Hệ phương trình bậc hai hai ẩn

Xét hệ phương trình 2x+y=11x2+2y2+xy=162

Dùng phương pháp thế để giải phương trình.

Từ phương trình (1)suy ra :y= 1- 2x thế vào phương trình (2) ta được :

x2 + 2.(1- 2x)2 + x.(1- 2x) = 16

⇔x2+2.1-4x+4x2+x-2x2=16⇔x2+2-8x+8x2+x-2x2=16⇔7x2-7x-14=0⇔[x=-1x=2

Với x= -1 thì y = 3.

Với x= 2 thì y = -3.

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là: (-1;3) và (2; -3)

Chọn C.

Dùng phương pháp thế để giải hệ phương trình.

Từ phương trình đầu, suy ra :  y = 9 –x thế vào (2) ta được :

 x2 +  (9- x)2 =  41

⇔x2+81-18x+x2=41⇔2x2-18x+40=0⇔[x=4x=5

Với x= 4 thì y = 5.

Với x= 5 thì y = 4.

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là ( 4; 5) và (5; 4).

Chọn C.

Dùng phương pháp thế để giải hệ phương trình.

Từ phương trình đầu, suy ra:  x = 7- 2y thế vào phương trình (2) ta được:

( 7 – 2y)² + y² – 2(7- 2y).y = 1

⇔49-28y+4y2+y2-14y+4y2=1⇔9y2-42y+48=0⇔[y=83y=2

Với y=83⇒x=53

Với y = 2 thì x = 3.

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm: 53;83 và 3;2

t2

Ta có:  x+y+xy=-13x2+y2-x-y=32⇔x+y+xy=-13(x+y)2-2xy-(x+y)=32

Đặt S = x+ y; P = xy . Khi đó, hệ phương trình trên trở thành:

S+P=-13      (1)S2-2P-S=32 (2)

Từ (1) suy ra: P = -S – 13 thay vào (2) ta được:

S2 – 2(-S – 13) – S =  32

⇔S2+2S+26-S-32=0⇔S2+S-6=0⇔[S=2S=-3

 * Với S = 2 thì P = -15 . Khi đó , x và y là nghiệm phương trình:

    t2  - 2t – 15 = 0⇔[t=5t=-3

* Với S = -3 thì P =  -10. Khi đó, x và y là nghiệm phương trình:

   t2 + 3t – 10 =0⇔[t=2t=-5

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm ( 5; -3); (-3; 5); (2; -5); (-5; 2).

Chọn D.

Từ phương trình đầu suy ra:  x = y + 2 thay vào phương trình (2) ta được:

(y+ 2)2 + y2 = 164 

⇔y2+4y+4+y2=164⇔2y2+4y-160=0⇔[y=8y=-10

Với y = 8 thì x =  10

Với y = -10 thì x= - 8.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (10; 8);  (-8; -10).

Chọn D.

Từ phương  trình đầu suy ra:  x = y + 1 thay vào phương  trình (2)  ta được:

(y+ 1)3 – y3 = 7 hay y3 + 3y2 +  3y + 1 – y3 – 7 = 0

⇔3y2+3y-6=0⇔[y=1y=-2

Với y = 1 thì x = 2.

Với y = -2 thì x = -1.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:  (2; 1) và ( -1; -2).

Chọn C.

Đặt a=x; b=y; a;b≥0 ⇒a2=x2; b2=y2

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: a+b=3       (1)2(a2+b2)=9  (2)

Từ (1) suy ra:  b = 3 - a thay vào (2) ta được:

2.a2+3-a2=9⇔22a2-6a+9=9⇔4a2-12a+9=0⇔a=32

Với a=32⇒b=32.

Khi đó;  x=32; y=32⇒x=±32; y=±32

Suy ra, hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:

32;32; 32;-32; -32;32; -32;-32

Chọn C.

x3=3x+8y  (1)y3=3y+8x  (2)

Lấy (1) trừ (2) vế trừ vế ta được:;

x3-y3=3x+8y-3y+8x⇔x-y.x2+xy+y2=-5x+5y⇔x-y.x2+xy+y2+5x-5y=0⇔x-y.x2+xy+y2+5x-y=0⇔x-yx2+xy+y2+5=0⇔[x-y=0x2+xy+y2+5=0

* Nếu x- y = 0 hai  x = y thay vào (1)ta được: x3 = 3x + 8x

⇔x3=11x⇔x3-11x=0⇔[x=0⇒y=0x=11⇒y=11x=-11⇒y=-11

*Nếu x2+xy+y2+5=0⇔x2+2.12y+y24+3y24+5=0

⇔x+y22+3y24+5=0  (vô lí).

