Một số phương trình quy về Bậc nhất hoặc bậc hai

Ta có:

5-2x=3x+3⇔[5-2x=3x+35-2x=-3x-3⇔[-5x=-2x=-8⇔[x=25x=-8

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: 25;-8.

 

Chọn C.

Trước hết phải chú ý điều kiện xác định của phương trình là x≠1.

Ta có: 2m+1x-mx-1=x+m

Suy ra: (2m + 1) x- m =  (x+ m). (x- 1)

⇔2mx+x-m=x2-x+mx-m

⇔x2-2x-mx=0⇔x2-2+mx=0

⇔xx-2+m=0⇔[x=0x=2+m

 Khi m = 2 thì hai nghiệm bằng nhau đều bằng 0.

Khi m = -1 thì x = 1 ( không thỏa mãn điều kiện) nên không phải là nghiệm.

Vì vậy các phương án A B, C sai. Đáp án là D.

Trước hết phải chú ý đến điều kiện xác định của phương trình (*) là x≥1.

Ta có: mx+1x-1=0

⇒[mx+1=0 (1)x-1=0 

* Xét x- 1 = 0⇔ x= 1.

* Xét mx +1= 0    (1)

+  Nếu m > 0  thì phương trình (1) có nghiệm x=-1m<0( không thỏa mãn điều kiện x) nên không là nghiệm của phương trình. Vậy phương án A sai.

 + Nếu m = -1 thì (1) trở thành:  -x + 1 = 0 nên x= 1.

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm trùng nhau: x= 1.

vậy phương án B sai.

+  Nếu m < -1 thì nghiệm của phương trình (1) là: x=-1m- số dương nhỏ hơn 1, không thỏa mãn điều kiện. Vậy phương án C sai.

+  Nếu -1 < m < 0 thì phương trình mx + 1 = 0 có nghiệm x=-1m lớn hơn 1, do vậy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt. Đáp án là D.

 

 

Chọn D.

Ta có:

5+2x=3x-2⇔[5+2x=3x-25+2x=-3x+2⇔[-x=-75x=-3⇔[x=7x=-35

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 7; x = -35

Ta có: 3x+1=x2+2x-3  (1)

* Trường hợp 1:  Nếu x≥-13thì 3x+1≥0⇒3x+1=3x+1

Do đó, phương  trình (1) trở thành:  3x + 1 =  x² + 2x – 3.

Hay -x² +  x+  4= 0 ⇔[x=1+172(tm)x=1-172(l)

* Trường hợp 2. Nếu x<-13thì 3x+1<0⇒3x+1=-3x-1

Do đó, phương  trình (1) trở thành:   - 3x - 1 =  x² + 2x – 3.

Hay – x² – 5x + 2 = 0 ⇔[x=-5+332(l)x=-5-332(tm)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là:  S=1+172;-5-332

4x+1=x2+2x-4

* * Trường hợp 1:  Nếu x≥-14thì 4x+1≥0⇒4x+1=4x+1

Do đó, phương  trình (1) trở thành:  4x + 1 =  x² + 2x – 4.

Hay -x² + 2x + 5= 0 ⇔[x=1+6   (tm)x=1-6  (l)

* Trường hợp 2. Nếu x<-14thì 4x+1<0⇒4x+1=-4x-1

Do đó, phương  trình (1) trở thành:   - 4x - 1 =  x² + 2x – 4.

Hay – x² – 6x + 3 = 0 ⇔[x=-3+23  (l)x=-3-23 (tm)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là:  S=1+6;-3-23.

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, được phương trình:

ax+22=ax+12⇔a2x2+4ax+4=a2x2+2ax+1⇔2ax+3=0

   Vì a≠0 nên 2ax + 3 = 0 là phương trình bậc nhất nên có nghiệm duy nhất.

 Vậy phương án B đúng.

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, được phương trình ax+b=-ax+b+1

ax+b=-ax+b+1⇔ax+b2=-ax+b+12⇔a2x2+2abx+b2=a2x2+b2+1-2abx-2ax+2b⇔4abx+2ax-2b-1=0⇔2ax2b+1-2b+1=0⇔2b+1.2ax-1=0   *

Vì b≠-12⇒2b+1≠0 nên phương trình (*) tương đương:  2ax -  1= 0, phương trình này có a≠0 nên đây  là phương trình bậc nhất nên có nghiệm duy nhất.

