(Đúng sai) 32 bài tập Phương trình mặt phẳng (có lời giải) - Đề 2

A. \(\overrightarrow {AB}  = (3;1;2)\). ĐÚNG

B. Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với \(AB\) có phương trình là \(3x + y + 2z - 3 = 0\). ĐÚNG

C. Nếu \(I\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\) thì \(I\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};1} \right)\). ĐÚNG        

D. Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng \(AB\)có phương trình là \(3x + y + 2z - 12 = 0\). ĐÚNG

A. Điểm \(A\) có tọa độ là \(A\left( {1;0;0} \right)\). ĐÚNG                    

B. Điểm \(B\) có tọa độ là \(A\left( {1;2;0} \right)\). SAI              

C. Phương trình mặt phẳng (ABC)  là x1+y2+z3=0.SAI

D. Phương trình mặt phẳng (ABC)  là x1+y2+z3=1. ĐÚNG

A. Điểm \({A_1}\) có tọa độ là \({A_1}\left( {3;5;0} \right)\). ĐÚNG

B. Phương trình mặt phẳng đi qua các điểm A1,A2,A3 là10x+6y+15z-60=0 ĐÚNG

C. Phương trình mặt phẳng đi qua các điểm A1,A2,A3 là10x+6y+15z-90=0 Sai 

D. Phương trình mặt phẳng đi qua các điểm A1,A2,A3 là x1+y5+z2=1. Sai 

A. AB→=(-6;2;2) Đúng 

B. Nếu \(I\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\) thì I(1;1;2). Đúng

C. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là x+y+2z-6=0 Sai 

D. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là 3x-y-z=0         Đúng 

A. \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1; - 1} \right)\)           SAI

B. Phương trình mặt phẳng (Q) qua A,B và vuông góc với (P) là \(x + z = 0\).     

C. Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng (P)  là:  \[d(A,(P)) = \frac{{7\sqrt 6 }}{6}\] ĐÚNG

D. Phương trình mặt phẳng (Q) qua A,B và vuông góc với (P) là \(3x - y + z = 0\). Sai

a) Sai

\(1 - 5 + 2.\left( { - 2} \right) - 1 =  - 9 \ne 0\) nên \(\left( \alpha  \right)\) không đi qua điểm \(A\)

b) Sai\(d\left( {B;\,\alpha } \right) = \frac{{\left| {3 - 1 - 2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 3 \ne 11

c) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {1;\, - 1;\,2} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left( {1;\, - 1;\, - 1} \right)\)

\(\overrightarrow {{n_\alpha }} .\;\overrightarrow {{n_\beta }}  = 1.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 1} \right) = 0\). Suy ra, \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với \(\left( \beta  \right)\).

d) Gọi \(M\left( {2;\,3;\,0} \right)\) là trung điểm của \(AB\).

 \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;\, - 4;\,4} \right)\)

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và nhận vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;\, - 4;\,4} \right)\) là \(2.\left( {x - 2} \right) - 4.\left( {y - 3} \right) + 4.\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2z + 4 = 0\)

Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình là \(z = 0\).

Gọi \(\varphi \) là góc tạo bởi mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) và mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]

\(\cos \varphi  = \frac{{\left| {1.\,0 + \,\left( { - 2} \right).0 + 2.\,1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}.\)

a) Đúng

Vectơ \(\left( {1;\, - 1;\,2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\).

b) Đúng 

Ta có: \(2.0 + \left( { - 1} \right) - 1 + 3 = 1 \ne 0\). Suy ra, \(\left( \beta  \right)\) không đi qua điểm \(B\left( {0;\, - 1;\,1} \right)\)

c) Đúng 

Ta có: \(\frac{1}{2} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} = \frac{2}{4} \ne \frac{{ - 1}}{3}\). Suy ra \(\left( \alpha  \right)//\,\left( \gamma  \right)\).

d) Sai

Ta có: \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {1;\, - 1;\,2} \right);\,\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left( {2;\,1;\, - 1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( { - 1;\,5;\,3} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( \gamma  \right)\) vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\,\left( \beta  \right)\) nên nhận cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\,\overrightarrow {{n_\beta }} \)

Suy ra, \(\left( \gamma  \right)\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;\, - 5;\, - 3} \right)\) có dạng \(x - 5y - 3z + D = 0\)

Mặt khác, \(d\left( {A;\,\gamma } \right) = \frac{{\left| {0 - 5.\,1 - 3.\,\left( { - 3} \right) + D} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {35} }}{5}\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}D = 3\\D =  - 11\end{array} \right.\)

Vậy, mặt phẳng \(\left( \gamma  \right)\) có phương trình là \(\left[ \begin{array}{l}x - 5y - 3z + 3 = 0\\x - 5y - 3z - 11 = 0\end{array} \right.\).

a- đúng

b-sai 

c- Đúng 

d - Đúng 

a) Sai

\(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\left( {3;\, - 2;\,1} \right)\).

