Ta thấy hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) song song nên ta lấy điểm \(M(2;0;0)\) thuộc \((P)\). Kí hiệu \(d(P),(Q))\) là khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\), ta có: \(d((P),(Q)) = d(M,(Q)) = \frac{{|2 - 8|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = 6.\)

Theo Hình 19 , ta có \(A(0;0;0),S(0;0;3a),B(2a;0;0),D(0;5a;0)\) và \(C(2a;5a;0)\).

Ta có \(\overrightarrow {SB}  = (2a;0; - 3a),\overrightarrow {SC}  = (2a;5a; - 3a)\), suy ra \([\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ] = \left( {15{a^2};0;10{a^2}} \right)\).

Mặt phẳng \((SBC)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (3;0;2)\).

Vậy mặt phẳng \((SBC)\) có phương trình là: \(3(x - 0) + 2(z - 3a) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2z - 6a = 0.\)

Khi đó \(d(A,(SBC)) = \frac{{| - 6a|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {13} }}a\).

Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến các mặt phẳng \(x - a = 0,y - b = 0,z - c = 0\) lần lượt bằng \(\left| {{x_0} - a} \right|,\left| {{y_0} - b} \right|,\left| {{z_0} - c} \right|\).

a) Ta có \({\vec n_1} = (1;2; - 3),{\vec n_2} = ( - 4; - 8;12)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\). Do \({\vec n_2} =  - 4{\vec n_1},3 \ne ( - 4)\). 5 nên \(\left( {{P_1}} \right)//\left( {{P_2}} \right)\).

b) Chọn điểm \({M_0}\left( {\frac{3}{4};0;0} \right) \in \left( {{P_2}} \right)\). Suy ra khoảng cách từ điểm \({M_0}\) đến mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) bằng:

\(d\left( {{M_0},\left( {{P_1}} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{3}{4} + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{{23\sqrt {14} }}{{56}}.\)

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\) bằng \(\frac{{23\sqrt {14} }}{{56}}\).

Khoảng cách từ điểm \({M_0}\) đến mặt phẳng \((P)\) là: \(d\left( {{M_0},(P)} \right) = \frac{{|2 \cdot 3 + ( - 2) \cdot 1 + ( - 1) \cdot ( - 5) + 3|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = 4.{\rm{ }}\)

a) Ta có \({\vec n_1} = (2; - 4; - 4),{\vec n_2} = (1; - 2; - 2)\) lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\). Do \({\vec n_1} = 2{\vec n_2},{D_1} = 3 \ne 2 = 2{D_2}\) nên \(\left( {{P_1}} \right)//\left( {{P_2}} \right)\).

b) Chọn điểm \({M_0}\left( { - \frac{3}{2};0;0} \right) \in \left( {{P_1}} \right)\). Suy ra khoảng cách từ điểm \({M_0}\) đến mặt phẳng \(\left( {{P_2}} \right)\) là:

\(d\left( {{M_0},\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{\left| { - \frac{3}{2} + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{1}{6}.\)Nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\) bằng \(\frac{1}{6}\).

Ta có \({\rm{O}}(0;0;0)\). Ta có \(d(O,(P)) = \frac{{|1|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{3}\)

Khoảng cách từ điểm \(M(1;2; - 1)\) đến mặt phẳng \((P)\) : \(x + 2y - 2z + 5 = 0\) là:

\({\rm{d}}(M,(P)) = \frac{{|1 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot ( - 1) + 5|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 4.\)

\({\rm{ vì  }} \overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{n_Q}}  = (1;1;1) {\rm{ và  }} 2 \ne 6 {\rm{ nên }} ({\rm{P}})//({\rm{Q}}){\rm{. }}\) Lấy \({\rm{M}}(0;0; - 2) \in (P)\).

Khi đó \(d(M,(Q)) = d((P),(Q)) = \frac{{| - 2 + 6|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\)

a) Ta có \(\overrightarrow {{n_P}}  = (1;3;1),\overrightarrow {{n_Q}}  = (1;3;1)\). Vì \(\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{n_Q}} \) và \(2 \ne 5\). Do đó \(({\rm{P}})\) và \(({\rm{Q}})\) song song với nhau.

b) Lấy điểm \({\rm{M}}(0;0; - 2) \in ({\rm{P}})\).