Phương trình *⇔[2mx-3x+1=m+1x-32mx-3x+1=-m+1x+3⇔[m-4x=-4  (a)3m-2x=2  (b)

·      m≠4 thì phương trình (a) có nghiệm duy nhất x=-4m-4;

·      m≠23 thì phương trình (b) có nghiệm duy nhất x=23m-2.

Phương trình (*) có hai nghiệm trùng nhau khi 

-4m-4=23m-2⇒-43m-2=2m-4⇔-12m+8=2m-8⇔-14m=-16⇔m=87

Vậy nếu   m≠4; m≠23; m≠87 thì phương  trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Từ đó thấy phương án D đúng.

Ta có: 

3x2+6x+3=2x+1⇔3x2+2x+1=2x+1⇔3x+12=2x+1⇔3.x+1=2x+1  (1)

Do vế trái luôn không âm nên điều kiện vế phải là 2x+1≥0 hay x≥-12 

Khi đó,  x+1=x+1 và phương trình (1) trở thành:

3x+1=2x+1⇔3-2x=1-3⇔x=1-33-2=1+3

Vậy phương  trình đã cho có nghiệm duy nhất: x=1+3

Chọn C.

Điều kiện:  x≠-1 

* Ta có: m-2x+3x+1=2m-1

Suy ra:  (m-2)x +  3= (2m - 1) ( x+ 1)

 

⇔(m-2) x+ 3 = (2m -1)x + 2m – 1

⇔(- m -1)x=2m-4  (1) 

* Với m= -1 thì phương trình trên trở thành : 0x + 6 = 0 vô lí

Do đó, phương trình vô nghiệm. 

* Với m≠-1 thì phương  trình (1) có nghiệm: x=2m-4-m-1

Vì điều kiện x≠-1 nên để nghiệm trên là nghiệm của phương trình đã cho thì:

2m-4-m-1≠-1⇒2m-4≠m+1⇔m≠5

Vậy khi m≠-1 và m≠5 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất.

Chọn B.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của y=x2-(m+1)x+1-m2 và trục hoành là:

x2-(m+1)x+1-m2=0

Để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(x1;0); Bx2;0 thì x1,x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình x² – (m+ 1)x + 1 - m² = 0.

* Vì gốc tọa độ ở giữa A và B, tức là x1 và x2 trái dấu, suy ra ca=1-m2<0⇔[m>1m<-1.

Từ đó loại các phương án A, B, C.

 Thay m = -3 vào phương trình y=x2-(m+1)x+1-m2 ta được : x² + 2x – 8 = 0 .

Phương trình này có 2 nghiệm là x₁ =2 và x₂ = -4  thỏa mãn đề bài.

Chọn D.

Trước hết phải xét điều kiện để phương trình x2-2m-1x+m2-3m+4=0 có nghiệm: ∆'=m-12-m2-3m+4=m-3>0 hay m > 3.

 Từ đó thấy ngay các phương án A, B, C đều sai.

Khi m = 4 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm .

  Áp dụng hệ thức Vi- et ta có:

x1+x2=2m-1=2.4-1=6x1.x2=m2-3m+4=42-3.4+4=8

Khi đó; x12+x22=x1+x22-2x1.x2=62-2.8=20

Ta có: Δ=4m−12−4.2.2m−1=4m−32≥0 với mọi m

Khi đó: 2x2+2x2−4m−1x2+2x+2m−1=0

⇔x2+2x=12  (1)x2+2x=2m−1  (2)

(1)⇔x2+2x−12=0⇔x=−2+62∉−3;0x=−2−62∈−3;0

Do đó (1) chỉ có 1 nghiệm thuộc −3;0

Để phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc đoạn −3;0 thì phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn −3;0 và hai nghiệm này phải khác −2−62

2⇔x+12=2m

Điều kiện 2m≥0⇔m≥0

+) Với m = 0 thì 

x+12=0⇔x + 1 =0⇔ x = -1∈-3;0

Khi đó, phương trình (2) có 1 nghiệm x = -1 nên không thỏa mãn.

