Một số phương trình quy về Bậc nhất hoặc bậc hai

Ta có: 

$$\begin{gathered} \sqrt{3x^2+6x+3}=2x+1\iff \sqrt{3\left(x^2+2x+1\right)}=2x+1 \\ \iff \sqrt{3{\left(x+1\right)}^2}=2x+1\iff \sqrt{3}.\left|x+1\right|=2x+1 \left(1\right) \end{gathered}$$

Do vế trái luôn không âm nên điều kiện vế phải là $2x+1\ge 0$ hay $x\ge \frac{-1}{2}$ 

Khi đó,  $\left|x+1\right|=x+1$ và phương trình (1) trở thành:

$$\begin{gathered} \sqrt{3}\left(x+1\right)=2x+1\iff \left(\sqrt{3}-2\right)x=1-\sqrt{3} \\ \iff x=\frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2}=1+\sqrt{3} \end{gathered}$$

Vậy phương  trình đã cho có nghiệm duy nhất: $x=1+\sqrt{3}$

Chọn C.

Điều kiện:  $x\ne -1$ 

* Ta có: $\frac{\left(m-2\right)x+3}{x+1}=2m-1$

Suy ra:  (m-2)x +  3= (2m - 1) ( x+ 1)

$\iff$(m-2) x+ 3 = (2m -1)x + 2m – 1

$\iff$(- m -1)x=2m-4  (1) 

* Với m= -1 thì phương trình trên trở thành : 0x + 6 = 0 vô lí

Do đó, phương trình vô nghiệm. 

* Với $m\ne -1$ thì phương  trình (1) có nghiệm: x=$\frac{2m-4}{-m-1}$

Vì điều kiện $x\ne -1$ nên để nghiệm trên là nghiệm của phương trình đã cho thì:

$\frac{2m-4}{-m-1}\ne -1\Rightarrow 2m-4\ne m+1\iff m\ne 5$

Vậy khi $m\ne -1$ và $m\ne 5$ thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất.

Chọn B.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $y=x^2-(m+1)x+1-m^2$ và trục hoành là:

$x^2-(m+1)x+1-m^2=0$

Để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A(x_1;0); B\left(x_2;0\right)$ thì $x_1,x_2$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình x² – (m+ 1)x + 1 - m² = 0.

* Vì gốc tọa độ ở giữa A và B, tức là $x_1$ và $x_2$ trái dấu, suy ra $\frac{c}{a}=1-m^2<0\iff [\begin{array}{l}m>1\\ m<-1\end{array}$.

Từ đó loại các phương án A, B, C.

 Thay m = -3 vào phương trình $y=x^2-(m+1)x+1-m^2$ ta được : x² + 2x – 8 = 0 .

Phương trình này có 2 nghiệm là x₁ =2 và x₂ = -4  thỏa mãn đề bài.

Chọn D.

Trước hết phải xét điều kiện để phương trình $x^2-2\left(m-1\right)x+m^2-3m+4=0$ có nghiệm: $∆\text{'}={\left(m-1\right)}^2-\left(m^2-3m+4\right)=m-3>0$ hay m > 3.

 Từ đó thấy ngay các phương án A, B, C đều sai.

Khi m = 4 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm .

  Áp dụng hệ thức Vi- et ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m-1\right)=2.\left(4-1\right)=6\\ x_1.x_2=m^2-3m+4=4^2-3.4+4=8\end{array}\right.$

Khi đó; ${x_1}^2+{x_2}^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1.x_2=6^2-2.8=20$

Ta có: $\Delta ={\left(4m-1\right)}^2-\mathrm{4.2.}\left(2m-1\right)={\left(4m-3\right)}^2\ge 0$ với mọi m

Khi đó: $2{\left(x^2+2x\right)}^2-\left(4m-1\right)\left(x^2+2x\right)+2m-1=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}{x}^2+2x=\frac{1}{2}\left(1\right)\\ x^2+2x=2m-1\left(2\right)\end{array}\right.$

$\left(1\right)\iff x^2+2x-\frac{1}{2}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{-2+\sqrt{6}}{2}\notin \left[-3;0\right]\\ x=\frac{-2-\sqrt{6}}{2}\in \left[-3;0\right]\end{array}\right.$

