Chọn D

Gọi \[(P):\left\{ \begin{array}{l}qua{\rm{ }}A(1;0;0)\\VTPT{\rm{ }}\overrightarrow n = (A;B;C) \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\]

\[\begin{array}{l}(P):A.(x - 1) + By + Cz = 0\\B \in (P): - A - 2B + 3C = 0 \Leftrightarrow A = - 2B + 3C{\rm{ (1)}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l}d(C;(P)) = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \frac{{\left| {B + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow 3({B^2} + {C^2} + 2BC) = 4({A^2} + {B^2} + {C^2})\\ \Leftrightarrow {B^2} + {C^2} - 6BC + 4{A^2} = 0{\rm{ (2)}}\end{array}\]

Thay \[{\rm{(1)}}\] vào \[{\rm{(2)}}\] ta có: \[{B^2} + {C^2} - 6BC + 4{( - 2B + 3C)^2} = 0 \Leftrightarrow 17{B^2} - 54BC + 37{C^2} = 0\]

Cho \[C = 1:{\rm{ }}17{B^2} - 54B + 37 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B = 1 \Rightarrow A = 1\\B = \frac{{37}}{{17}} \Rightarrow A = \frac{{ - 23}}{{17}}\end{array} \right.\]

\[\begin{array}{l}(P):x + y + x - 1 = 0\\(P): - 23x + 37y + 17z + 23 = 0\end{array}\]

Chọn D

Gọi \(\left( \alpha \right):\,Ax + By + Cz + D = 0\,\,\,\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0} \right)\).

\(O \in \left( \alpha \right)\) nên ta có: \(D = 0\,\)\(\left( 1 \right)\)

\(Q \in \left( \alpha \right)\) nên ta có: \(Ax + By + Cz - 2A - C = 0\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right) \Rightarrow C = - 2A\).

Theo đề bài: \(d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {N,\left( \alpha \right)} \right)\).

\( \Leftrightarrow \left| {2A + 2B} \right| = \left| { - 6A} \right|\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2A + B = 6A\\2A + B = - 6A\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B = 2A\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\\B = - 4A\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\)

Từ \(\left( * \right):\)Chọn \(A = 1 \Rightarrow B = 2,\,\,C = - 2\,\,\)\( \Rightarrow \left( \alpha \right):\,x + 2y - 2z = 0\).

Từ \(\left( {**} \right):\)Chọn \(A = 1 \Rightarrow B = - 4,\,\,C = - 2\,\,\)\( \Rightarrow \left( \alpha \right):\,x - 4y - 2z = 0\).

Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ \[{\rm{Ox}}yz\]như hình vẽ.

Ta có \[O\left( {0;0;0} \right)\], \[A \in {\rm{Oz}},\;B \in Ox,\;C \in Oy\]sao cho \[AO = 5,\;OB = 2,\;OC = 4\]

\[ \Rightarrow A\left( {0;0;5} \right),\;B\left( {2;0;0} \right),\;C\left( {0;4;0} \right)\].

Khi đó: \[G\] là trọng tâm tam giác\[ABC\] nên \[G\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};\frac{5}{3}} \right)\]

\[M\]là trung điểm \[OB\]nên \[M\left( {1;0;0} \right)\]

\[N\]là trung điểm \[OC\]nên \[N\left( {0;2;0} \right)\].

Phương trình mặt phẳng \[\left( {AMN} \right)\]là: \[\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{5} = 1\] hay \[10x + 5y + 2z - 10 = 0\]

Vậy khoảng cách từ \[G\] đến mặt phẳng \[\left( {AMN} \right)\]là:

\[d\left( {G,\left( {AMN} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{{20}}{3} + \frac{{20}}{3} + \frac{{10}}{3} - 10} \right|}}{{\sqrt {100 + 25 + 4} }} = \frac{{20}}{{3\sqrt {129} }}\].

Chọn B

Hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AB\) \( \Rightarrow \) Góc giữa \(SB\) và mặt đáy là góc giữa \[SB\] và \(AB\) và bằng góc \(\widehat {SBA} = {45^{\rm{o}}}\).

Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(A\) \( \Rightarrow SA = 2a\).

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có: \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {0;2a;0} \right)\), \(C\left( {a;a;0} \right)\), \[D\left( {a;0;0} \right)\], \(S\left( {0;0;2a} \right)\), \(E\left( {\frac{a}{2};0;a} \right)\).

\[\overrightarrow {AC} = \left( {a;a;0} \right)\], \(\overrightarrow {AE} = \left( {\frac{a}{2};0;a} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} \wedge \overrightarrow {A{\rm{E}}} = \left( {{a^2}; - {a^2}; - \frac{{{a^2}}}{2}} \right)\)

\( \Rightarrow \) mặt phẳng \(\left( {ACE} \right)\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 2; - 1} \right)\)\( \Rightarrow \left( {ACE} \right):2x - 2y - z = 0\).

