Đổi 75 kg = 75 000 g; 120 kg = 120 000 g.

Hệ bất phương trình bậc nhất mô tả số lượng gói có thể có của mỗi loại là:

hay

Miền nghiệm của hệ bất phương trình ở câu a là miền tứ giác OABC được tô màu như hình vẽ dưới đây:

Ở đây, d1: x + 2y = 300 và d2: 3x + 2y = 480.

Các đỉnh của miền nghiệm là: O(0; 0), A(0; 150), B(90; 105), C(160; 0).

Lợi nhuận thu được là: F(x; y) = 30x + 40y (nghìn đồng).

Bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của F(x; y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Ta biết rằng, F(x; y) đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác. Tính giá trị của F(x; y) tại các đỉnh của tứ giác ta được:

F(0; 0) = 30.0 + 40.0 = 0;

F(0; 150) = 30.0 + 40.150 = 6 000;

F(90; 105) = 30.90 + 40.105 = 6 900;

F(160; 0) = 30.160 + 40.0 = 4 800.

Giá trị lớn nhất của F(x; y) bằng 6 900 tại điểm cực biên B(90; 105). Phương án tối ưu là (90; 105).

Vậy cần chuẩn bị 90 gói cà phê tiêu chuẩn và 105 gói cà phê cao cấp để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Gọi x và y lần lượt là số sản phẩm thứ nhất và sản phẩm thứ hai cần sản xuất.

Lợi nhuận thu được là: 400x + 600y (nghìn đồng).

Hệ bất phương trình ràng buộc x và y là

Miền nghiệm của hệ bất phương trình này là miền ngũ giác OABCD được tô màu như hình vẽ dưới đây:

Ở đây, d1: 2x + y = 70, d2: x + y = 40 và d3: x + 3y = 90.

Các điểm cực biên là: O(0; 0), A(0; 30), B(15; 25), C(30; 10), D(35; 0).

Bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của F(x; y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Ta biết rằng, F(x; y) đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác. Tính giá trị của F(x; y) tại các đỉnh của ngũ giác ta được:

F(0; 0) = 400.0 + 600.0 = 0;

F(0; 30) = 400.0 + 600.30 = 18 000;

F(15; 25) = 400.15 + 600.25 = 21 000;

F(30; 10) = 400.30 + 600.10 = 18 000;

F(35; 0) = 400.35 + 600.0 = 14 000.

Giá trị lớn nhất của F(x; y) bằng 21 000 tại điểm cực biên B(15; 25). Phương án tối ưu là (15; 25).

Vậy cần sản xuất 15 đơn vị sản phẩm thứ nhất và 25 đơn vị sản phẩm thứ hai để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Gọi x và y lần lượt là số đại diện bán hàng ở Hà Nội và Thành phố Hồ Chí Minh được cử đến dự cuộc họp bán hàng ở Đà Nẵng.

Tổng chi phí vé máy bay là: 2x + 2,4x (nghìn đồng).

Hệ bất phương trình ràng buộc x và y là

Miền nghiệm của hệ bất phương trình này là miền tứ giác ABCD được tô màu như hình vẽ dưới đây với đường thẳng d: x + y = 40.

Các điểm cực biên là: A(18; 22), B(28; 22), C(28; 16), D(24; 16).

Bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Ta biết rằng, F(x; y) đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác. Tính giá trị của F(x; y) tại các đỉnh của tứ giác ta được:

F(18; 22) = 2.18 + 2,4.22 = 88,8;

F(28; 22) = 2.28 + 2,4.22 = 108,8;

F(28; 16) = 2.28 + 2,4.16 = 94,4;

F(24; 16) = 2.24 + 2,4.16 = 86,4.

Giá trị nhỏ nhất của F(x; y) bằng 86,4 tại điểm cực biên B(24; 16). Phương án tối ưu là (24; 16).

Vậy cần cử 24 đại diện bán hàng ở Hà Nội và 16 đại diện bán hàng ở Thành phố Hồ Chí Minh đến dự cuộc họp bán hàng ở Đà Nẵng để tổng chi phí vé máy bay là nhỏ nhất.

Xét hàm số với θ ∈ [0°; 90°].

Đạo hàm của hàm F là:

Ta có

Giả sử θ0 thỏa mãn sao cho tanθ0 = c.

Vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, ta có:

F(0°) = cmg;  F(90°) = mg.

Dễ thấy rằng F(α) là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị F(0°), F(α), F(90°).

Do đó F đạt giá trị nhỏ nhất tại θ0 thỏa mãn tanθ0 = c.

Vậy lực kéo F nhỏ nhất khi tanθ = c.

Giả sử tình huống được mô tả bởi hình vẽ dưới đây với C là vị trí mắt của người quan sát, DB = 4 m là chiều cao của bức tranh, AD = 3 m là khoảng cách từ mép dưới của bức tranh đến mắt người quan sát. 

Giả sử AC = x (m) là khoảng cách từ người quan sát đến tường, x > 0.

Khi đó, ta có: và

Áp dụng hệ quả định lí Cosin vào tam giác BCD, ta có:

Hay

Với θ ∈ (0°; 90°), để góc nhìn θ lớn nhất thì cosθ nhỏ nhất.

Đặt hàm số xét trên khoảng (0; +∞).

Khi đó, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) trên (0; +∞).

Ta có

f’(x) = 0 ⇔ 16x3 – 336x = 0 ⇔ x = 0 (loại) hoặc x2 = 21

                (do x ∈ (0; +∞)).

Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; +∞).

Từ bảng biến thiên, ta có khi

Vậy người quan sát phải đứng cách tường mét để có được tầm nhìn thuận lợi nhất (tức là, có góc nhìn θ lớn nhất).