Giải SBT Toán 7 CTST Bài tập cuối chương 8 có đáp án
16 câu hỏi
Cho tam giác ABC có A^=B^+C^. Hai đường phân giác của góc B và C cắt nhau tại O.
a) Tính số đo góc A
a) Trong DCAB ta có: A^+ABC^+ACB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác).
Mà A^=ABC^+ACB^ (giả thiết).
Suy ra A^=ABC^+ACB^=180°2=90°.
Vậy A^=90°.
b) Tính số đo góc BOC.
b) Vì BO là phân giác của góc ABC nên ABO^=CBO^=ABC^2
Vì CO là phân giác của góc ACB nên ACO^=BCO^=ACB^2
Trong DCOB ta có: BOC^+OBC^+OCB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác).
Mà CBO^=ABC^2 , BCO^=ACB^2, ABC^+ACB^=90°.
Suy ra BOC^=180°−ABC^+ACB^2=180°−90°2=135°
Vậy BOC^=135°.
Cho tam giác ABC có M là điểm đồng quy của ba đường phân giác. Qua M vẽ đường thẳng song song với BC và cắt AB, AC lần lượt tại N và P. Chứng minh rằng NP = BN + CP.
• Ta có: MN // BC (giả thiết) do đó M1^=B1^ (hai góc so le trong).
Vì BM là phân giác của góc ABC nên B1^=B2^=ABC^2.
Suy ra M1^=B2^ nên tam giác BNM cân tại N.
Do đó BN = NM.
• Ta có: MP // BC (giả thiết) do đó M2^=C2^ (hai góc so le trong).
Vì CM là phân giác của góc ACB nên C1^=C2^=ACB^2.
Suy ra M2^=C1^ nên tam giác CMP cân tại P.
Do đó PM = PC.
Ta có: NP = MN + MP = BN + CP.
Vậy NP = BN + CP.
Cho tam giác ABC có M là giao điểm của hai phân giác của góc B và góc C. Cho biết BMC^=132°. Tính số đo các góc MAB^ và MAC^.
Trong DCMB có: BMC^+MBC^+MCB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác).
Suy ra MBC^+MCB^=180°−BMC^=180°−132°=48°.
Vì BM là phân giác của góc ABC nên ABC^=2MBC^.
Vì CM là phân giác của góc ACB nên ACB^=2MCB^.
Suy ra ABC^+ACB^=2MBC^+MCB^=2.48°=96°.
Trong DCAB ta có: BAC^+ABC^+ACB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác).
Suy ra BAC^=180°−(ABC^+ACB^)=180°−96°=84°.
Do AM là phân giác góc A của tam giác ABC nên ta có:
MAB^=MAC^=BAC^2=84°2=42°.
Vậy MAB^=MAC^=42°.
Cho tam giác ABC có AB > AC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM = BA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = CA.
a) Hãy so sánh các góc AMB^ và ANC^.
a) Xét DABC có AB > AC (giả thiết) nên C1^>B1^ (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn) (1)
Vì CN = CA (giả thiết) nên tam giác ANC cân tại C.
Suy ra ANC^=NAC^ (tính chất tam giác cân).
Mặt khác ANC^+NAC^+C^2=180° (tổng ba góc trong tam giác CAN).
Do đó C^2=180°−2ANC^
Mà C^1+C^2=180o (hai góc kề bù) nên C^2=180o−C^1
Suy ra C^1=2ANC^ (2)
Tương tự với tam giác BAM ta có: B1^=2AMB^ (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra ANC^>AMB^.
Vậy ANC^>AMB^.
b) Hãy so sánh các đoạn AM và AN.
b) Xét tam giác ANM có ANM^>AMN^ (do ANC^>AMB^)
Do đó AM > AN (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).
Vậy AM > AN.
Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Tìm điểm M sao cho: MA + MB + MC + MD nhỏ nhất.
Xét DABM có: MA + MB ≥ AB (bất đẳng thức trong tam giác)
Xét DCDM có: MC + MD ≥ CD (bất đẳng thức trong tam giác)
Suy ra MA + MB + MC + MD ≥ AB + CD.
Nên MA + MB + MC + MD nhỏ nhất khi và chỉ khi:
MA + MB + MC + MD = AB + CD
Khi đó MA + MB = AB và MC + MD = CD
Điều này chỉ xảy ra khi M trùng với điểm O.
Vậy khi điểm M là giao điểm của AB và CD thì MA + MB + MC + MD nhỏ nhất.
a) Chứng minh trong một tam giác, đường cao không lớn hơn đường trung tuyến xuất phát từ cùng một đỉnh.
a) Cho tam giác ABC. Vẽ đường cao AH và đường trung tuyến AM.
Ta có AH là đường vuông góc, AM là đường xiên.
Suy ra AH ≤ AM (mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).
Vậy trong một tam giác, đường cao không lớn hơn đường trung tuyến xuất phát từ cùng một đỉnh.
b) Chứng minh trong một tam giác, đường cao không lớn hơn đường phân giác xuất phát từ cùng một đỉnh.
b) Cho tam giác ABC. Vẽ đường cao AH và đường phân giác AD.
