Giải sbt Giải tích 12 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Học sinh tự giải

Học sinh tự giải

a) y′ = 3$x^2$ + 2(m + 3)x + m

y′ = 0 ⇔ 3$x^2$ + 2(m + 3)x + m = 0

Hàm số đạt cực trị tại x = 1 thì:

y′(1) = 3 + 2(m + 3) + m = 3m + 9 = 0 ⇔ m = −3

Khi đó,

y′ = 3$x^2$ – 3;

y′′ = 6x;

y′′(1) = 6 > 0;

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 khi m = 3.

b) y′ = −($m^2$ + 6m)$x^2$ − 4mx + 3

y′(−1) = −$m^2$ − 6m + 4m + 3 = (−$m^2$ − 2m – 1) + 4 = −(m + 1)2 + 4

Hàm số đạt cực trị tại x = -1 thì :

y′(−1) = −${(m+1)}^2$ + 4 = 0 ⇔ ${(m+1)}^2$ = 4

⇔ 

Với m = -3 ta có y’ = 9$x^2$ + 12x + 3

⇒ y′′ = 18x + 12

⇒ y′′(−1) = −18 + 12 = −6 < 0

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = -1.

Với m = 1 ta có:

y′ = −7$x^2$ − 4x + 3

⇒ y′′ = −14x − 4

⇒ y′′(−1) = 10 > 0

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

Kết luận: Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = -1 khi m = -3.

y' = 4(m - 1)$x^3$ - 2mx = 2x[2(m - 1)$x^2$ - m]

Hàm số có đúng một cực trị khi y' = 0 có đúng một nghiệm, tức là

2x[2(m - 1)$x^2$ - m] = 0 chỉ có nghiệm x = 0

Muốn vậy, phải có m = 1 hoặc 

⇒ 0 ≤ m ≤ 1.

Vậy với 0 ≤ m ≤ 1 hàm số đã cho có một cực trị duy nhất.

a) Tập xác định: D = R;

y′= 0 ⇔ 

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–$\infty$; 0), (4; +$\infty$).

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (0; 4).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, $y_{CĐ}$ = 5. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4, $y_{CT}$ = -3.

Đồ thị đi qua A(-2; -3); B(6;5).

b) $x^3$ – 6$x^2$ + m = 0

⇔ $x^3$ – 6$x^2$ = –m (1)

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình (1) bằng số giao điểm phân biệt của đồ thị (C)

và đường thẳng 

Suy ra (1) có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi:

a)

b) Tịnh tiến (C) song song với trục Ox sang trái 1 đơn vị, ta được đồ thị (C1) của hàm số.

y = f(x) = −${(x+1)}^3$ + 3(x + 1) + 1 hay f(x) = −${(x+1)}^3$ + 3x + 4 (C1)

Lấy đối xứng (C1) qua trục Ox, ta được đồ thị (C’) của hàm số y = g(x) = ${(x+1)}^3$ − 3x – 4

c) Ta có: ${(x+1)}^3$ = 3x + m (1)

⇔ ${(x+1)}^3$ − 3x – 4 = m – 4

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đường :

y = g(x) = ${(x+1)}^3$ − 3x – 4 (C’) và y = m – 4 (d1)

Từ đồ thị, ta suy ra:

    +) m > 5 hoặc m < 1: phương trình (1) có một nghiệm.

    +) m = 5 hoặc m = 1 : phương trình (1) có hai nghiệm.

    +) 1 < m < 5 , phương trình (1) có ba nghiệm.

d) Vì (d) vuông góc với đường thẳng:

nên ta có hệ số góc bằng 9.

Ta có: g′(x) = 3${(x+1)}^2$ – 3

g′(x) = 9 ⇔ 

Có hai tiếp tuyến phải tìm là:

y – 1 = 9(x – 1) ⇔ y = 9x – 8;

y + 3 = 9(x + 3) ⇔ y = 9x + 24.

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

2(x − k) = ${(x-1)}^2$ hoặc 2(x − k) = -${(x-1)}^2$

Ta vẽ đồ thị của hai hàm số: y = −$x^2$ + 4x – 1 và y = $x^2$ + 1

Từ đồ thị ta suy ra:

    • 2k > 3 : phương trình có hai nghiệm;

    • 2k = 3 : phương trình có ba nghiệm;

    • 2 < 2k < 3 : phương trình có bốn nghiệm;

    • 2k = 2 : phương trình có ba nghiệm;

    • 1 < 2k < 2 : phương trình có bốn nghiệm ;

    • 2k = 1 : phương trình có ba nghiệm ;

    • 2k < 1 : phương trình có hai nghiệm.

(1) : phương trình có bốn nghiệm;

(2): phương trình có ba nghiệm ;

(3): phương trình có hai nghiệm.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = (x + 1)2.(2 − x).

y = −$x^3$ + 3x + 2 ⇒ y′ = −3$x^2$ + 3

y′=0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Từ đồ thị hàm số ta suy ra:

    • k > 4 hoặc k < 0: phương trình có một nghiệm;

    • k = 4 hoặc k = 0 : phương trình có hai nghiệm;

    • 0 < k < 4: phương trình có ba nghiệm.

a) y = $x^3$ − (m + 4)$x^2$ − 4x + m

⇔ ($x^2$ − 1)m + y − $x^3$ + 4$x^2$ + 4x = 0

Đồ thị của hàm số (1) luôn luôn đi qua điểm A(x; y) với mọi m khi (x; y) là nghiệm của hệ phương trình:

Giải hệ, ta được hai nghiệm:

Vậy đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua hai điểm (1; -7) và (-1; -1).

b) y′ = 3$x^2$ − 2(m + 4)x – 4

Δ′ = ${(m+4)}^2$ + 12

Vì Δ’ > 0 với mọi m nên y’ = 0 luôn luôn có hai nghiệm phân biệt (và đổi dấu khi qua hai nghiệm đó). Từ đó suy ra đồ thị của (1) luôn luôn có cực trị.

c) Học sinh tự giải.

d) Với m = 0 ta có: y = $x^3$ – 4$x^2$ – 4x.

Đường thẳng y = kx sẽ cắt (C) tại ba điểm phân biệt nếu phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: $x^3$ – 4$x^2$ – 4x = kx.

Hay phương trình $x^2$ – 4x – (4 + k) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là:

a) Tập xác định: D = R

y′=0 ⇔ 

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và (1; +$\infty$)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−$\infty$; −1); (0; 1)

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; $y_{CĐ}$ = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 hoặc x = -1; $y_{CT}$ = −2

Đồ thị có hai điểm uốn:

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị cắt trục hoành tại:

b) Ta có: $x^2$|$x^2$ − 2| = m

⇔ 2$x^2$ |$x^2$ − 2| = 2m

⇔|2$x^2$($x^2$ − 2)| = 2m

⇔|2$x^4$ − 4$x^2$| = 2m

Từ đồ thị hàm số y = 2$x^4$ – 4$x^2$ có thể suy ra đồ thị của hàm số y = |2$x^4$ − 4$x^2$| như sau:

Phương trình: |2$x^4$ − 4$x^2$| = 2m có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = 2m có 6 nghiệm phân biệt với đồ thị (H)

⇔ 0 < 2m < 2

⇔ 0 < m < 1