180 câu Trắc nghiệm Toán 10 Bài 2: Hàm số và phương trình bậc 2 có đáp án

Hàm số $y=\sqrt{9-3\left|x\right|}+\frac{x}{\sqrt{9x{}_2-1}}$  xác định khi: 

$\left\{\begin{array}{l}9-3\left|x\right|\ge 0\\ 9x^2-1>0\end{array}\right.\iff \frac{1}{3}<x\le 3\Rightarrow D_1=\left[\frac{1}{3},3\right)$

Hàm số $y=\frac{\sqrt{x+2}}{x\left|x\right|+4}$  xác định khi:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x+2\ge 0\\ x\left|x\right|+4>0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}-2\le x\le 0\\ -x^2+4\ne 0\end{array}\right.\Rightarrow -2<x\le 0\\ \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x^2+4\ne 0\end{array}\right.\Rightarrow x>0\end{array}\right.\\ \Rightarrow D_2=\left(-2;+\infty \right)\end{array}$

$A=\mathbb{Z}\cap (D_1\cap D_2)=\left\{-1;1;2;3\right\}$

Vậy tập hợp A gồm 4 phần tử.

Chọn A

Hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x+2m-1}+\sqrt{4-2m-\frac{x}{2}}$  xác định khi:

$\left\{\begin{array}{l}x\ge 1-2m\\ x\le 8-4m\end{array}\right.$

Hàm số xác định trên [0; 2] nên $1-2m\le 0\le 2\le 8-4m\iff \frac{1}{2}\le m\le \frac{3}{2}\Rightarrow m\in \left[\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]\Rightarrow a+b=2$

Xét phương trình hoành độ giao điểm: 

$x^2-2mx+m^2+m=x\iff \left[\begin{array}{l}x=m\\ x=m+1\end{array}\right.$

*TH1:

$\begin{array}{l}A(m;m)\Rightarrow A_1(m;0);A_2(0;m)\\ B(m+1;m+1)\Rightarrow B_1(m+1;0);B_2(0;m+1)\end{array}$

Khi đó $S_{O{B}_1{B}_2}=4S_{O{A}_1{A}_2}\iff \frac{1}{2}{(m+1)}^2=4.\frac{1}{2}.m^2\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=\frac{-1}{3}\end{array}\right.$

*TH2:

$\begin{array}{l}B(m;m)\Rightarrow B_1(m;0);B_2(0;m)\\ A(m+1;m+1)\Rightarrow A_1(m+1;0);A_2(0;m+1)\end{array}$

Khi đó $S_{O{B}_1{B}_2}=4S_{O{A}_1{A}_2}\iff \frac{1}{2}{m}^2=4.\frac{1}{2}{(m+1)}^2\iff \left[\begin{array}{l}m=-2\\ m=\frac{-2}{3}\end{array}\right.$

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hàm số có TXĐ là R  khi và chỉ khi 

$f\left(x\right)=\left(m-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x+4>0,\forall x\in ℝ$

Với m = 1, ta có f(x) = 4 > 0, mọi x thuộc R  . Do đó m = 1 thỏa mãn

Với $m\ne 1,f\left(x\right)>0,\forall x\in ℝ\iff \left\{\begin{array}{l}m>1\\ {\left(m-1\right)}^2-4\left(m-1\right)<0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m>1\\ \left(m-1\right)\left(m-5\right)<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>1\\ 1<m<5\end{array}\right.\iff 1<m<5$

Vậy có 4 số nguyên $m\in \text{{1,2,3,4}}$  thỏa mãn hàm số có TXĐ là R  .

+ Hàm số xác định trên  $\left[-3;-1\right]$ khi  và chỉ khi $f\left(x\right)=\left(m+1\right)x+2m+3\ge 0,\forall x\in \left[-3;-1\right]$ .

+ Nhận xét: Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  trên $\left[-3;-1\right]$ là đoạn thẳng AB  với $A\left(-3;-m\right),B\left(-1;m+2\right)$ .

