Chọn C

Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: $\overrightarrow{BC}=(-4;2;0)$.

Phương trình mặt phẳng:

$-4(x-0)+2(y-1)+0(z-2)=0\iff 4x+2y-2=0\iff 2x-y+1=0$.

Chọn B

Ta có $\overrightarrow{AB=}\left(2;2;1\right)$, vectơ pháp tuyến mặt phẳng $\left(Q\right):\overrightarrow{n_a}=(1;2-1)$.

Theo đề bài ta có vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P): $\overrightarrow{n_P}=\overrightarrow{n}a\wedge \overrightarrow{AB}=(4;-3;-2)$.

Phương trình mặt phẳng (P)  có dạng $4x-3y-2z+C=0$.

Mặt phẳng (P) đi qua $A(0;1;0)$ nên: $-3+C=0\iff C=3$.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là $4x-3y-2z+3=0$.

Chọn C

Véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(3;-2;2),{\overrightarrow{n}}_{\beta }=(5;-4;3)$,.

$\Rightarrow \left[{\overrightarrow{n}}_{\alpha },{\overrightarrow{n}}_{\beta }\right]=(2;1;-2)$

Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O,VTPT $\overrightarrow{n}=(2;1;-2):2x+y-2z=0$

Chọn A

Vì (Q) vuông góc với (P) nên (Q) nhận vtpt $\overrightarrow{n}=(1;-3;2)$của (P) làm vtcp

Mặt khác (Q) đi qua A và B nên (Q)nhận$\overrightarrow{AB}=(-3;-3;2)$  làm vtcp

(Q) nhận $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left[\overrightarrow{n},\overrightarrow{AB}\right]=(0;8;12)$ làm vtpt

Vậy phương trình mặt phẳng (Q):0(x+1)+8(y-1(+12(z-3)=0 , hay (Q):2y+3z-11=0

Vậy a+b+c=5. Chọn A.

Chọn A

(P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=(1;-3;2)$, (Q) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;0;-1)$.

Vì mặt phẳng ($\alpha$) vuông góc với cả (P) và (Q) nên ($\alpha$) có một vectơ pháp tuyến là

$\left[{\overrightarrow{n}}_P,{\overrightarrow{n}}_{\alpha }\right]=(3;3;3)=3(1;1;1)$.

Vì mặt phẳng ($\alpha$) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 nên ($\alpha$0 đi qua điểm M(3;0;0).

Vậy ($\alpha$) đi qua điểmM(3;0;0). và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;1;1)$ nên ($\alpha$) có phương trình:

x+y+z-3=0

Chọn C

$\overrightarrow{AB}=(-6;3;1)$.

$\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=(3;1;1)$ là VTPT của mp(Q).

Mp(P) chứa hai điểm A(3;2;1), B(-3;5;2) và vuông góc với mặt phẳng (Q).

$A(3;2;1) \in \left(P\right)$

$\Rightarrow \left(P\right):2x+9y-15z-9=0$ hoặc $\left(P\right):-2Xx-9y+15z+9=0$

Mặt khác (P): ax+by+cz-9=0$\Rightarrow$a=2,b=9,c=-15

Vậy S= a+b+c=2+9+(-15)=-4

Chọn D 

Mặt phẳng (Q):x+y+3z=0, (R): 2x-y+z=0 có các vectơ pháp tuyến lần lượt là  và $\overrightarrow{n_1}=(1;1;3) và \overrightarrow{n_2}=(2;-1;1)$.

Vì (P)  vuông góc với hai mặt phẳng (Q), (R) nên (P) có vectơ pháp tuyến là$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right]=(4;5;-3)$

Ta lại có (P)  đi qua điểm B(2;1;-3)  nên  (P): 4(x-2)+5(y-1)-3(z+3)=0 $\iff$4x+5y-3z-22=0

Chọn A

Áp dung công thức\[d({M_0},(\alpha )) = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]

Ta được: \(d(M,(P)) = \frac{{\left| {3A + C + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {C^2}} }}\)

Chọn C

Khoảng cách $d$ từ \(A\)đến \(\left( P \right)\)là \(d(A,\,(P)) = \frac{{\left| {3{x_A} + 4{y_A} + 2{z_A} + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {3 - 8 + 6 + 4} \right|}}{{\sqrt {29} }}\)

\( \Rightarrow d(A,\,(P)) = \frac{5}{{\sqrt {29} }}\)

Chọn C

Ta có \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 2.2 + 0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{5}{3}\).

