Ta có: \(\overrightarrow a  = 2\overrightarrow i  + 3\overrightarrow j  - 5\overrightarrow k \) suy ra \(\overrightarrow a \) = (2; 3; −5).

           \(\overrightarrow b  =  - 3\overrightarrow j  + 4\overrightarrow k \) suy ra \(\overrightarrow b \) = (0; −3; 4).

           \(\overrightarrow c  =  - \overrightarrow i  - 2\overrightarrow j \) suy ra \(\overrightarrow c \) = (−1; −2; 0).

Gọi A(a; b; c).

Có G là trọng tâm nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GO} = \overrightarrow 0 \)

⇔\(\overrightarrow {GA} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AO} } \right) = \overrightarrow 0 \)

⇔ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AO} = 4\overrightarrow {AG} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = (1; 2; 3), \(\overrightarrow {AC} \) = (−1; 4; −2), \(\overrightarrow {AO} \) = (−a; −b; −c),

⇒ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AO} \) = (−a; 6 – b; 1 – c).

          \(\overrightarrow {AG} \) = (3 – a; −3 – b; 6 – c) ⇒ \(4\overrightarrow {AG} \) = (12 – 4a; −12 – 4b; 24 – 4c).

Do đó, \(\left\{ \begin{array}{l} - a = 12 - 4a\\6 - b = - 12 - 4a\\1 - c = 24 - 4c\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = - 6\\c = \frac{{23}}{3}\end{array} \right.\) ⇒ A\(\left( {4; - 6;\frac{{23}}{3}} \right)\).

Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên ta có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} = (2; - 4;0)\).

Gọi D(x; y; z) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 - x = 2\\4 - y = - 4\\ - 7 - z = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 8\\z = - 7\end{array} \right.\) ⇒ D(−3; 8; −7).

Ta có: \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {DD'} = \left( {9;0;17} \right)\)

Gọi B'(a; b; c) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a - 4 = 9\\b - 0 = 0\\c - 0 = 17\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 13\\b = 0\\c = 17\end{array} \right.\) ⇒ B'(13; 0; 17).

Ta có: A(2; 2; 1), suy ra OA = \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right|\) = \(\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} \) = 3.

Vậy OA = 3.

Hình chiếu của A(1; 2; 3) trên trục Oy là A'(0; 2; 0).

Khoảng cách từ A trên trục Oy là AA' = \(\sqrt {{{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 0} \right)}^2}} \) = \(\sqrt {10} \).

a) Tọa độ điểm M' là điểm đối xứng của điểm M qua gốc tọa độ O là M'(−3; 1; −2).

b) O' là điểm đối xứng của điểm O qua điểm M suy ra M là trung điểm của OO'.

Gọi O'(x; y; z) nên

 \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + 0}}{2} = 3\\\frac{{y + 0}}{2} = - 1\\\frac{{z + 0}}{2} = 2\end{array} \right.\) ⇒ O'(6; −2; 4).

c) Khoảng cách từ M đến gốc tọa độ là MO = \(\sqrt {{{\left( {3 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2}} \) = \(\sqrt {14} \).

d) Mặt phẳng (Oxz) là y = 0.

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Oxz) là d(M, (Oxz)) = \(\frac{{\left| {3.0 + 1.\left( { - 1} \right) + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }}\) = 1.