Do đó $f\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left[-3;-1\right]$  khi và chỉ khi đoạn AB không có điểm nào nằm phía dưới trục hoành $\iff \left\{\begin{array}{l}-m\ge 0\\ m+2\ge 0\end{array}\right.\iff -2\le m\le 0$ .

Vậy có 3  giá trị nguyên của là $m\in \left\{-2;-1;0\right\}$ .

*Gọi là D tập xác định của hàm số $y=\frac{2\sqrt{x-2m+3}}{3\left(x-m\right)}+\frac{x-2}{\sqrt{-x+m+5}}$ .

* $x\in \text{D⇔}\left\{\begin{array}{l}x-2m+3\ge 0\\ x-m\cancel{=}0\\ -x+m+5>0\end{array}\right.\text{⇔}\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 2m-3\\ x\cancel{=}m\\ x<m+5\end{array}\right.$ .

*Hàm số $y=\frac{\sqrt{x-2m+3}}{x-m}+\frac{3x-1}{\sqrt{-x+m+5}}$ xác định trên khoảng $\left(0;1\right)$

$\iff \left(0;1\right)\subset D\iff \iff \left\{\begin{array}{l}2m-3\le 0\\ m+5\ge 1\\ m\notin \left(0;1\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\le \frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 2}}\\ m\ge -4\\ \left[\begin{array}{l}m\ge 1\\ m\le 0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff m\in \left[-4;0\right]\cup \left[1;\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 2}}\right]$

Điều kiện xác định của hàm số là $\left\{\begin{array}{l}16-x^2\ge 0\\ 2017x+2018m\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-4\le x\le 4\\ x\ge -\frac{2018m}{2017}\end{array}\right.$

Tập xác định của hàm số chỉ có đúng một phần tử $\iff \left[-4;4\right]\cap \left[-\frac{2018m}{2017};+\infty \right)$  chỉ có đúng một phần tử $\iff \frac{-2018m}{2017}=4\iff m=\frac{-4034}{1009}$

Nên $a+b=-3025$ .

Gọi là tập xác định của hàm số $y=\frac{\sqrt{x-4m+3}}{x-2m}+\frac{3x-1}{\sqrt{5+2m-x}}$ .

$x\in D\iff \left\{\begin{array}{l}x-4m+3\ge 0\\ x-2m\cancel{=}0\\ 5+2m-x>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 4m-3\\ x\cancel{=}2m\\ x<2m+5\end{array}\right.$.

Hàm số $y=\frac{\sqrt{x-4m+3}}{x-2m}+\frac{3x-1}{\sqrt{5+2m-x}}$ xác định trên khoảng $\left(0;1\right)$

Điều kiện xác định của hàm số là: $\left\{\begin{array}{l}x+m\ge 0\\ 2x-m+1\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge -m\\ x\ne \frac{m+1}{2}\end{array}\right.$

Hàm số xác định trên $\left(1;2\right)\cup \left[4;+\infty \right)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}-m\le 1\\ \left[\begin{array}{l}\frac{m-1}{2}\le 1\\ 2\le \frac{m-1}{2}<4\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ge -1\\ \left[\begin{array}{l}m\le 3\\ 5\le m<9\end{array}\right.\iff m\in \left[-1;3\right]\cup \left[5;9\right)\end{array}\right.$

mà là các số nguyên dương $\Rightarrow m\in \left\{0;1;2;3;5;6;7;8\right\}$.

+) Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{f\left(x\right)-2m+2}}$  xác định là R  khi và chỉ khi :

$f\left(x\right)-2m+2>0,\forall x\in ℝ$.

$\iff 2m-2<\underset{ℝ}{\min }f\left(x\right)$

Từ đò thị hàm số ta có $\underset{ℝ}{\min }f\left(x\right)=-4$

$\Rightarrow 2m-2<-4\Rightarrow m<-1$

Vậy giái trị nguyên lớn nhất của là : $m=-2$.

