + ${\left(n-1\right)}^2$ $\ge$ 0

       ⇔ $m^2$ – 2m + 1 +$n^2$ – 2n + 1 $\ge$ 0

       ⇔ $m^2$ + $n^2$ + 2 $\ge$ 2(m + n)

Ta có: ${\left(a-b\right)}^2$ $\ge$ 0

      ⇔ $a^2$ + $b^2$ – 2ab $\ge$ 0

      ⇔ $a^2$ + $b^2$ – 2ab + 2ab $\ge$ 2ab

      ⇔ $a^2$ + $b^2$ $\ge$ 2ab

Vì a $\ge$ 0, b $\ge$ 0 nên ab $\ge$ 0 ⇒ 1/ab ≥ 0

       ($a^2$ + $b^2$).1/ab $\ge$ 2ab.1/ab

       ⇔ a/b + b/a $\ge$ 2

       ⇔ 2 + a/b + b/a $\ge$ 2 + 2

       ⇔ 2 + a/b + b/a $\ge$ 4

       ⇔ 1 + 1 + a/b + b/a $\ge$ 4

      ⇔ a/a + b/b + a/b + b/a $\ge$ 4

      ⇔ a(1/a + 1/b ) + b(1/a + 1/b ) $\ge$ 4

      ⇔ (a + b)(1/a + 1/b ) $\ge$ 4

Chu vi hình vuông là 4.10 = 40 (m)

Suy ra, chu vi hình chữ nhật là 40(m)

Gọi x (m) là chiều rộng hình chữ nhật. Điều kiện: x < 20.

Khi đó chiều dài hình chữ nhật là 20 – x (m).

Diện tích hình chữ nhật là x(20 – x) ($m^2$).

Vậy ta cần chứng minh: ${10}^2$ $\ge$ x(20 – x)

Ta có: ${\left(10-x\right)}^2$$\ge$ 0

       ⇔ ${10}^2$ – 20x + $x^2$ $\ge$ 0

       ⇔ ${10}^2$ $\ge$ 20x – $x^2$

       ⇔ ${10}^2$ $\ge$ x(20 – x)

Vậy diện tích hình vuông cạnh 10m không nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật cùng chu vi.

Ta có: 3(x – 2)(x + 2) < 3$x^2$ + x

       ⇔ 3($x^2$ – 4) < 3$x^2$ + x

       ⇔ 3$x^2$ – 12 < 3$x^2$ + x

       ⇔ 3$x^2$ – 3$x^2$ – x < 12

       ⇔ -x < 12

       ⇔ x > -12

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x|x > -12}

Ta có: (x + 4)(5x – 1) > 5$x^2$ + 16x + 2

       ⇔ 5$x^2$ – x + 20x – 4 > 5$x^2$ + 16x + 2

       ⇔ 5$x^2$ – x + 20x – 5$x^2$ – 16x > 2 + 4

       ⇔ 3x > 6

       ⇔ x > 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x|x > 2}

Ta có:

⇔ 20$x^2$ – 12x + 15x + 5 < 20$x^2$ + 10x – 30

⇔ 20$x^2$ – 12x + 15x – 20$x^2$x – 10x < -30 – 5

⇔ -7x < -35

⇔ x > 5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x|x > 5}

Ta có:

⇔ 20x – 80 – 12$x^2$ – 6x > 4x – 12$x^2$ – 15x

⇔ 20x – 12$x^2$ – 6x – 4x + 12x2 + 15x > 80

⇔ 25x > 80

⇔ x > 3,2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x|x > 3,2}

Giá trị của biểu thức $\frac{2x-3}{35}+\frac{x\left(x-2\right)}{7}$ không lớn hơn giá trị của biểu thức $\frac{x^2}{7}-\frac{2x-3}{5}$ nghĩa là $\frac{2x-3}{35}+\frac{x\left(x-2\right)}{7}$ $\le$ $\frac{x^2}{7}-\frac{2x-3}{5}$

Ta có:

⇔ 2x – 3 + 5$x^2$ – 10x $\le$ 5$x^2$ – 14x + 21

⇔ 2x + 5$x^2$– 10x – 5$x^2$ + 14x $\le$ 21 + 3

⇔ 6x $\le$ 24

⇔ x $\le$ 4

Vậy với x $\le$ 4 thì giá trị của biểu thức $\frac{2x-3}{35}+\frac{x\left(x-2\right)}{7}$ không lớn hơn giá trị của biểu thức $\frac{x^2}{7}-\frac{2x-3}{5}$

Giá trị của biểu thức $\frac{6x+1}{18}+\frac{x+3}{12}$ không nhỏ hơn giá trị của biểu thức$\frac{5x+3}{6}+\frac{12-5x}{9}$ nghĩa là $\frac{6x+1}{18}+\frac{x+3}{12}$ $\ge$ $\frac{5x+3}{6}+\frac{12-5x}{9}$

