(Đúng sai) 15 bài tập Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (có lời giải)

Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao 80 m sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi 500 km được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục toạ độ \[Oxyz\]có gốc \[O\] trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] trùng với mặt đất sao cho trục \[Ox\] hướng về phía tây, trục \[Oy\] hướng về phía nam, trục \[Oz\] hướng thẳng đứng lên phía trên (Hình 2) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét). Một máy bay tại vị trí \[A\] cách mặt đất 10 km, cách 300 km về phía đông và 200 km về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu

a) Ra đa ở vị trí có toạ độ \[\left( {0;\,0;\,0} \right)\]

b) Vị trí \[A\] có toạ độ \[\left( {300;\,200;\,10} \right)\]

c) Khoảng cách từ máy bay đến ra đa là khoảng 360,69 km (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

d) Ra đa của trung tâm kiểm soát không lưu không phát hiện được máy bay tại vị trí A

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm  \(A\left( {1; - 2;3} \right),\,\,B\left( { - 2;1;2} \right),\,\,C\left( {3; - 1;2} \right)\).

a)  \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;3 - 1} \right)\) .

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm  \(A\left( {1; - 2;3} \right),\,\,B\left( { - 2;1;2} \right),\,\,C\left( {3; - 1;2} \right)\).

b) \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2; - 1;1} \right)\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm  \(A\left( {1; - 2;3} \right),\,\,B\left( { - 2;1;2} \right),\,\,C\left( {3; - 1;2} \right)\).

c)  \(\overrightarrow {AB}  = 3\overrightarrow {AC} \).

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm  \(A\left( {1; - 2;3} \right),\,\,B\left( { - 2;1;2} \right),\,\,C\left( {3; - 1;2} \right)\).

d) Ba điểm \(A,\,B,\,C\) không thẳng hàng.

Trong không gian \(Oxyz\), cho hình bình hành \(ABCD\) có  \(A\left( {2; - 1; - 2} \right),\,\,B\left( {3;1;2} \right),\,\,C\left( {1; - 1;1} \right)\) và \(D\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right)\).

a)  \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2;4} \right)\) .

b) \(\overrightarrow {DC}  = \left( {1 - {x_D}; - 1 - {y_D};1 - {z_D}} \right)\).

c)  \(\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AB} \).

d) Tọa độ điểm \(D\) là \(\left( {0;3;3} \right)\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \[A(4;2;1)\], \[B(2;1;3)\], \[C( - 1;3; - 2)\].

a) Tọa độ trọng tâm tam giác \(ABC\) bằng\(\left( {\frac{5}{3};2;\frac{2}{3}} \right).\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \[A(4;2;1)\], \[B(2;1;3)\], \[C( - 1;3; - 2)\].

b) Tọa độ trung điểm đoạn thẳng \(AB\) bằng \(\left( {3;\frac{3}{2};2} \right)\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \[A(4;2;1)\], \[B(2;1;3)\], \[C( - 1;3; - 2)\].

c) Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành thì tọa độ điểm \(D = \left( {1;4; - 4} \right).\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \[A(4;2;1)\], \[B(2;1;3)\], \[C( - 1;3; - 2)\].

d) Ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng.

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {3\,;\,5\,;\, - 1} \right)\), \(B\left( {7\,;\,x;\,1} \right)\), \(C\left( {9\,;\,2\,;\,y} \right)\).

a) Ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng thì \(x + y = 5.\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {3\,;\,5\,;\, - 1} \right)\), \(B\left( {7\,;\,x;\,1} \right)\), \(C\left( {9\,;\,2\,;\,y} \right)\).

b) Điểm \(G\left( {\frac{{19}}{3};\frac{8}{3};3} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì \(x = 1;y = 3.\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {3\,;\,5\,;\, - 1} \right)\), \(B\left( {7\,;\,x;\,1} \right)\), \(C\left( {9\,;\,2\,;\,y} \right)\).

c) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) thì \(x = 13,y =  - 1.\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {3\,;\,5\,;\, - 1} \right)\), \(B\left( {7\,;\,x;\,1} \right)\), \(C\left( {9\,;\,2\,;\,y} \right)\).

d) Tích vô hướng của \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  =  - 3x + 2y + 41\).

