Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

2(x − k) = ${\left(\mathrm{x}-1\right)}^2$ hoặc 2(x − k) = -${\left(\mathrm{x}-1\right)}^2$

Ta vẽ đồ thị của hai hàm số: y = −${\mathrm{x}}^2$ + 4x – 1 và y = ${\mathrm{x}}^2$ + 1

Từ đồ thị ta suy ra:

    • 2k > 3 : phương trình có hai nghiệm;

    • 2k = 3 : phương trình có ba nghiệm;

    • 2 < 2k < 3 : phương trình có bốn nghiệm;

    • 2k = 2 : phương trình có ba nghiệm;

    • 1 < 2k < 2 : phương trình có bốn nghiệm ;

    • 2k = 1 : phương trình có ba nghiệm ;

    • 2k < 1 : phương trình có hai nghiệm.

(1) : phương trình có bốn nghiệm;

(2): phương trình có ba nghiệm ;

(3): phương trình có hai nghiệm.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = ${\left(\mathrm{x}+1\right)}^2$.(2 − x).

y = −$x^3$ + 3x + 2 ⇒ y′ = −3$x^2$ + 3

y′=0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Từ đồ thị hàm số ta suy ra:

    • k > 4 hoặc k < 0: phương trình có một nghiệm;

    • k = 4 hoặc k = 0 : phương trình có hai nghiệm;

    • 0 < k < 4: phương trình có ba nghiệm.

y = ${\mathrm{x}}^3$ − (m + 4)${\mathrm{x}}^2$ − 4x + m

⇔ (${\mathrm{x}}^2$ − 1)m + y − ${\mathrm{x}}^3$ + 4${\mathrm{x}}^2$ + 4x = 0

Đồ thị của hàm số (1) luôn luôn đi qua điểm A(x; y) với mọi m khi (x; y) là nghiệm của hệ phương trình:

Giải hệ, ta được hai nghiệm:

Vậy đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua hai điểm (1; -7) và (-1; -1).

y′ = 3${\mathrm{x}}^2$ − 2(m + 4)x – 4

$∆$′ = ${\left(\mathrm{m}+4\right)}^2$ + 12

Vì $∆$’ > 0 với mọi m nên y’ = 0 luôn luôn có hai nghiệm phân biệt (và đổi dấu khi qua hai nghiệm đó). Từ đó suy ra đồ thị của (1) luôn luôn có cực trị.

Với m = 0 ta có: y = ${\mathrm{x}}^3$ – 4${\mathrm{x}}^2$ – 4x.

Đường thẳng y = kx sẽ cắt (C) tại ba điểm phân biệt nếu phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: ${\mathrm{x}}^3$ – 4${\mathrm{x}}^2$ – 4x = kx.

Hay phương trình ${\mathrm{x}}^2$ – 4x – (4 + k) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là:

Tập xác định: D = R

y′=0 ⇔ 

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và (1; +$\infty$)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−$\infty$; −1); (0; 1)

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; ${\mathrm{y}}_{\mathrm{CĐ}}$ = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 hoặc x = -1; ${\mathrm{y}}_{\mathrm{CT}}$ = −2

Đồ thị có hai điểm uốn:

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị cắt trục hoành tại

Ta có: ${\mathrm{x}}^2$|${\mathrm{x}}^2$ − 2| = m

⇔ 2${\mathrm{x}}^2$ |${\mathrm{x}}^2$ − 2| = 2m

⇔|2${\mathrm{x}}^2$(${\mathrm{x}}^2$ − 2)| = 2m

⇔|2${\mathrm{x}}^4$ − 4${\mathrm{x}}^2$| = 2m

Từ đồ thị hàm số y = 2${\mathrm{x}}^4$ – 4${\mathrm{x}}^2$ có thể suy ra đồ thị của hàm số y = |2${\mathrm{x}}^4$ − 4${\mathrm{x}}^2$| như sau:

Phương trình: |2${\mathrm{x}}^4$ − 4${\mathrm{x}}^2$| = 2m có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = 2m có 6 nghiệm phân biệt với đồ thị (H)

⇔ 0 < 2m < 2

⇔ 0 < m < 1

⇔ ${\mathrm{x}}^4$ − 8${\mathrm{x}}^2$ − 9 = 0

⇔ (${\mathrm{x}}^2$ + 1)(${\mathrm{x}}^2$ − 9) = 0

⇔ 

(C) cắt trục Ox tại x = -3 và x = 3

Ta có: y′ = ${\mathrm{x}}^3$ − 4x

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3 và x = -3 lần lượt là:

y = y′(3)(x – 3) và y = y′(−3)(x + 3)

Hay y = 15(x – 3) và y = −15(x + 3)

Từ đó, ta có:

k = −9/4: (C) và (P) có một điểm chung là (0; −9/4)

k > −9/4: (C) và (P) có hai giao điểm.

k < −9/4: (C) và (P) không cắt nhau.

