Hàm số

Công thức $\left|y\right|=5x$, ứng với x > 0 tìm được hai giá trị của y là y = 5x và y = -5x nên $\left|y\right|=5x$ không phải là hàm số.

Vậy đáp án đúng là D.

Nhận thấy $y=\sqrt{x-2}+\frac{1}{\sqrt{x+2}}$ có nghĩa khi $\left\{\begin{array}{l}x-2\ge 0\\ x+2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ x>-2\end{array}\right.\iff x\ge 2$.

Do đó tập xác định của hàm số đã cho là $[2;+\infty )$.

Vậy đáp án là D.

Ta có $y=f\left(x\right)=\sqrt{{(x-\sqrt{5})}^2}=\left|x-\sqrt{5}\right|$ nên

$f\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)=\left|\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{5}\right|=\left|-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}$.

Vậy đáp án là C.

Nhận xét: Học sinh có thể mắc sai lầm khi tính $y=f\left(x\right)=x-\sqrt{5}$, từ đó dẫn đến việc tính $f\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)=-\sqrt{3}$ và chọn D. Hoặc tính nhầm thành $y=f\left(x\right)=x+\sqrt{5}$ sẽ dẫn đến $f\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)=2\sqrt{5}-\sqrt{3}$, từ đó chọn A. Hoặc cũng có thể tính thành $y=f\left(x\right)=-(x+\sqrt{5})$, dẫn đến $f\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)=-2\sqrt{5}+\sqrt{3}$. Đáp án là B.

Tập xác định của hàm số f(x)và g(x) đều là $\mathrm{ℝ}$.

Với $x\in \mathrm{ℝ}$ thì $-x\in \mathrm{ℝ}$ và ta có: $f\left(-x\right)=-\left|-x\right|=-\left|x\right|=f\left(x\right)$;

$g\left(-x\right)=\left|-x+1\right|-\left|-x-1\right|=\left|x-1\right|-\left|x+1\right|=-g\left(x\right)$.

Vậy f(x)là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ. Đáp án là D.

 Với $x_1\ne x_2$ ta có:

$$\begin{gathered} \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{\left(-{x_2}^2+4x_2-2\right)-\left(-{x_1}^2+4x_1-2\right)}{x_2-x_1} \\ =\frac{-\left({x_2}^2-{x_1}^2\right)+4(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=-\left(x_2+x_1\right)+4 \end{gathered}$$.

·     Với $x_1,x_2\in \left(-\infty ;2\right)$ thì x₁ < 2; x₂ <2 nên $x_1+x_2<4\Rightarrow -\left(x_1+x_2\right)+4>0$ nên f(x) đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;2\right)$.

·         ·     Với $x_1,x_2\in \left(2;+\infty \right)$ thì x₁>2; x₂ >2 nên $x_1+x_2>4\Rightarrow -\left(x_1+x_2\right)+4<0$ nên f(x) nghịch biến trên khoảng  $\left(2;+\infty \right)$.

Vậy đáp án là A.

Nhận xét: Với 4 phương án trả lời cho ta biết f(x) đồng biến hoặc nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ;2\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

 Vì vậy, ta lấy hai giá trị bất kì $x_1<x_2$ thuộc mỗi khoảng rồi so sánh $f\left(x_1\right)$ và $f\left(x_2\right)$. Chẳng hạn $x_1=0;x_2=1$ có $f\left(0\right)=-2$ ;$f\left(1\right)=1$ nên $f\left(0\right)<f\left(1\right)$, suy ra f(x) đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;2\right)$.

Đáp án B

Điều  kiện xác định của hàm số : $\left\{\begin{array}{l}x+1\ge 0\\ 2-x\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge -1\\ x\le 2\end{array}\right.\iff -1\le x\le 2$

Do đó, tập xác định của hàm số $y=\sqrt{x+1}+3\sqrt{2-x}$ là:D=[-1; 2].

Điều kiện xác định của hàm số:

$\left\{\begin{array}{l}2x+1\ge 0\\ 3\left|x\right|-1\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge -\frac{1}{2}\\ \left|x\right|\ne \frac{1}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge -\frac{1}{2}\\ x\ne \pm \frac{1}{3}\end{array}\right.$

Suy ra,tập xác định của hàm số $y=\sqrt{2x+1}+\frac{1}{3\left|x\right|-1}$ là: $D=[-\frac{1}{2};+\infty )\backslash \left\{-\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right\}$

Ta có: f(-1) = 3.(-1) = -3

               f(-2)= 3.(-2) = -6

     f(2) = 2² + 2 = 6

     f(0) = 0² + 2 = 2

  Chọn  C

Hàm số $f\left(x\right)=\frac{x}{x-m}$ xác định khi $x\ne m$.