Do đó (1) chỉ có 1 nghiệm thuộc $\left[-3;0\right]$

Để phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc đoạn $\left[-3;0\right]$ thì phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[-3;0\right]$ và hai nghiệm này phải khác $\frac{-2-\sqrt{6}}{2}$

$\left(2\right)\iff {\left(x+1\right)}^2=2m$

Điều kiện $2m\ge 0\iff m\ge 0$

+) Với m = 0 thì 

$$\begin{gathered} {\left(x+1\right)}^2=0 \\ \iff x + 1 =0 \\ \iff x = -1\in \left[-3;0\right] \end{gathered}$$

Khi đó, phương trình (2) có 1 nghiệm x = -1 nên không thỏa mãn.

+) Với m > 0 thì phường trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

Để phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác $\frac{-2-\sqrt{6}}{2}$ và thuộc đoạn $\left[-3;0\right]$

$\iff \left\{\begin{array}{c}2m>0\\ {\left(\frac{-2-\sqrt{6}}{2}+1\right)}^2\ne 2m\\ -3\le -1+\sqrt{2m}\le 0\\ -3\le -1-\sqrt{2m}\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m>0\\ m\ne \frac{3}{4}\\ m\le \frac{1}{2}\\ m\le 2\end{array}\right.$

Không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: $\Delta ={\left(4m-3\right)}^2-\mathrm{4.2.}\left(1-2m\right)={\left(4m-1\right)}^2$

$2{\left(x^2+2x\right)}^2-\left(4m-3\right)\left(x^2+2x\right)+1-2m=0\iff \left[\begin{array}{c}{x}^2+2x=-\frac{1}{2}\left(1\right)\\ x^2+2x=2m-1\left(2\right)\end{array}\right.$

$\left(1\right)\iff x^2+2x+\frac{1}{2}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{-2+\sqrt{2}}{2}\in \left[-3;0\right]\\ x=\frac{-2-\sqrt{2}}{2}\in \left[-3;0\right]\end{array}\right.$

Suy ra phương trình (1) có hai nghiệm thuộc đoạn $\left[-3;0\right]$

$\left(2\right)\iff {\left(x+1\right)}^2=2m.$ Để phương trình đã cho có 2 nghiệm thuộc đoạn $\left[-3;0\right]$ khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm nhưng không thuộc đoạn $\left[-3;0\right]$ hoặc vô nghiệm.

Xét (2), nếu $m<0$ thì (2) vô nghiệm (thỏa mãn yêu cầu).

+) Nếu $m=0$ thì (2) có nghiệm duy nhất $x=-1\in \left[-3;0\right]$ (không thỏa yêu cầu).

+) Nếu $m>0$ thì (2) có hai nghiệm phân biệt $x_1=-1-2\sqrt{m}<-1+2\sqrt{m}=x_2$

Để (2) có hai nghiệm không thuộc $\left[-3;0\right]$ nếu

$\left\{\begin{array}{c}-1-\sqrt{2m}<-3\\ -1+\sqrt{2m}>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m>2\\ m>\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff m>2$

Vậy $\left[\begin{array}{c}m<0\\ m>2\end{array}\right.$

Mà $m\in \left(-2019;2019\right)$ và $m\in Z$ nên $m\in \left\{-2018;-2017;...;-1;3;4;...;2018\right\}$

Số các giá trị của m thỏa mãn bài toán là 2018 + 2016 = 4034.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: $\iff \frac{x^2}{x+5}\left(x+5+\frac{25}{x+5}\right)=11$

$\iff \frac{x^2}{x+5}.\frac{x^2+10x+50}{x+5}=11\iff \frac{x^2}{x+5}\left(\frac{x^2}{x+5}+10\right)=11$

$\iff {\left(\frac{x^2}{x+5}\right)}^2+10\frac{x^2}{x+5}-11=0\iff \left[\begin{array}{c}\frac{x^2}{x+5}=1\\ \frac{x^2}{x+5}=-11\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}{x}^2-x-5=0\\ x^2+11x+55=0\left(vn\right)\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{1-\sqrt{21}}{2}\approx -1,79\\ x=\frac{1+\sqrt{21}}{2}\approx 2,79\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: D