Khi đó khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \((Q)\) là: \(d(M,(Q)) = \frac{{| - 2 + 5|}}{{\sqrt {1 + {3^2} + 1} }} = \frac{3}{{\sqrt {11} }}\)

Do đó \(d(M,(Q)) = d((P),(Q)) = \frac{3}{{\sqrt {11} }}\)

a) Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có:

\(\begin{array}{l}d(O,(\alpha )) = \frac{{|2.0 + 3.0 - 6.0 - 7|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 6)}^2}} }} = \frac{7}{7} = 1\\d(M,(\alpha )) = \frac{{|2.1 + 3.( - 2) - 6.3 - 7|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 6)}^2}} }} = \frac{{29}}{7}.\end{array}\)

b) Ta có \(\frac{2}{2} = \frac{3}{3} = \frac{{ - 6}}{{ - 6}} \ne \frac{{ - 7}}{{14}}\) nên \((\alpha )//(\beta )\). Lấy điểm \(N( - 7;0;0)\) thuộc ( \(\beta \) ).

Vậy \(d((\alpha ),(\beta )) = d(N,(\alpha )) = \frac{{|2.( - 7) + 3.0 - 6.0 - 7|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 6)}^2}} }} = \frac{{21}}{7} = 3.{\rm{ }}\)

Ta có \(\overrightarrow {{n_P}}  = (1;3; - 1),\overrightarrow {{n_Q}}  = (1; - 1; - 2)\) vì \(\overrightarrow {{n_P}}  \cdot \overrightarrow {{n_Q}}  = 1 \cdot 1 + 3 \cdot ( - 1) + ( - 1) \cdot ( - 2) = 0\)

Do đó hai mặt phẳng \(({\rm{P}})\) và \(({\rm{Q}})\) vuông góc với nhau.

\(\begin{array}{l}{\rm{ b) Do M}} \in {\rm{Ox nên M}} ({\rm{a}};0;0){\rm{.  Do d}}({\rm{M}},({\rm{P}})) = {\rm{d}}({\rm{M}},({\rm{Q}})) {\rm{ nên }} \frac{{|a|}}{{\sqrt {1 + 9 + 1} }} = \frac{{|a + 1|}}{{\sqrt {1 + 1 + 4} }} \Leftrightarrow \sqrt 6 |a| = \sqrt {11} |a + 1|\\ \Leftrightarrow 6{a^2} = 11{a^2} + 22a + 11 \Leftrightarrow 5{a^2} + 22a + 11 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{ - 11 - \sqrt {66} }}{5}{\rm{ hay }}a = \frac{{ - 11 + \sqrt {66} }}{5}\end{array}\)Vậy có hai điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu là: \({M_1}\left( {\frac{{ - 11 - \sqrt {66} }}{5};0;0} \right),{M_2}\left( {\frac{{ - 11 + \sqrt {66} }}{5};0;0} \right)\)

Đặt \(SA = a,SB = b,SC = c(a,b,c > 0)\). Vì các đường thẳng SA, SB, SC đôi một vuông góc nên có thể gắn hệ trục toạ độ Oxyz thoả mãn \(S(0;0;0),A(a;0;0)\), \(B(0;b;0),C(0;0;c)\).

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0\).

Khoảng cách từ điểm \(S\) đến mặt phẳng \((ABC)\) là: \(SH = \frac{{\left| {\frac{0}{a} + \frac{0}{b} + \frac{0}{c} - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{c}} \right)}^2}} }}.\)

Suy ra \(\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}}\).

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\).

Ta có: \(\frac{1}{1} + \frac{2}{2} + \frac{3}{3} \ne 1\), suy ra điểm \(D(1;2;3)\) không thuộc mặt phẳng \((ABC)\).

Vậy A, B, C, D không đồng phẳng.

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (a;0;0)\) và \(\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AB} \), suy ra \(\overrightarrow {DC}  = (a;0;0)\). Mà \(D(0;b;0)\) nên \(C(a;b;0)\).

Vì \(B(a;0;0),C(a;b;0)\) nên trung điểm \(M\) của BC có toạ độ là \(\left( {a;\frac{b}{2};0} \right)\). Vì \(S(0;0;c),C(a;b;0),D(0;b;0)\) nên trọng tâm \(G\) của tam giác SCD có toạ độ là \(\left( {\frac{a}{3};\frac{{2b}}{3};\frac{c}{3}} \right)\).

b) Phương trình mặt phẳng \((SBD)\) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0\).

c) Khoảng cách từ điểm \(G\) đến mặt phẳng \((SBD)\) là: \(\frac{{\left| {\frac{{\frac{a}{3}}}{a} + \frac{{\frac{{2b}}{3}}}{b} + \frac{{\frac{c}{3}}}{c} - 1} \right|}}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \frac{{abc}}{{3\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}.\)