b- Sai

Ta có : \(\frac{3}{5} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 4}} \ne \frac{1}{3}\) nên \(\left( P \right)\) không song song \(\left( Q \right)\).

c) \(d\left( {A;Q} \right) = \frac{{\left| {5.2 - 4.\left( { - 1} \right) + 3.5 + 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {3^2}} }} = 3\sqrt 2  \ne 2\)

d- đúng

Mặt phẳng \(\left( R \right)\) chứa \(Ox\) nên \(\left( R \right)\) đi qua điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i  = \left( {1;\,0;\,0} \right)\)và mặt phẳng \(\left( R \right)\)vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên nhận vectơ \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {3;\, - 2;\,1} \right)\) làm vectơ chỉ phương

Suy ra, \(\left( R \right)\)có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow i ;\,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {0;\, - 1;\, - 2} \right)\).

Khi đó, mặt phẳng \(\left( R \right)\)có phương trình : \(0.\left( {x - 0} \right) - 1.\left( {y - 0} \right) - 2.\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow y + 2z = 0\)

Gọi \(\varphi \) là góc tạo bởi mặt phẳng \(\left( R \right)\) và \(\left( Q \right)\). Vậy,

\(\cos \varphi  = \frac{{\left| {0.5 + 1.\left( { - 4} \right) + 2.3} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{2}{{5\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{25}}\) \( \Rightarrow \varphi  = {82^o}44'\).

a-Đúng

Phương trình \(2x + 2y - z + 15 = 0\) có \(A = 2,B = 2,C =  - 1\) nên vectơ \(\vec n = (2;2; - 1)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Vì \(IH \bot (P)\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {IH} \) và \(\vec n\) có giá song song hoặc trùng nhau. Suy ra \(\overrightarrow {IH} \) và \(\vec n\) cùng phương.

Khi đó, \(\overrightarrow {IH}  = t\vec n\) với \(t\) là một số thực nào đó. Với \(\overrightarrow {IH}  = \left( {{x_H} - 1;{y_H} - 2;{z_H} - 3} \right)\), \(t\vec n = (2t;2t; - t)\), ta có:

\(\overrightarrow {IH}  = t\vec n \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} - 1 = 2t}\\{{y_H} - 2 = 2t}\\{{z_H} - 3 =  - t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} = 1 + 2t}\\{{y_H} = 2 + 2t}\\{{z_H} = 3 - t}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra \(H(1 + 2t;2 + 2t;3 - t)\). Mà \(H\) thuộc \((P):2x + 2y - z + 15 = 0\) nên

\(2(1 + 2t) + 2(2 + 2t) - (3 - t) + 15 = 0 \Leftrightarrow t =  - 2.{\rm{ }}\)Vậy \(H( - 3; - 2;5)\).

b- Sai

= (2;2; - 1)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Vì \(IH \bot (P)\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {IH} \) và \(\vec n\) có giá song song hoặc trùng nhau. Suy ra \(\overrightarrow {IH} \) và \(\vec n\) cùng phương.

Khi đó, \(\overrightarrow {IH}  = t\vec n\) với \(t\) là một số thực nào đó. Với \(\overrightarrow {IH}  = \left( {{x_H} - 1;{y_H} - 2;{z_H} - 3} \right)\), \(t\vec n = (2t;2t; - t)\), ta có:

\(\overrightarrow {IH}  = t\vec n \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} - 1 = 2t}\\{{y_H} - 2 = 2t}\\{{z_H} - 3 =  - t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} = 1 + 2t}\\{{y_H} = 2 + 2t}\\{{z_H} = 3 - t}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra \(H(1 + 2t;2 + 2t;3 - t)\). Mà \(H\) thuộc \((P):2x + 2y - z + 15 = 0\) nên

\(2(1 + 2t) + 2(2 + 2t) - (3 - t) + 15 = 0 \Leftrightarrow t =  - 2.{\rm{ }}\)Vậy \(H( - 3; - 2;5)\).

c - Đúng

Phương trình \(2x + 2y - z + 15 = 0\) có \(A = 2,B = 2,C =  - 1\) nên vectơ \(\vec n = (2;2; - 1)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Vì \(IH \bot (P)\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {IH} \) và \(\vec n\) có giá song song hoặc trùng nhau. Suy ra \(\overrightarrow {IH} \) và \(\vec n\) cùng phương.