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: 0;0, 11;11; -11;-11 

Chọn C.

*  Ta thấy hệ phương trình đã cho nhận (0; 0) làm nghiệm với mọi giá trị của m.

* Với m = - 2 thì hệ phương trình đã cho trở thành: 

x2=2x-2y (1)y2=2y-2x (2)

Lấy (1) trừ (2) vế trừ vế ta được:

x2 – y2 = 2x -  2y– (2y - 2x)

⇔x2-y2=4x-4y

⇔(x- y).(x+ y) = 4(x- y)

⇔x-y.x+y-4=0

+ Với x-y=0⇔x=y thay vào (1) ta được:

x2=2x-2x⇔x2=0⇔x=0

Suy ra y=0

+ Với x+ y = 4 ⇒y=4-x thay (1) ta được:

x2=2x-24-x⇔x2-4x+8=0 (vô nghiệm)

Vậy với m= -2 thì hệ phương trình có 1 nghiệm là (0;0) .

* Khi m = 1 hệ trở thành x2=2x+y (3)y2=2y+x (4) 

trừ vế với vế ta có x2 – y2 =  x – y

⇔x-y.x+y-x-y=0⇔x-y.x+y-1=0⇔[x=yx+y-1=0

 *  Nếu x = y thay vào (3) ta được:  x2 = 2x + x

⇔x2=3x⇔[x=0⇒y=0x=3⇒y=3

* Nếu x+  y -1=0 hay y = 1- x thế vào (3) ta được:

X2 = 2x + 1 – x hay x2 – x - 1 = 0

⇔[x=1+52⇒y=1-52x=1-52⇒y=1+52

Vậy khi m = 1 thì hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

Chọn B.

Ta có: D=2m+11m2−1=−2m−1−m2=−m+12

Dx=2m−21m2−3m−1

=−2m+2−m2+3m=−m2+m+2=m+12−m

Dy=2m+12m−2m2m2−3m=2m+1m2−3m−m22m−2

=−3m2−3m=−3mm+1

Nếu m≠−1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

x=DxD=m−2m+1=1−3m+1y=DyD=3mm+1=3−3m+1

Để x, y∈Z suy ra 3m+1∈Z, m+1∈U,(3)=±1;±3

Vậy có 4 giá trị của m thoả mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: D=m−13m=m2+3; Dx=2−15m=2m+5; Dy=m235=5m−6

Vì m2+3≠0, ∀m nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất x=DxD=2m+5m2+3y=DyD=5m−6m2+3

Theo giả thiết, ta có:

x+y<1⇔2m+5m2+3+5m−6m2+3<1⇔7m−1m2+3<1

⇔7m−1<m2+3⇔m2−7m+4>0⇔m>7+332m<7−332

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

D=m2m1−m1=m−2m+2m2=2m2−m

Dx=−102m101=−10−20m

Dy=m−101−m10=10m+10−10m=10

Nếu D=0⇔2m2−m=0⇔m=0m=12

Với m=0⇒Dx≠0 nên hệ vô nghiệm

Với m=12⇒Dx≠0 nên hệ vô nghiệm

Vậy với m=0m=12thì hệ phương trình vô nghiệm

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:

D=m−23m=m2+6; Dx=3−24m=3m+8; Dy=m334=4m−9

Vì m2+6≠0, ∀m nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất x=DxD=3m+8m2+6y=DyD=4m−9m2+6

Theo giả thiết, ta có:

x>0y<0⇔3m+8m2+6>04m−9m2+6<0⇔3m+8>04m−9<0⇔m>−83m<94

⇔−83<m<94

Vì m ∈ Z nên m ∈ {−2; −1; 0; 1; 2}

Đáp án cần chọn là: B