Vậy \(d\left( {B,\left( {ACE} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2a} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{{4a}}{3}\).

Chọn D

Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_C} = {x_B} + {x_D}\\{y_A} + {y_C} = {y_B} + {y_D}\\{z_A} + {z_C} = {z_B} + {z_D}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 2\\{y_C} = 4\\{z_C} = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow C\left( {2;4;0} \right)\).

\(M\) là trung điểm của \(SB\) \( \Rightarrow M\left( {0;2;2} \right)\).

Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {CDM} \right)\):

\[\overrightarrow {CD} = \left( {0; - 4;0} \right)\], \[\overrightarrow {CM} = \left( { - 2; - 2;2} \right)\]\( \Rightarrow \overrightarrow {CD} \wedge \overrightarrow {CM} = \left( { - 8;0; - 8} \right)\).

\(\left( {CDM} \right)\) có một véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;0;1} \right)\).

Suy ra \(\left( {CDM} \right)\) có phương trình: \(x + z - 2 = 0\).

Vậy \(d\left( {B;\left( {CDM} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 \).

Chọn B

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho: \[O \equiv A\], tia \[Ox \equiv AD\]; tia \(Oy \equiv AB\).

Khi đó, \(A\left( {0;\,0;\,0} \right)\); \(B\left( {0;\,2500;\,0} \right)\); \(C\left( {1800;\,2500;\,0} \right)\);\(D\left( {1500;\,0;\,0} \right)\).

Khi hạ độ cao các điểm ở các điểm \(B\), \(C\), \(D\) xuống thấp hơn so với độ cao ở \(A\) là \(10\,{\rm{cm}}\), \(a\,{\rm{cm}}\), \(6\,{\rm{cm}}\) tương ứng ta có các điểm mới \(B'\left( {0\,;\,2500\,;\, - 10} \right)\); \(C'\left( {1800\,;\,2500\,;\, - a} \right)\);\(D'\left( {1500\,;\,0\,;\, - 6} \right)\).

Theo bài ra có bốn điểm \(A\); \(B'\); \(C'\); \(D'\) đồng phẳng.

Phương trình mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right):x + y + 250z = 0\).

Do \(C'\left( {1800\,;\,\,2500\,;\, - a} \right) \in \left( {AB'D'} \right)\) nên có: \(1800 + 2500 - 250a = 0 \Leftrightarrow a = 17,2\).

Vậy \(a = 17,2\,{\rm{cm}}\).

Chọn C

Theo giả thiết $A\in Ox, B\in Oy,C\in Oz$ nên ta có thể đặt $A(a;0;0), B(0;;0),C(0;0;c)$

Vì $M(1;2;3)$ là trọng tâm tam giác ABC nên.$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=6\\ c=9\end{array}\right.$

Từ đó ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn là:

$\left(P\right): \frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1\iff 6x+3y+2z-18=0$

Chọn B

Mp(P) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C nên $A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)$

Vì là trọng tâm tứ diện OABCnên $\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C+X_o}{4}=\frac{a}{4}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C+y_O}{4}=\frac{b}{4}\\ z_G=\frac{z_A+{z_{}}_B+z_C+z_o}{4}=\frac{c}{4}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=16\\ c=12\end{array}\right.$

Khi đó mp(P) có phương trình là $\frac{x}{4}+\frac{y}{16}+\frac{z}{12}=1$ hay $12x+3y+4z-48=0$.

Vậy mp(P) thỏa mãn là $12x+3y+4z-48=0$.

Chọn C 

Giả sử $A(a;0;0), B(0;b;0),C(0;0;c),abc\ne 0$

Khi đó mặt phẳng ($\alpha$) có dạng: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

Do  $M\in \left(\alpha \right)\Rightarrow \frac{2}{a}+\frac{1}{b}-\frac{3}{c}=1\left(1\right)$

Ta có:

Do là trực tâm tam giác nên:

Thay vào ta có:

Do đó

Chọn A

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 6\\M{A^2} = M{B^2}\\M{A^2} = M{C^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 6\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {b^2} = {\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c + 1} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {c^2} = {\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 6\\3a + 4b + c = 14\\4a - 7b + 3b = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow abc = 6.\)

Chọn A

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right);B\left( {0;b;0} \right);C\left( {0;0;c} \right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\left( {a.b.c \ne 0} \right)\)

Vì \(\left( P \right)\) qua \(M\) nên \(\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \left( {a - 3; - 2; - 1} \right);\overrightarrow {MB} = \left( { - 3;b - 2; - 1} \right);\overrightarrow {BC} = \left( {0; - b;c} \right);\overrightarrow {AC} = \left( { - a;0;c} \right)\)