Điều kiện $x\ne 0$

Đặt $t=x+\frac{1}{x}$ suy ra

$t^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2\ge 2+2=4\Rightarrow \left|t\right|\ge 2hay\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}t}\le -2$ hoặc $t\ge 2$

Phương trình đã cho trở thành $t^2-2mt-1+2m=0$ với $t\le -2$ hoặc $t\ge 2$, 

Ta có: a = 1, b= -2m, c = -1+2m

$\Rightarrow$a+b+c = 1 - 2m - 1 + 2m = 0

Do đó phương trình này luôn có hai nghiệm là $t_1=1,t_2=2m-1$

Vì $t_1=1$ không thỏa mãn điều kiện

Để phương trình có nghiệm thì : $\left[\begin{array}{c}2m-1\ge 2\\ 2m-1\le -2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m\ge \frac{3}{2}\\ m\le -\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: $x^2+\frac{4}{x^2}-4\left(x-\frac{2}{x}\right)+k-1=0$

$\iff {\left(x-\frac{2}{x}\right)}^2-4\left(x-\frac{2}{x}\right)+k+3=0\left(1\right)$

Đặt $t=x-\frac{2}{x}hay{x}^2-tx-2=0$, phương trình trở thành $t^2-4t+k+3=0$ (2)

Nhận xét: Với mỗi nghiệm t của phương trình (2) cho ta hai nghiệm trái dấu của phương trình (1)

Ta có :

$∆\text{'}=4-\left(k+3\right)=1-k\Rightarrow$ phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt $t_1=2-\sqrt{1-k},t_2=2+\sqrt{1-k}$ với $k<1$

+ Với $t_1=2-\sqrt{1-k}$ thì phương trình $x^2-\left(2-\sqrt{1-k}\right)x-2=0$ có 1 nghiệm

$x>1\iff af\left(1\right)<0\iff 1^2-\left(2-\sqrt{1-k}\right).1-2<0\iff k>-8$

+ Với $t_2=2+\sqrt{1-k}$ thì phương trình $x^2-\left(2+\sqrt{1-k}\right)x-2=0$ có 1 nghiệm

$x>1\iff af\left(1\right)<0\iff 1^2-\left(2+\sqrt{1-k}\right).1-2<0$$\iff -3-\sqrt{1-k}<0$ (luôn đúng với $k<1$)

Vậy kết hợp điều kiện $k<1$ ta được $-8<k<1$

Đáp án cần chọn là: B

Đặt $t=x^2+2x+4={\left(x+1\right)}^2+3\ge 3$, phương trình trở thành

$t^2-2mt+4m-1=0 \left(2\right)$

Nhận xét: Ứng với mỗi nghiệm $t>3$ của phương trình (2) cho ta hai nghiệm của phương trình (1). Do đó phương trình (1) có đúng hai nghiệm khi phương trình (2) có đúng một nghiệm $t>3$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}=0\\ x=-\frac{b}{2a}>3\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}>0\\ af\left(3\right)<0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}{m}^2-4m+1=0\\ m>3\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}{m}^2-4m+1>0\\ 1.\left(3^2-2m.3+4m-1\right)<0\end{array}\right.\end{array}\right. \\ TH1: \left\{\begin{array}{c}{m}^2-4m+1=0\\ m>3\end{array}\right. \\ {m}^2-4m+1=0 \end{gathered}$$

$\iff \left[\begin{array}{c}m=2+\sqrt{3}( thỏa mãn)\\ m=2-\sqrt{3}\left(loại\right) \end{array}\right.$

TH2: $\left\{\begin{array}{l}{m}^2-m+1>0\\ 3^2-2m.3+4m-1<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>2+\sqrt{3} hoặc m<2-\sqrt{3}\\ 8-2m<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>2+\sqrt{3} hoặc m<2-\sqrt{3}\\ m>4\end{array}\right.\iff m>4$

Vậy với $m = 2+\sqrt{3}$ hoặc m>4 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm.

Đáp án cần chọn là: D