Khi đó, \(\overrightarrow {IH}  = t\vec n\) với \(t\) là một số thực nào đó. Với \(\overrightarrow {IH}  = \left( {{x_H} - 1;{y_H} - 2;{z_H} - 3} \right)\), \(t\vec n = (2t;2t; - t)\), ta có:

\(\overrightarrow {IH}  = t\vec n \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} - 1 = 2t}\\{{y_H} - 2 = 2t}\\{{z_H} - 3 =  - t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} = 1 + 2t}\\{{y_H} = 2 + 2t}\\{{z_H} = 3 - t}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra \(H(1 + 2t;2 + 2t;3 - t)\). Mà \(H\) thuộc \((P):2x + 2y - z + 15 = 0\) nên

\(2(1 + 2t) + 2(2 + 2t) - (3 - t) + 15 = 0 \Leftrightarrow t =  - 2.{\rm{ }}\)Vậy \(H( - 3; - 2;5)\).

d- Sai

Phương trình \(2x + 2y - z + 15 = 0\) có \(A = 2,B = 2,C =  - 1\) nên vectơ \(\vec n = (2;2; - 1)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Vì \(IH \bot (P)\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {IH} \) và \(\vec n\) có giá song song hoặc trùng nhau. Suy ra \(\overrightarrow {IH} \) và \(\vec n\) cùng phương.

Khi đó, \(\overrightarrow {IH}  = t\vec n\) với \(t\) là một số thực nào đó. Với \(\overrightarrow {IH}  = \left( {{x_H} - 1;{y_H} - 2;{z_H} - 3} \right)\), \(t\vec n = (2t;2t; - t)\), ta có:

\(\overrightarrow {IH}  = t\vec n \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} - 1 = 2t}\\{{y_H} - 2 = 2t}\\{{z_H} - 3 =  - t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} = 1 + 2t}\\{{y_H} = 2 + 2t}\\{{z_H} = 3 - t}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra \(H(1 + 2t;2 + 2t;3 - t)\). Mà \(H\) thuộc \((P):2x + 2y - z + 15 = 0\) nên

\(2(1 + 2t) + 2(2 + 2t) - (3 - t) + 15 = 0 \Leftrightarrow t =  - 2.{\rm{ }}\)Vậy \(H( - 3; - 2;5)\).

a- Đúng 

b- Sai

c-Sai

d - Đúng 

a- Đúng

Ta có: \(( - 3) - 3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 + 1 =  - 6 \ne 0\) nên \(I\) không thuộc \((P)\).

Vectơ \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Vì \((P)//(Q)\) mà \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\), tức là giá của \(\vec n\) không vuông góc với \((P)\) nên giá của \(\vec n\) không vuông góc với \((Q)\), hay \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\).

Ta có: \(\vec m = (1; - 3; - 4)\) là một vectơ pháp tuyến của \((P)\). Vì \((R)//(P)\) nên \(\vec m\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((R)\). Phương trình mặt phẳng \((R)\) là:

\({\rm{ 1}}{\rm{.}}(x + 3) - 3 \cdot (y - 0) - 4 \cdot (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4z + 7 = 0.{\rm{ }}\)

b ) Sai

Ta có: \(( - 3) - 3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 + 1 =  - 6 \ne 0\) nên \(I\) không thuộc \((P)\).

Vectơ \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Vì \((P)//(Q)\) mà \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\), tức là giá của \(\vec n\) không vuông góc với \((P)\) nên giá của \(\vec n\) không vuông góc với \((Q)\), hay \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\).

Ta có: \(\vec m = (1; - 3; - 4)\) là một vectơ pháp tuyến của \((P)\). Vì \((R)//(P)\) nên \(\vec m\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((R)\). Phương trình mặt phẳng \((R)\) là:

\({\rm{ 1}}{\rm{.}}(x + 3) - 3 \cdot (y - 0) - 4 \cdot (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4z + 7 = 0.{\rm{ }}\)

c- Sai

Ta có: \(( - 3) - 3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 + 1 =  - 6 \ne 0\) nên \(I\) không thuộc \((P)\).

Vectơ \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Vì \((P)//(Q)\) mà \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\), tức là giá của \(\vec n\) không vuông góc với \((P)\) nên giá của \(\vec n\) không vuông góc với \((Q)\), hay \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\).

Ta có: \(\vec m = (1; - 3; - 4)\) là một vectơ pháp tuyến của \((P)\). Vì \((R)//(P)\) nên \(\vec m\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((R)\). Phương trình mặt phẳng \((R)\) là:

\({\rm{ 1}}{\rm{.}}(x + 3) - 3 \cdot (y - 0) - 4 \cdot (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4z + 7 = 0.{\rm{ }}\)

d- Sai

Ta có: \(( - 3) - 3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 + 1 =  - 6 \ne 0\) nên \(I\) không thuộc \((P)\).

Vectơ \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Vì \((P)//(Q)\) mà \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\), tức là giá của \(\vec n\) không vuông góc với \((P)\) nên giá của \(\vec n\) không vuông góc với \((Q)\), hay \(\vec n = (1; - 3;4)\) không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\).

Ta có: \(\vec m = (1; - 3; - 4)\) là một vectơ pháp tuyến của \((P)\). Vì \((R)//(P)\) nên \(\vec m\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((R)\). Phương trình mặt phẳng \((R)\) là:

\({\rm{ 1}}{\rm{.}}(x + 3) - 3 \cdot (y - 0) - 4 \cdot (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4z + 7 = 0.{\rm{ }}\)