Điều kiện xác định: $\left\{\begin{array}{l}x\ge m\\ x\ge \frac{m+1}{2}\end{array}\right.\iff x\in \left[m;+\infty \right)\cap \left[\frac{m+1}{2};+\infty \right)$

Hàm số xác định $\forall x\in \left(0;+\infty \right)\iff \left\{\begin{array}{l}m\le 0\\ \frac{m+1}{2}\le 0\end{array}\right.\iff m\le -1$

Vậy có 2018 giá trị nguyên của m cần tìm.

Điều kiện xác định: $\left\{\begin{array}{l}x\ge m\\ x\ge \frac{m+1}{2}\end{array}\right.\iff x\in \left[m;+\infty \right)\cap \left[\frac{m+1}{2};+\infty \right)$

+ Nếu $m\le 1\Rightarrow \left[m;+\infty \right)\cap \left[\frac{m+1}{2};+\infty \right)=\left[\frac{m+1}{2};+\infty \right)$

Hàm số xác định $\forall x\in \left(0;+\infty \right)\iff \left(0;+\infty \right)\subset \left[\frac{m+1}{2};+\infty \right)\iff \left\{\begin{array}{l}m\le 1\\ \frac{m+1}{2}\le 0\end{array}\right.\iff m\le -1$

+ Nếu $m>1\Rightarrow \left[m;+\infty \right)\cap \left[\frac{m+1}{2};+\infty \right)=\left[m;+\infty \right)$

Hàm số xác định $\forall x\in \left(0;+\infty \right)\iff \left(0;+\infty \right)\subset \left[m;+\infty \right)\iff \left\{\begin{array}{l}m>1\\ m\le 0\end{array}\right.\Rightarrow m\in \varnothing$

Vậy $m\le -1$ . 

Để hàm số xác định trên R  thì $\left\{\begin{array}{c}{x}^2+2mx+2018m+2019>0\forall x\in ℝ\\ m{x}^2+2mx+2020\ge 0\forall x\in ℝ\end{array}\right.$

+) Nếu m=0   ta thấy $y=\frac{4}{\sqrt{x^2+2019}}+\sqrt{2020}$  luôn xác định trên R

Vậy m=0  thỏa mãn yêu cầu đề bài (1)

+) Nếu $m\ne 0$  để hàm số xác định trên R thì $\left\{\begin{array}{c}{m}^2-2018m-2019<0\\ m>0\\ m^2-2020m\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}-1<m<2019\\ m>0\\ 0\le m\le 2020\end{array}\right.$

$\iff 0<m<2019$(2)

Kết hợp (1)(2) ta được $0\le m<2019$ thỏa mãn

Vậy ta có 2019 số nguyên để hàm số xác định trên R

Hàm số đã cho có tập xác định là R$\iff x^4-x^2+1+mx\sqrt{2x^4+2}\ge 0,\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff 2{\left(\sqrt{x^4+1}\right)}^2+2m\left(\sqrt{2}x\right)\sqrt{x^4+1}-{\left(\sqrt{2}x\right)}^2\ge 0,\forall x\in ℝ\\ \iff 2+2m\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{x^4+1}}-{\left(\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{x^4+1}}\right)}^2\ge 0,\forall x\in ℝ\\ \iff {\left(\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{x^4+1}}\right)}^2-2m\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{x^4+1}}-2\le 0,\forall x\in ℝ\left(1\right)\end{array}$

Đặt  $t=\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{x^4+1}}$ thì  $\left|t\right|=\frac{\left|\sqrt{2}x\right|}{\sqrt{x^4+1}}=\sqrt{\frac{2x^2}{x^4+1}}\le 1,$ đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x^2=1.$

(1) trở thành $\boxed{t^2-2mt-2\le 0,\forall t\in \left[-1;1\right]\left(2\right)}$

Xét hàm số  $f\left(t\right)=t^2-2mt-2.$ Đây là hàm số bậc hai có hệ số $a=1>0$ nên

$\left(2\right)\iff \left\{\begin{array}{l}f(-1)\le 0\\ f\left(1\right)\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2m-1\le 0\\ 2m+1\le 0\end{array}\right.\iff \boxed{-\frac{1}{2}\le m\le \frac{1}{2}}.$

Điều kiện xác định: $\left\{\begin{array}{l}x\ge m-2\\ x<1-2m\end{array}\right.\iff x\in \left(-\infty ;1-2m\right)\cap \left[m-2;+\infty \right)$

Hàm số xác định trên $\left[0;1\right)$ .$\iff \left\{\begin{array}{l}m-2<1-2m\\ m-2\le 0\\ 1-2m\ge 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<1\\ m\le 2\\ m\le 0\end{array}\right.\iff m\le 0$

Vậy 2019 có giá trị m  nguyên thỏa YCBT.

