(Trả lời ngắn) 13 bài tập Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (có lời giải)
13 câu hỏi
Trong không gian \(Oxyz\)cho tam giác \(ABC\)có \(A(1;3;5),B(1;1;3),C(4; - 2;3)\). Số đo của góc \(\widehat {ABC}\) bằng bao nhiêu độ?
Một người đứng ở mặt đất điều khiển hai flycam để phục vụ trong một chương trình của đài truyền hình. Flycam I ở vị trí \(A\) cách vị trí điều khiển \(150\;{\rm{m}}\) về phía nam và \(200\;{\rm{m}}\) về phía đông, đồng thời cách mặt đất \(50\;{\rm{m}}\). Flycam II ở vị trí \(B\) cách vị trí điều khiển \(180\;{\rm{m}}\) về phía bắc và \(240\;{\rm{m}}\) về phía tây, đồng thời cách mặt đất \(60\;{\rm{m}}\). Chọn hệ trục toạ độ \(Oxyz\)với gốc \(O\) là vị trí người điều khiển, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất, trục \(Ox\)có hướng trùng với hướng nam, trục \(Oy\)trùng với hướng đông, trục \(Oz\)vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời, đơn vị trên mỗi trục tính theo mét. Khoảng cách giữa hai flycam đó bằng bao nhiêu mét ( làm tròn đến hàng đơn vị )?
Ta có: Vị trí \(A,B\)có tọa độ lần lượt là: \((150;200;50),( - 180; - 240;60)\). Suy ra khoảng cách giữa hai flycam đó bằng:
Trả lời:
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - x - 2;2} \right)\); \(\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 3;y + 1} \right)\).
Để \(A,B,C\) thẳng hàng thìTrong không gian tọa độ \(Oxyz\) cho hai điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right)\), \(B\left( {4;1; - 1} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn \(MA.\overrightarrow {MA} = 4MB.\overrightarrow {MB} \). Giá trị biểu thức \(a + b + c\) bằng bao nhiêu?
Do \(MA\overrightarrow {MA} = 4MB\overrightarrow {MB} \) nên \(\overrightarrow {MA} \) cùng hướng \(\overrightarrow {MB} \).
\(MA\overrightarrow {MA} = 4MB\overrightarrow {MB} \Rightarrow M{A^2} = 4M{B^2} \Leftrightarrow MA = 2MB\)\( \Rightarrow \)\(B\) là trung điểm \(AM\)\( \Rightarrow \)\(M\left( {7;4; - 5} \right)\).
Khi đó \(a + b + c = 7 + 4 + \left( { - 5} \right) = 6\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( { - 2; - 4;9} \right)\). Điểm \(M\) thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(MA = 2MB\). Bình phương độ dài đoạn thẳng \(OM\) bằng bao nhiêu?
Gọi \(M\left( {x;\,y;\,z} \right)\).
Vì điểm \(M\) thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(MA = 2MB\) nên
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2; - 2} \right)\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 3\); \(\overrightarrow {BC} = \left( {4;1;1} \right)\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 3\sqrt 2 \).
Theo giả thiết \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\) và có diện tích bằng \(6\sqrt 2 \) nên
\(\frac{1}{2}AB\left( {AD + BC} \right) = 6\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}.3.\left( {AD + 3\sqrt 2 } \right) = 6\sqrt 2 \)\( \Rightarrow AD = \sqrt 2 \)\( \Rightarrow AD = \frac{1}{3}BC\).
Do \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\) nên \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \).
Giả sử \(D\left( {a;b;c} \right)\) khi đó ta cóTa có
Với \(G\left( {3;2;0} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)và \(I\left( {2;4;0} \right)\)là trung điểm \(BC\), ta có:
Do \(G\) và \(I\) nằm cùng phía so với \(Ox\) nên gọi \(G'\left( {3; - 2;0} \right)\) là điểm đối xứng của \(G\) qua \(Ox\).
Khi đó
Đẳng thức xảy ra khi \(M\) là giao điểm của \(G'I\) và \(Ox\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( { - 2;3;1} \right)\), \(B\left( {2;1;0} \right)\), \(C\left( { - 3; - 1;1} \right)\). Gọi \(D\left( {a;b;c} \right)\) là điểm sao cho \(ABCD\) là hình thang có cạnh đáy \(AD\) và diệt tích hình thang \(ABCD\) bằng \(4\) lần diện tích tam giác \(ABC\). Tính \(a + b + c\).