Cho các điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( { - 2;1;2} \right),C\left( {3; - 1;2} \right)\).

a) \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;3; - 1} \right)\).

Cho các điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( { - 2;1;2} \right),C\left( {3; - 1;2} \right)\).

b) \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2; - 1;1} \right)\).

Cho các điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( { - 2;1;2} \right),C\left( {3; - 1;2} \right)\).

c) \(\overrightarrow {AB}  = 3\overrightarrow {AC} \).

Cho các điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( { - 2;1;2} \right),C\left( {3; - 1;2} \right)\).

d) Ba điểm \(A,B,C\) không thẳng hàng.

Cho ba điểm \(A\left( {3;3; - 6} \right),B\left( {1;3;2} \right)\) và \(C\left( { - 1; - 3;1} \right)\). Gọi \(M,N,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC\) và \(CA.\)

a) Tọa độ \(M\left( {2;3;2} \right)\).

b) Với \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì \(GC = 2\sqrt 5 \).

c) Trọng tâm tam giác \(MNK\) là \(E\left( {1;1; - 1} \right)\).

d) Với \(D\left( { - 3; - 3;9} \right)\) thì tứ giác \(ABDC\) là hình bình hành.

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\), biết điểm \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right),C\left( {1;2;0} \right),D'\left( { - 1;3;5} \right)\). Gọi \(M,N\) là tâm của các hình bình hành \(ABB'A',ADD'A'\).

a) Tọa độ \(D\left( {0;2;0} \right)\).

b) Tọa độ \(A'\left( { - 1;1;5} \right)\).

c) Tọa độ \(\overline {MN}  = \left( { - 1;1;0} \right)\).       

d) \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CC'} } \right| = \sqrt {29} \).

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát \(2{\rm{\;km}}\) về phía nam và \(1{\rm{\;km}}\) về phía đông, đồng thời cách mặt đất \(0,5{\rm{\;km}}\). Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát \(1{\rm{\;km}}\) về phía bắc và \(1,5{\rm{\;km}}\) về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 \({\rm{km}}\).Chọn hệ trục \(Oxyz\) với gốc \(O\) đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất với trục \(Ox\) hướng về phía nam, trục \(Oy\) hướng về phía đông và trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời (Hình bên dưới), đơn vị đo lấy theo kilomet.

a) Với hệ tọa độ đã chọn, tọa độ khinh khí cầu thứ nhất là ( \(2;1;0,5)\).

b) Với hệ tọa độ đã chọn, toạ độ khinh khí cầu thứ hai là \(\left( { - 1,5; - 1;0,8} \right)\).

c) Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất bằng \(\sqrt {21} {\rm{\;km}}\).

d) Khoảng cách hai chiếc khinh khí cầu là \(3,92{\rm{\;km}}\) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho ba vec-tơ \(\vec a = \left( { - 1;1;0} \right),\vec b = \left( {1;1;0} \right)\) và \(\vec c = \left( {1;1;1} \right)\).

a) \(\left| {\vec a} \right| = 2\).           

 Cho ba vec-tơ \(\vec a = \left( { - 1;1;0} \right),\vec b = \left( {1;1;0} \right)\) và \(\vec c = \left( {1;1;1} \right)\).

b) \(\left| {\vec c} \right| = \sqrt 3 \).

Cho ba vec-tơ \(\vec a = \left( { - 1;1;0} \right),\vec b = \left( {1;1;0} \right)\) và \(\vec c = \left( {1;1;1} \right)\).

c) \({\rm{cos}}\left( {\vec a,\vec c} \right) = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).           

Cho ba vec-tơ \(\vec a = \left( { - 1;1;0} \right),\vec b = \left( {1;1;0} \right)\) và \(\vec c = \left( {1;1;1} \right)\).

d) \(\vec b \bot \vec c\).

Cho hai véctơ \(\vec u = \left( {0;2;3} \right)\) và \(\vec v = \left( {m - 1;2m;3} \right)\).

a) \(\left| {\vec u} \right| = \sqrt {13} \).