Vì M là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b = c\\3a = c\end{array} \right.\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(a = \frac{{14}}{3};b = \frac{{14}}{2};c = 14\). Khi đó phương trình \(\left( P \right)\): \(3x + 2y + z - 14 = 0\)

Vậy mặt phẳng song song với \(\left( P \right)\)là: \(3x + 2y + z + 14 = 0.\)

Chọn A

Ta có $\underset{AB}{\to }=\left(2;-3;-2\right)$, $\underset{AC}{\to }=\left(-2;-1;-1\right)$ nên $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(1;6;-8)$.

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: $x+6y-8z+10=0$.

Phương trình mặt phẳng qua B và vuông góc với AC là: $2x+y+z-2=0$.

Phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với AB là: $2x-3y-2z+6=0$.

Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm H của tam giác ABC nên $H(\frac{-22}{101},\frac{70}{101},\frac{176}{101})$.

Mặt phẳng (P) đi qua A,H nên $\overrightarrow{n_p}\perp \overrightarrow{AH}=(\left(\frac{-22}{101},\frac{-31}{101},\frac{-26}{101}\right)=\frac{-1}{101}(22;31;26)$.

Mặt phẳng $\left(P\right)\perp \left(ABC\right)$ nên $\overrightarrow{n_p}\perp n_{\left(ABC\right)}=\left(1;6;-8\right)$.

Vậy $\left[\begin{array}{cc}{n}_{\left(ABC\right)};& u_{AH}\end{array}\right]=\left(404;-202;-101\right)$ là một vectơ pháp tuyến của (P).

Chọn ${\overrightarrow{n}}_P=\left(4;-2;-1\right)$ nên phương trình mặt phẳng (P) là $4x-2y-z+4=0$.

Chọn D

Giả sử (P) đi qua 3 điểm M(a,0,0), N(0,b,0), P(0,0,c)

Suy ra $\left(P\right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

Mà (P) đi qua A(1;1;1) và B(0;2;2) nên ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\\ \frac{2}{b}+\frac{2}{c}=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ \frac{2}{b}+\frac{2}{c}=1\end{array}\right.$

Theo giả thuyết ta có $OM=2ON\iff a=2\left|b\right|\iff b=1$

TH1. b=1 $\Rightarrow$c=-2 suy ra $\left(P\right):x+2y-z-2=0$

TH1. b=-1$\Rightarrow$ c=$\frac{-2}{3}$ suy ra $\left(P\right):x-2y+3z-2=0$

Chọn C

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại $A(m,0,0)$ $B(0,n,0)$ $C(0,0,p)$, m,n$\notin$. Ta có phương trình mặt phẳng ($\alpha$) có dạng . $\frac{x}{m}+\frac{y}{n}+\frac{z}{p}=1$

Mà $M\in \left(\alpha \right)\iff \frac{1}{m}+\frac{2}{n}+\frac{3}{p}=1\left(1\right)$

Ta $\overrightarrow{AM}=(1-m;2;3), \overrightarrow{BM}=(1;2-n;3),\overrightarrow{BC}=(0;-n;p),\overrightarrow{AC}=(-M;0;p)$

M là trực tâm tam giác ABC$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC}=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3n-2n=0\\ 3p-m=0\end{array}\right.\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra: $m=14, n=7,p=\frac{14}{3}$

Suy ra $\left(\alpha \right)$ có phương trình $\frac{x}{14}+\frac{y}{7}+\frac{3z}{14}=1\iff x+2y+3z-14=0$.

Vậy $T=a+b+c=1+2+3=6$

Chọn D

Giả sử mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại $A(m;0;0)$, $B(0;n,0)$, $C(0;0;p)$ (với $m,n,p>0$)

Theo giả thiết có $OC=2OA=2OB$$\Rightarrow p=2m=2n\left(1\right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có dạng $\frac{x}{m}+\frac{y}{n}+\frac{z}{p}=1$.

Do mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua $M(1;-3;8)$ nên $\frac{1}{m}-\frac{3}{n}+\frac{8}{p}=1 \left(2\right)$

Thay (1) vào (2) ta được $\frac{1}{m}-\frac{3}{m}+\frac{8}{2m}=1\iff \frac{2}{m}=1\iff m=2\Rightarrow m=n=2,p=4$

Phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có dạng $\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{4}=1\iff 2x+2y+z-4=0$

Từ đó suy ra $a=2t,b=2t,c=1,d=-4t(t\ne 0)$.

Vậy $S=\frac{a+b+c}{d}=\frac{5}{4}$.