+) Với m > 0 thì phường trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

Để phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác −2−62 và thuộc đoạn −3;0

⇔2m>0−2−62+12≠2m−3≤−1+2m≤0−3≤−1−2m≤0⇔m>0m≠34m≤12m≤2

Không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: Δ=4m−32−4.2.1−2m=4m−12

2x2+2x2−4m−3x2+2x+1−2m=0⇔x2+2x=-12  (1)x2+2x=2m−1  (2)

(1)⇔x2+2x+12=0⇔x=−2+22∈−3;0x=−2−22∈−3;0

Suy ra phương trình (1) có hai nghiệm thuộc đoạn -3;0

2⇔x+12=2m. Để phương trình đã cho có 2 nghiệm thuộc đoạn -3;0 khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm nhưng không thuộc đoạn -3;0 hoặc vô nghiệm.

Xét (2), nếu m<0 thì (2) vô nghiệm (thỏa mãn yêu cầu).

+) Nếu m=0 thì (2) có nghiệm duy nhất x=-1∈-3;0 (không thỏa yêu cầu).

+) Nếu m>0 thì (2) có hai nghiệm phân biệt x1=−1−2m<−1+2m=x2

Để (2) có hai nghiệm không thuộc -3;0 nếu

−1−2m<−3−1+2m>0⇔m>2m>12⇔m>2

Vậy m<0m>2

Mà m∈-2019;2019 và m∈Z nên m∈-2018;-2017;...;-1;3;4;...;2018

Số các giá trị của m thỏa mãn bài toán là 2018 + 2016 = 4034.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: ⇔x2x+5x+5+25x+5=11

⇔x2x+5.x2+10x+50x+5=11⇔x2x+5x2x+5+10=11

⇔x2x+52+10x2x+5−11=0⇔x2x+5=1x2x+5=−11

⇔x2−x−5=0x2+11x+55=0  (vn)⇔x=1−212≈−1,79x=1+212≈2,79

Đáp án cần chọn là: D

Điều kiện x≠0

Đặt t=x+1x suy ra

t2=x2+1x2+2≥2+2=4⇒t≥2  hay  t≤−2 hoặc t≥2

Phương trình đã cho trở thành t2−2mt−1+2m=0 với t≤-2 hoặc t≥2, 

Ta có: a = 1, b= -2m, c = -1+2m

⇒a+b+c = 1 - 2m - 1 + 2m = 0

Do đó phương trình này luôn có hai nghiệm là t1=1, t2=2m−1

Vì t1=1 không thỏa mãn điều kiện

Để phương trình có nghiệm thì : 2m−1≥22m−1≤−2⇔m≥32m≤−12

Đáp án cần chọn là: D

 

Ta có: x2+4x2−4x−2x+k−1=0

⇔x−2x2−4x−2x+k+3=0  (1)

Đặt t=x−2x   hay  x2−tx−2=0, phương trình trở thành t2−4t+k+3=0 (2)

Nhận xét: Với mỗi nghiệm t của phương trình (2) cho ta hai nghiệm trái dấu của phương trình (1)

Ta có :

∆'=4-k+3=1-k⇒ phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt t1=2−1−k,t2=2+1−k với k<1

+ Với t1=2−1−k thì phương trình x2−2−1−kx−2=0 có 1 nghiệm

x>1⇔a f(1)<0⇔12−2−1−k.1−2<0⇔k>−8

+ Với t2=2+1−k thì phương trình x2−2+1−kx−2=0 có 1 nghiệm

x>1⇔a f(1)<0⇔12−2+1−k.1−2<0⇔−3−1−k<0 (luôn đúng với k<1)

Vậy kết hợp điều kiện k<1 ta được -8<k<1

Đáp án cần chọn là: B

Đặt t=x2+2x+4=x+12+3≥3, phương trình trở thành

t2-2mt+4m-1=0 2

Nhận xét: Ứng với mỗi nghiệm t>3 của phương trình (2) cho ta hai nghiệm của phương trình (1). Do đó phương trình (1) có đúng hai nghiệm khi phương trình (2) có đúng một nghiệm t>3

⇔Δ'=0x=−b2a>3Δ'>0a f(3)<0⇔m2−4m+1=0m>3m2−4m+1>01.32−2m.3+4m−1<0TH1: m2−4m+1=0m>3m2−4m+1=0

⇔m=2+3( thỏa mãn)m=2-3(loại)          

TH2: m2-m+1>032-2m.3+4m-1<0⇔m>2+3 hoặc m<2-38-2m<0⇔m>2+3 hoặc m<2-3m>4⇔m>4

Vậy với m = 2+3 hoặc m>4 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm.

Đáp án cần chọn là: D