Cho hai véctơ \(\vec u = \left( {0;2;3} \right)\) và \(\vec v = \left( {m - 1;2m;3} \right)\).

b) \(\left| {\vec u\left|  =  \right|\vec v} \right| \Leftrightarrow m =  - \frac{3}{5}\).

Cho hai véctơ \(\vec u = \left( {0;2;3} \right)\) và \(\vec v = \left( {m - 1;2m;3} \right)\).

c) \(\vec u = \vec v \Leftrightarrow m = 1\).

Cho hai véctơ \(\vec u = \left( {0;2;3} \right)\) và \(\vec v = \left( {m - 1;2m;3} \right)\).

d) \(\vec u \bot \vec v \Leftrightarrow m = \frac{9}{4}\).

Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;2;0} \right),B\left( {0;1;1} \right),C\left( {2;1;0} \right)\).

a) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;2;0} \right),B\left( {0;1;1} \right),C\left( {2;1;0} \right)\).

b) Chu vi tam giác là \(\sqrt 7  + \sqrt 3  + \sqrt 2 \).

Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;2;0} \right),B\left( {0;1;1} \right),C\left( {2;1;0} \right)\).

c) Diện tích tam giác \(ABC\) là \(\sqrt 6 \).

Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;2;0} \right),B\left( {0;1;1} \right),C\left( {2;1;0} \right)\).

d) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \(I\left( {1;1;\frac{1}{2}} \right)\).

Cho tứ diện \(ABCD\) với \(A\left( {2;1;0} \right),B\left( {1;1;3} \right),C\left( {2; - 1;3} \right),D\left( {1; - 1;0} \right)\).

a) Tứ diện \(ABCD\) có các cạnh đối đôi một bằng nhau.

Cho tứ diện \(ABCD\) với \(A\left( {2;1;0} \right),B\left( {1;1;3} \right),C\left( {2; - 1;3} \right),D\left( {1; - 1;0} \right)\).

b) Góc giữa 2 đường thẳng \(AB\) và \(CD\) là \(\varphi  = \arccos 0,3\)

Cho tứ diện \(ABCD\) với \(A\left( {2;1;0} \right),B\left( {1;1;3} \right),C\left( {2; - 1;3} \right),D\left( {1; - 1;0} \right)\).

c) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng \(3\)

Cho tứ diện \(ABCD\) với \(A\left( {2;1;0} \right),B\left( {1;1;3} \right),C\left( {2; - 1;3} \right),D\left( {1; - 1;0} \right)\).

d) Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) bằng \(\frac{{\sqrt {14} }}{2}\)

Trong hệ trục \(Oxyz\), cho 3 điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;0;1} \right),C\left( {2;1;1} \right)\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Diện tích của tam giác \(ABC\) bằng \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\)(đvdt)

Trong hệ trục \(Oxyz\), cho 3 điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;0;1} \right),C\left( {2;1;1} \right)\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

b) Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là một hình bình hành khi đó \(x + y + z = 3\)

Trong hệ trục \(Oxyz\), cho 3 điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;0;1} \right),C\left( {2;1;1} \right)\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

c) Độ dài đường cao của tam giác \(ABC\) hạ từ \(A\) bằng \(AH = \frac{{\sqrt {30} }}{5}\)(đơn vị dài)

Trong hệ trục \(Oxyz\), cho 3 điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;0;1} \right),C\left( {2;1;1} \right)\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

d) Thể tích của khối chóp \(SABCD\) với đỉnh \(S\left( {0;3;4} \right)\) bằng \(2\)(đvtt)

Hình minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong hệ trục tọa độ Oxyz, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật.

a) Tọa độ của các điểm \(A\left( {5;0;0} \right)\).

b) Tọa độ của các điểm \(H\left( {0;5;3} \right)\).

c) Góc nhị diện có cạnh là đường thẳng \(FG\), hai mặt lần lượt là \(\left( {FGQP} \right)\) và \(\left( {FGHE} \right)\) gọi là góc dốc của mái nhà. Số đo của góc dốc của mái nhà bằng 26,6∘ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ).

d) Chiều cao của ngôi nhà là 4.