Chọn A

\[d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 + 2.\left( { - 3} \right) - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| { - 11} \right|}}{3} = \frac{{11}}{3}\].

Chọn C

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {3;1; - 2} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(MH = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3 - 1 + 2.\left( { - 2} \right) - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1\).

Chọn D

\(AH = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 2 - 6 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 1\).

Chọn A

\(d\left( {M,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {{z_M}} \right| = 6\); \(d(M,(Oyz)) = \left| {{x_M}} \right| = 4.\)

Chọn D

Chọn A

Điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy) nên \(d\left( {C,(Oxy)} \right) = 0\)

Chọn C

Lấy \(A\left( {2;1;3} \right) \in \left( P \right)\).Do \(\left( P \right)\) song song với \(\left( Q \right)\) nên

Ta có \[d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 2.1 + 2.3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{7}{3}\]

Chọn A

\(\left( P \right):x + 2y + 3z - 1 = 0\) \(\left( Q \right):x + 2y + 3z + 6 = 0\). Ta có: \(\frac{1}{1} = \frac{2}{2} = \frac{3}{3} \ne \frac{{ - 1}}{6}\)

trắc nghiệm: \(\)

Công thức tính nhanh: \(\) \(\left( P \right):Ax + By + Cz + {D_1} = 0;\,\,\left( Q \right)Ax + By + Cz + {D_2} = 0\)

d\(\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right)\) =\(\frac{{\left| {{D_2} - {D_1}} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

\(\left( P \right)\)//\(\left( Q \right)\) áp dụng công thức: d\(\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right)\) \( = \frac{{\left| { - 1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\).

Chọn B

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)//\left( Q \right)\\A\left( {8;0;0} \right) \in \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = d\left( {A;\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {8 + 2.0 + 2.0 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{3}.\]

Nhận xét:

Nếu mặt phẳng \[\left( P \right):ax + by + cz + d\] và \[\left( Q \right):ax + by + cz + d'\] \[\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0} \right)\] song song với nhau \[\left( {d \ne d'} \right)\] thì \[d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {d - d'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}.\].

Chọn B

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,x - y - z - 2 = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1; - 1} \right)\).

Mà \(\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 2 - 1 - 1 = 0\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{n_Q}} \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( Q \right)\).

Vậy mặt phẳng \(x - y - z - 2 = 0\) là mặt phẳng cần tìm.

Chọn B

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có véc tơ pháp tuyến \(\mathop {{n_1}}\limits^ \to \left( {2;m;3} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có véc tơ pháp tuyến \(\mathop {{n_2}}\limits^ \to \left( {n; - \;8; - \;6} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)//\left( Q \right) \Rightarrow \mathop {{n_1}}\limits^ \to = k\mathop {{n_2}}\limits^ \to \;(k \in \mathbb{R}) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = kn\\m = - \;8k\\3 = - \;6k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = - \frac{1}{2}\\m = 4\\n = - \;4\end{array} \right.\)

Chọn D

Hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi

\(1.m - 2.1 + 2.\left( { - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow m = 6\)

Chọn C

\(\left( P \right):x + y + z - 1 = 0\) có VTPT \(\overrightarrow a = \left( {1;1;1} \right)\)

\(\left( Q \right):2x + my + 2z + 3 = 0\) có VTPT \(\overrightarrow b = \left( {2;m;2} \right)\)

\(\left( R \right): - x + 2y + nz = 0\) có VTPT \(\overrightarrow c = \left( { - 1;2;n} \right)\)

\(\left( P \right) \bot \left( R \right) \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow c = 0 \Leftrightarrow n = - 1\)

\(\left( P \right)//\left( Q \right) \Leftrightarrow \frac{2}{1} = \frac{m}{1} = \frac{2}{1} \Leftrightarrow m = 2\)

Vậy \(m + 2n = 2 + 2\left( { - 1} \right) = 0\)