Ta có:

⇔ 12x + 2 + 3x + 9 $\ge$ 30x + 18 + 48 – 20x

⇔ 12x + 3x – 30x + 20x $\ge$ 18 + 48 – 2 – 9

⇔ 5x $\ge$ 55

⇔ x $\ge$ 11

Vậy với x $\ge$ 11 thì giá trị của biểu thức $\frac{6x+1}{18}+\frac{x+3}{12}$ không nhỏ hơn giá trị của biểu thức$\frac{5x+3}{6}+\frac{12-5x}{9}$

Ta có: -$x^2$ < 0 ⇔ $x^2$ > 0

Mọi giá trị x $\ne$ 0 đều là nghiệm của bất phương trình.

Tập hợp các giá trị của x là {x ∈ R|x $\ne$ 0}

Trường hợp 1: x – 1 > 0 và x < 0

Ta có: x – 1 > 0 ⇔ x > 1 và x < 0

Điều này không xảy ra: loại.

Trường hợp 2: x – 1 < 0 và x > 0

Ta có: x – 1 < 0 ⇔ x < 1 và x > 0

Suy ra: 0 < x < 1

Vậy tập hợp các giá trị của x là {x|0 < x < 1}

Với $x^2$ > 0 thì mọi x khác 0 đều thỏa mãn bài toán.

Tập hợp các giá trị của x là {x ∈ R|x $\ne$ 0}

Trường hợp 1: x – 2 > 0 và x – 5 > 0

Ta có: x – 2 > 0 ⇔ x > 2

x – 5 > 0 ⇔ x > 5

Suy ra: x > 5

Trường hợp 2: x – 2 < 0 và x – 5 < 0

Ta có: x – 2 < 0 ⇔ x < 2

x – 5 < 0 ⇔ x < 5

Suy ra: x < 2

Vậy với x > 5 hoặc x < 2 thì (x – 2)(x – 5) > 0.

Trường hợp 1: x – 2 > 0 và x – 3 > 0

Ta có: x – 2 > 0 ⇔ x > 2

x – 3 > 0 ⇔ x > 3

Suy ra: x > 3

Trường hợp 2: x – 2 < 0 và x – 3 < 0

Ta có: x – 2 < 0 ⇔ x < 2

x – 3 < 0 ⇔ x < 3

Suy ra: x < 2

Vậy với x > 3 hoặc x < 2 thì $\frac{x-2}{x-3}>0?$

Trường hợp 1: x + 2 > 0 và x – 5 < 0

Ta có: x + 2 > 0 ⇔ x > -2

x – 5 < 0 ⇔ x < 5

Suy ra: -2 < x < 5

Trường hợp 2: x + 2 < 0 và x – 5 > 0

Ta có: x + 2 < 0 ⇔ x < -2

x – 5 > 0 ⇔ x > 5

Trường hợp trên không xảy ra.

Vậy với -2 < x < 5 thì (x + 2)/(x - 5) < 0.

Ta có: |2x + 3| = 2x + 3 khi 2x + 3 $\ge$ 0 ⇔ x$\ge$ -1,5

       |2x + 3| = -2x – 3 khi 2x + 3 < 0 ⇔ x < -1,5

Ta có: 2x + 3 = 2x + 2 ⇔ 0x = -1

Phương trình vô nghiệm.

       -2x – 3 = 2x + 2

       ⇔ -2x - 2x = 2 + 3

       ⇔ -4x = 5

       ⇔ x = -1,25

Giá trị x = -1,25 không thỏa mãn điều kiện x < -1,5 nên loại.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ta có: |5x – 3| = 5x – 3 khi 5x – 3 $\ge$ 0 ⇔ x $\ge$ 0,6

       |5x – 3| = 3 – 5x khi 5x – 3 < 0 ⇔ x < 0,6

Ta có: 5x – 3 = 5x – 5 ⇔ 0x = -2

Phương trình vô nghiệm.

       3 – 5x = 5x – 5

       ⇔ -5x – 5x = -5 – 3

       ⇔ -10x = -8

       ⇔ x = 0,8

Giá trị x = 0,8 không thỏa mãn điều kiện x < 0,6 nên loại.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ta biến đổi

Ta xét hai trường hợp:

1) x – 4 > 0 và x + 3 > 0

2) x – 4 < 0 và x + 3 < 0

Với trường hợp 1), ta xác định được x > 4

Với trường hợp 2), ta xác định được x < -3

Vậy với x > 4 hoặc x < -3 thì $\frac{2x-1}{x+3}>1$

Ta biến đổi:

Chia hai trường hợp tương tự như câu a ta xác định được x > 5 hoặc x < 2.