Do đó, để hàm số đã cho xác định trên khoảng (0 ; 5) thì $m\notin \left(0;5\right)$. Do đó $m\le 0$ hoặc $m\ge 5$.

Tập xác định của hàm số là $D=\mathrm{ℝ}\backslash \left\{1\right\}$.

Nhận thấy số 1 thuộc các khoảng $\left(-\frac{1}{2};+\infty \right);\left(-\infty ;2\right);\left(-1;\frac{3}{2}\right)$ nên các đáp án B, C, D đều sai.

Tập xác định :  D=  R\ {-2}.

  Lấy $x_1\ne x_2$, khi đó ta có:

$$\begin{gathered} \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{{\displaystyle \frac{m}{x_2+2}}-{\displaystyle \frac{m}{x_1+2}}}{x_2-x_1}=\frac{{\displaystyle \frac{m\left(x_1+2\right)-m\left(x_2+2\right)}{\left(x_2+2\right).\left(x_1+2\right)}}}{x_2-x_1} \\ =\frac{m\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_2+2\right)\left(x_1+2\right)\left(x_2-x_1\right)}=\frac{-m}{\left(x_2+2\right)\left(x_1+2\right)} \end{gathered}$$

Với $x_1;x_2$ thuộc $\left(-2;+\infty \right)$ hoặc cùng thuộc $\left(-\infty ;-2\right)$ thì $\left(x_1+2\right)\left(x_2+2\right)>0$

Vì vậy f(x) nghịch biến khi $\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}<0\iff -m<0\iff m>0$.

Đáp án B

Xét hàm số y = x³ +x

Tập xác định :  D= R

$\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$

Ta có: f(-x) = (-x)³ + (- x) = -x³ – x = - f(x)

Do đó, hàm số y= x³ + x là hàm số lẻ.

* Hàm số $y=\frac{2x+3}{x-1}$ có điều kiện là: $x\ne 1$nên tập xác định:  D= R\{1}.

* Hàm số $y=\frac{2x+3}{\sqrt{4x-8}}$ có điều kiện: 4x – 8 > 0 hay x> 2 nên tập xác định $D=\left(2;+\infty \right)$.

* Hàm số $y=\frac{10x-20}{\sqrt{x^2+1}}$ có điều kiện x² + 1 >0  ( luôn đúng với mọi x vì $x^2\ge 0$) nên tập xác định của hàm số này là D=  R.

* Hàm số $y=\left|2x+4\right|+\sqrt{x^2-16}$ có điều kiện là: $x^2-16\ge 0\iff \left(x+4\right)\left(x-4\right)\ge 0\iff [\begin{array}{l}x\le -4\\ x\ge 4\end{array}$

nên tập xác định là: $(-\infty ;-4]\cup [4;+\infty )$

Vì đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng nên phương án C đúng.

Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng nên phương án B đúng.

Thay tọa độ từng điểm vào công thức hàm số, nếu được đẳng thức đúng thì điểm đó thuộc đồ thị.

* Với điểm M (-1;5), ta thay x = -1; y = 5 vào công thức $y=x^2-2x+5$, nhận thấy

 $5\ne {(-1)}^2-2.\left(-1\right)+5$ nên M không thuộc đồ thị hàm số.

* Với N (1; 4) ta được:

4=  1² – 2.1 + 5 nên điểm N thuộc đồ thị hàm số.

* Với P(2; 0) ta được:

$0\ne 2^2-2.2+5$ nên điểm P không  thuộc đồ thị hàm số.

* Với điểm Q(3; 1) ta được:

$1\ne 3^2-2.3+5$ nên điểm Q không thuộc đồ thị hàm số.

Quan sát đồ thị, theo chiều từ trái sang phải; nếu đồ thị đi lên (hoặc đi xuống) trong khoảng nào đó thì hàm số sẽ đồng biến (hoặc nghịch biến) trong khoảng này.

Ta thấy: 

+ Trên khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ đồ thị hàm số đi xuống nên hàm số nghịch biến.

+ Trên khoảng ( -1; 1) thì giá  trị của hàm số không đổi y = 1 nên hàm số không đồng biến, không nghịch biến.

+ Trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$đồ thị hàm số đi lên nên hàm số đồng biến.

Tập xác định của hàm số $y=\frac{1}{x+3}$ là $D=\mathrm{ℝ}\backslash \left\{-3\right\}$.

Nhận thấy 3$\in$ D, nhưng -3$\notin$D.

 Vậy hàm số $y=\frac{1}{x+3}$ không chẵn và không lẻ.