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}2x-3k+4\ge 0\\ x+k-1\ne 0\end{array}\right.$ .

Hàm số xác định trên khoảng $\left(0;+\infty \right)\iff \left\{\begin{array}{l}-k+1\le 0\\ \frac{3k-4}{2}\le 0\end{array}\right.\iff k\in \left[1;\frac{4}{3}\right].$

Phương trình có dạng $x^2-4\left|x\right|+3=m+1$ .

Vẽ đồ thị hàm số $y=x^2-4\left|x\right|+3.$

Dựa vào đồ thị ta có phương trình $x^2-4\left|x\right|+3=m+1$

có bốn nghiệm phân biệt

$\begin{array}{l}\iff -1<m+1<3\\ \iff -2<m<2\end{array}$

Gọi  $\left(P\right)$ là đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$

Vẽ đồ thị $\left(P_1\right)$ của đồ thị hàm số $y=f\left(x+1\right)$ bằng cách: Tịnh tiến đồ thị $\left(P\right)$ của hàm số $y=f\left(x\right)$ theo phương của trục hoành sang trái 1  đơn vị.

Vẽ đồ thị $\left(P_2\right)$ của hàm số $y=f\left(\left|x\right|+1\right)$  bằng cách: Giữ nguyên đồ thị $\left(P_1\right)$  nằm bên phải trục tung rồi lấy đối xứng phần đó chính phần đồ thị  đó qua trục tung, ta được đồ thị $\left(P_2\right)$  của hàm số .$y=f\left(\left|x\right|+1\right)$  Do đó, ta có đồ thị hàm số

Đặt $t=f\left(\left|x\right|+1\right)$, với $x\in \left[-2;2\right]\Rightarrow t\in \left[-1;0\right]$.

Ta có phương trình $f\left(t\right)=m$(1).

Nếu $t=0$cho ta ba nghiệm phân biệt $x\in \left[-2;2\right]$.

Nếu $t=-1$cho ta hai nghiệm phân biệt $x\in \left[-2;2\right]$.

Nếu$t\in \left(-1;0\right)$ thì mỗi giá trị của cho ta bốn nghiệm phân biệt $x\in \left[-2;2\right]$ .

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ phương trình có đúng 1 nghiệm $t\in \left(-1;0\right)\iff f\left(0\right)<m<f\left(-1\right) \iff 3<m<8\iff 3<m<8$  .

Vậy có tất cả 4  phần tử S .

$2a{x}^2+2b\left|x\right|+2c+m-6=0\iff a{x}^2+2b\left|x\right|+c=-\frac{m}{2}+3$

Đồ thị hàm số $y=a{x}^2+b\left|x\right|+c$ như hình vẽ bên

Từ đồ thị hàm số ta thấy:

Điều kiện để có 4 nghiệm phân biệt là

$-1<-\frac{m}{2}+3<3\iff 0<m<8$. Suy ra $n=0;p=8$ .

Vậy $2019n+200p=1600$ .,

* Vẽ đồ thị hàm số $\left(C\text{'}\right)$ của hàm số $y=f\left(\left|x\right|\right)$ : Giữ nguyên phần đồ thị $\left(C\right)$  nằm phía bên phải trục $Oy$ , bỏ đi phần đồ thị $\left(C\right)$ bên trái trục $Oy$ và lấy đối xứng phần đồ $\left(C\right)$thị phía bên phải trục $Oy$ qua trục $Oy$ .