Ta có AH là đường vuông góc, AD là đường xiên.
Suy ra AH ≤ AD (mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).
Vậy trong một tam giác, đường cao không lớn hơn đường phân giác xuất phát từ cùng một đỉnh.
Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF đồng quy tại I. Vẽ IH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng BIH^=CID^.
Vì BI là phân giác của góc ABC nên ABI^=IBC^=ABC^2.
Vì CI là phân giác của góc ACB nên ACI^=BCI^=ACB^2.
Vì AI là phân giác của góc ACB nên BAI^=CAI^=CAB^2.
Ta có: DIC^+AIC^=180° (hai góc kề bù).
Do đó DIC^=180°−AIC^ (1)
Trong DAIC có IAC^+ICA^+AIC^=180° (tổng ba góc trong một tam giác).
Suy ra IAC^+ICA^=180°−AIC^ (2)
Từ (1) và (2) ta có:
Nên DIC^=IAC^+ICA^=BAC^+BCA^2.
Trong DCAB ta có: BAC^+ABC^+ACB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác)
Nên BAC^+ACB^=180°−ABC^
Suy ra DIC^=BAC^+BCA^2=180°−ABC^2=90°−ABC^2 (3)
Vì tam giác BIH vuông tại H nên HIB^+HBI^=90°.
Suy ra HIB^=90°−HBI^=90°−ABC^2 (4)
Từ (3) và (4) suy ra BIH^=CID^.
Vậy BIH^=CID^.
Cho tam giác ABC cân tại A và cho A^=124°. Vẽ đường cao BH và phân giác BK ứng với đỉnh B của tam giác ABC. Tính số đo các góc của tam giác BHK.
Vì tam giác ABC cân tại A (giả thiết)
Nên ABC^=ACB^ (tính chất tam giác cân)
Trong DCAB ta có: BAC^+ABC^+ACB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác).
Mà BAC^=124°(giả thiết), ABC^=ACB^ (chứng minh trên).
Suy ra ABC^=ACB^=180°−BAC^2=180°−124°2=28°.
Vì BK là phân giác của góc ABC nên ABK^=KBC^=ABC^2=28°2=14°.
Trong DKAB ta có: ABK^+KAB^+AKB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác).
Suy ra AKB^=180°−ABK^−KAB^=180°−14°− 124°=42°.
Vì tam giác BKH vuông tại H nên KHB^=90° và HKB^+HBK^=90°.
Suy ra HBK^=90°−HKB^=90°−42°=48°.
Vậy tam giác BHK có HBK^=48°,BKH^=42°,KHB^=90°.
Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh AH là đường trung trực của BC.
Tam giác ABC có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác.
Do đó AH là đường cao ứng với cạnh BC.
Kéo dài AH cắt BC tại M.
Khi đó AH ⊥ BC tại M (1)
Vì tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC.
Xét ΔBMA và ΔCMA có:
BMA^=CMA^=90°,
AM là cạnh chung,
AB = AC (chứng minh trên)
Do đó ΔBMA = ΔCMA (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra BM = CM (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AH ⊥ BC tại trung điểm M của BC.
Do đó AH là đường trung trực của BC.
Vậy AH là đường trung trực của BC.
Cho tam giác nhọn ABC. Hãy nêu cách tìm các điểm sau đây bên trong tam giác ABC.
a) Điểm M cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.
a) Điểm M cách đều ba đỉnh của tam giác ABC nên điểm M là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
Do ba đường trung trực của một tam giác luôn đi qua một điểm, nên giao điểm của hai trong ba đường trung trực cũng thuộc đường trung trực còn lại.
Ta vẽ hai đường trung trực của AB và BC, giao điểm của hai đường trung trực đó là điểm M (hình vẽ).
b) Điểm N cách đều ba cạnh của tam giác ABC.
b) Điểm N cách đều ba cạnh của tam giác ABC nên điểm N là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác ABC.
Do ba đường phân giác của một tam giác luôn đi qua một điểm, nên giao điểm của hai trong ba đường phân giác cũng thuộc đường phân giác còn lại.
Ta vẽ hai đường phân giác của góc A và góc B, giao điểm của hai đường phân giác này là điểm N (hình vẽ).
c) Điểm P là trọng tâm của tam giác ABC.
c) Điểm P là trọng tâm của tam giác ABC nên điểm P là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác ABC.
Do ba đường trung tuyến của một tam giác luôn đi qua một điểm, nên giao điểm của hai trong ba đường trung tuyến cũng thuộc đường trung tuyến còn lại.
Ta vẽ hai đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A và C của tam giác, giao điểm của hai đường trung tuyến này là điểm P (hình vẽ).
d) Điểm Q là trực tâm của tam giác ABC.
d) Điểm Q là trực tâm của tam giác ABC nên điểm Q là giao điểm của ba đường cao của tam giác ABC.
Do ba đường cao của một tam giác luôn đi qua một điểm, nên giao điểm của hai trong ba đường cao cũng thuộc đường cao còn lại.
Ta vẽ hai đường cao xuất phát từ đỉnh A và đỉnh B của tam giác, giao điểm của hai đường cao này là trực tâm Q của tam giác (hình vẽ).