Ta có \[{S_{ABCD}} = 4{S_{ABC}} \Leftrightarrow \frac{1}{2}d\left( {BC,AD} \right)\left( {BC + AD} \right) = 4.\frac{1}{2}d\left( {BC,AD} \right)BC\]
\[ \Leftrightarrow BC + AD = 4BC \Leftrightarrow AD = 3BC\]. Do \(ABCD\) là hình thang có đáy \(AD\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {BC} \)
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\vec a = \left( {3;1; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( { - 2;0; - 3} \right)\). Tích vô hướng \(\overrightarrow a .\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\) bằng
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho tứ diện \[ABCD\] có \[A\left( {2; - 1;1} \right)\], \[B\left( {3;0; - 1} \right)\], \[C\left( {2; - 1;3} \right)\], \[D \in Oy\] và thể tích tứ diện \[ABCD\] bằng \[5\]. Tổng tung độ của các điểm \[D\] thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng
Do
Khi đó
Ta có
Và
Vậy
Hai chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Bắc \(20\left( {km} \right)\) và về phía Tây \(10\left( {km} \right)\), đồng thời cách mặt đất \(0,7\left( {km} \right)\). Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Đông \(30\left( {km} \right)\) và về phía Nam \(25\left( {km} \right)\), đồng thời cách mặt đất \(1\left( {km} \right)\). Xác định khoảng cách giữa hai chiếc máy bay.
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\), với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc máy bay, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất, trục \(Ox\) hướng về phía Bắc, trục \(Oy\) hướng về phía Tây, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ).
Chiếc máy bay thứ nhất có tọa độ \(\left( {20;10;0,7} \right)\).
Chiếc máy bay thứ hai có tọa độ \(\left( { - 30; - 25;1} \right)\).
Do đó khoảng cách giữa hai chiếc máy bay là: \[\sqrt {{{\left( {20 + 30} \right)}^2} + {{\left( {10 + 25} \right)}^2} + {{\left( {0,7 - 1} \right)}^2}} \approx 61\left( {km} \right)\]
Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc khinh khí cầu thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông \(100\left( {km} \right)\) và về phía Nam \(80\left( {km} \right)\), đồng thời cách mặt đất \(1\left( {km} \right)\). Chiếc khinh khí cầu thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc \(70\left( {km} \right)\) và về phía Tây \(60\left( {km} \right)\), đồng thời cách mặt đất \(0,8\left( {km} \right)\).
Xác định khoảng cách giữa chiếc khinh khí cầu thứ nhất và chiếc khinh khí cầu thứ hai.
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\), với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc khinh khí cầu, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất, trục \(Ox\) hướng về phía Bắc, trục \(Oy\) hướng về phía Tây, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ).
Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ \(\left( { - 80; - 100;1} \right)\).
Chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ \(\left( {70;60;0,8} \right)\).
Khoảng cách giữa chiếc khinh khí cầu thứ nhất và chiếc khinh khí cầu thứ hai là:
\[\sqrt {{{\left( { - 80 - 70} \right)}^2} + {{\left( { - 100 - 60} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0,8} \right)}^2}} \approx 219\left( {km} \right)\]
Ba chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông \(60\left( {km} \right)\) và về phía Nam \(40\left( {km} \right)\), đồng thời cách mặt đất \(2\left( {km} \right)\). Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc \(80\left( {km} \right)\) và về phía Tây \(50\left( {km} \right)\), đồng thời cách mặt đất \(4\left( {km} \right)\). Chiếc máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng.
Xác định khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó.
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\), với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc máy bay, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất, trục \(Ox\) hướng về phía Bắc, trục \(Oy\) hướng về phía Tây, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ).
Chiếc máy bay thứ nhất có tọa độ \(\left( { - 60; - 40;2} \right)\).
Chiếc máy bay thứ hai có tọa độ \(\left( {80;50;4} \right)\).
Do chiếc máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng nên ở vị trí trung điểm, suy ra chiếc máy bay thứ ba có tọa độ \(\left( {\frac{{ - 60 + 80}}{2};\frac{{ - 40 + 50}}{2};\frac{{2 + 4}}{2}} \right) = \left( {10;5;3} \right)\).
Khoảng cách giữa chiếc máy bay thứ nhất và chiếc máy bay thứ hai:
\[\sqrt {{{\left( { - 60 - 80} \right)}^2} + {{\left( { - 40 - 50} \right)}^2} + {{\left( {2 - 4} \right)}^2}} \approx 166,4\left( {km} \right)\]
Khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó là:
\[\sqrt {{{10}^2} + {5^2} + {3^2}} \approx 11,6\left( {km} \right)\]