* Ta có $f^2\left(\left|x\right|\right)+\left(m-2\right)f\left(\left|x\right|\right)+m-3=0\iff \left[\begin{array}{l}f\left(\left|x\right|\right)=-1\\ f\left(\left|x\right|\right)=3-m\end{array}\right.$ .

* Từ đồ thị $\left(C\text{'}\right)$, ta có:

- Phương trình $f\left(\left|x\right|\right)=-1$có hai nghiệm là $x=2,x=-2$.

- Yêu cầu bài toán $\iff$ phương trình $f\left(\left|x\right|\right)=3-m$ có bốn nghiệm phân biệt khác $\pm 2\iff$ Đường thẳng $d:y=3-m$ cắt đồ thị $\left(C\text{'}\right)$ tại bốn điểm phân biệt khác $A,B$

$\iff -1<3-m<3\iff 0<m<4$. Suy ra $m\in \left\{1,2,3\right\}$ .

Gọi $∆$  là tiếp tuyến của $\left(C\right)$ sao cho $∆$ song song với đường thẳng $d:y=4x-15$ .

$∆$có phương trình là $y=4x-9$ .

Giao điểm của $∆$ và (C) là$M\left(3;3\right)$ .

$M\left(3;3\right)$ là điểm cần tìm.

Do đó $S=x_0+y_0=6$ .

Gọi $\left(x_0;y_0\right)$ là các điểm cố định của $\left(P_m\right)$ .

Khi đó: $\begin{array}{l}{y}_0=\left(m-1\right)x_0^2+x_0-3m+1,\forall m\in R\\ \iff m\left(x_0^2-3\right)-x_0^2+x_0+1-y_0=0,\forall m\in R\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0^2-3=0\\ -x_0^2+x_0+1-y_0=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0^2-3=0\\ y_0=x_0-2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=\sqrt{3};y_0=\sqrt{3}-2\\ x_0=-\sqrt{3};y_0=-\sqrt{3}-2\end{array}\right.\end{array}$

Vì (P) đi qua A và đi qua các điểm cố định của $\left(P_m\right)$ nên ta có hệ:

$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=5\\ 3a+\sqrt{3}b+c=\sqrt{3}-2\\ 3a-\sqrt{3}b+c=-\sqrt{3}-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=1\\ c=7\end{array}\right.\Rightarrow T=2$

Từ đồ thị hàm số $y=\left|x^2+bx+c\right|$  như hình trên, ta suy ra đồ thị hàm số $y=x^2+bx+c$  như sau

Suy ra parabol $y=x^2+bx+c$có đỉnh $I\left(1;-4\right)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2}=1\\ 1+b+c=-4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=-2\\ c=-3\end{array}\right.\Rightarrow S=b-c=1$.

Hoành độ hai đỉnh của $\left(P_1\right);\left(P_2\right)$ thứ tự là $\frac{m}{2};\frac{m+1}{m-1}$ . Theo yêu cầu đề bài chúng phải phân biệt và là hai nghiệm của phương trình hoành độ: $m{x}^2-\left(3m+2\right)x+n+6=0$  .

Từ đó theo định lý viet ta có $\frac{m}{2}+\frac{m+1}{m-1}=\frac{3m+2}{m}\iff \left[\begin{array}{l}m=2\\ m^2-3m-2=0\left(*\right)\end{array}\right.$

Mà $\frac{m}{2}=\frac{m+1}{m-1}\iff \left(*\right)$nên ta chỉ có giá trị duy nhất của m thỏa mãn là $m=2$, suy ra n=0

Phương trình $x^2-2x+2m-2=0\iff x^2-2x-1=1-2m(*)$

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^2-2x-1\left(P\right)$ và đường thẳng $y=1-2m$

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:

với  $x\in \left[-1;2\right]$ thì $y\in \left[-2;2\right]$ .

Do đó, để phương trình (*) có nghiệm thì

$-2\le 1-2m\le 2\iff -\frac{1}{2}\le m\le \frac{3}{2}$

Mà m là số nguyên dương $\Rightarrow m=1$

Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.