Ta có: y(1) = -3 , y(3) = 7

Từ đó ta có hai phương trình tiếp tuyến phải tìm là:

y + 3 = −5(x – 1) ⇔ y = −5x + 2

y – 7 = −5(x – 3) ⇔ y = −5x + 22

Xét hàm số: $\mathrm{y}=\frac{4-\mathrm{x}}{2\mathrm{x}+3\mathrm{m}}$

TXĐ: R \ {−3m/2}

    +) Nếu m < −8/3, y′ > 0 suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng 

    +) Nếu m > −8/3, y′ < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng

    +) Nếu m = −8/3 thì y = −1/2 khi x $\ne$ 4

Ta có:

nên với mọi m, đường thẳng y = -1/2 là tiệm cận ngang và đi qua 

Số giao điểm của (${\mathrm{C}}_{\mathrm{m}}$) và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là số nghiệm của phương trình:

Ta có:

⇔ 2${\mathrm{x}}^2$ + (3m + 1)x – 4 = 0 ⇔ 2${\mathrm{x}}^2$ + (3m + 1) x – 4 = 0 với x $\ne$ −3m/2

    +) Thay x = −3m/2 vào (*), ta có:

Như vậy, để x = −3m/2 không là nghiệm của phương trình (*) ta phải có m $\ne$ −8/3.

Ta có: $∆$ = ${\left(3\mathrm{m}+1\right)}^2$ + 32 > 0, $\forall$ m. Từ đó suy ra với m $\ne$−8/3 đường thẳng y = x luôn cắt (${\mathrm{C}}_{\mathrm{m}}$) tại hai điểm phân biệt.

Ta có:

Trước hết, ta vẽ đồ thị (C) của hàm số

TXĐ: D = R \ {−3/2}.

Vì 

với mọi nên hàm số nghịch biến trên các khoảng

Bảng biến thiên:

Tiệm cận đứng x = −3/2

Tiệm cận ngang y = −1/2

Đồ thị (C) đi qua các điểm (−2;−6),(−1;5),(0;4/3),(4;0)

Để vẽ đồ thị (C’) của hàm số , ta giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Đáp án: C.

y' = 3${\mathrm{x}}^2$ + 2(m + 3)x + m

y'(1) = 3 + 2(m + 3) + m = 3m + 9 = 0 ⇔ m = -3

Với m = -3, y' = 3${\mathrm{x}}^2$ - 3 ⇒ y''(x) = 6x.

Vì y''(1) = 6 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu khi m = -3.

Đáp án: A.

Hàm số y = ${\mathrm{x}}^4$ + (${\mathrm{m}}^2$ - 4)${\mathrm{x}}^2$ + 5 có 3 cực trị khi y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt, tức là

y' = 4${\mathrm{x}}^3$ + 2(${\mathrm{m}}^2$ - 4) = 2x(2${\mathrm{x}}^2$ + ${\mathrm{m}}^2$ - 4) = 0 có ba nghiệm phân biệt

⇔ 2${\mathrm{x}}^2$ + ${\mathrm{m}}^2$ - 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.

⇔ 4 - ${\mathrm{m}}^2$ > 0 ⇔ -2 < m < 2.

Đáp án: C

Đáp án: D.

y' = 3${\mathrm{x}}^2$ - 6(m - 1)x - 3(m + 1)

y' = 0 ⇔ ${\mathrm{x}}^2$ - 2(m - 1)x - m - 1 = 0

$∆$' = ${\left(\mathrm{m}-1\right)}^2$ + m + 1 = ${\mathrm{m}}^2$ - m + 2 $\ge$ 0

Tam thức ${\mathrm{m}}^2$ - m + 2 luôn dương với mọi m $\in$ R vì $\mathrm{\delta }$ = 1 - 8 < 0 và a = 1 > 0 cho nên phương y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị m ∈ R.

Đáp án: C.

y' = 4${\mathrm{x}}^3$ - 4x = 4x(${\mathrm{x}}^2$ - 1). Ta có

y - y(-2) = y'(-2)(x + 2) ⇔ y - 8 = -24(x + 2) ⇔ y = -24x - 40.

Đáp án: A.

y' = 4${\mathrm{x}}^3$ - 4x.

Tiếp tuyến phải tìm đi qua điểm có hoành độ thỏa mãn

4${\mathrm{x}}^3$ - 4x = 24 ⇔ ${\mathrm{x}}^3$ - x - 6 = 0 ⇔ (x - 2)(${\mathrm{x}}^2$ + 2x + 3) = 0 ⇔ x = 2.

Do đó phương trình tiếp tuyến phải tìm là

y - y(2) = 24(x - 2) ⇔ y = 24x - 43.

Đáp án: A.

Gợi ý: Thử trực tiếp vào phương trình