20 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1. Phương trình mặt phẳng (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, tọa độ một vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;1; - 2} \right),\overrightarrow b = \left( {1;0;3} \right)\) là
(3; −5; −1).
(2; 3; −1).
(3; 5; −2).
(2; −3; −1).
Đáp án đúng: A
Ta có \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {3; - 5; - 1} \right)\).
Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x - 2y - z + 5 = 0\)song song với mặt phẳng nào dưới đây?
\(\left( {{\beta _2}} \right):2x - 4y - 2z + 7 = 0\).
\(\left( {{\beta _1}} \right):3x + y + z - 3 = 0\).
\(\left( {{\beta _3}} \right):2x - 4y - 2z + 10 = 0\).
\(\left( {{\beta _4}} \right): - 2x + 4y - 2z - 7 = 0\).
Đáp án đúng: A
Xét \(\left( \alpha \right):x - 2y - z + 5 = 0\) và \(\left( {{\beta _2}} \right):2x - 4y - 2z + 7 = 0\).
Có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; - 2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_{{\beta _2}}}} = \left( {2; - 4; - 2} \right)\) lần lượt là các vectơ pháp tuyến của (α) và (β2).
Có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \frac{1}{2}\overrightarrow {{n_{{\beta _2}}}} \) và \(5 \ne \frac{1}{2}.7\). Do đó \(\left( \alpha \right)//\left( {{\beta _2}} \right)\).
Trong không gian Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{{ - 1}} + \frac{z}{3} = 1\) là
\(\overrightarrow n = \left( { - 3; - 6; - 2} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( { - 2; - 1;3} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {3;6; - 2} \right)\).
Đáp án đúng: D
\(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{{ - 1}} + \frac{z}{3} = 1\)\( \Leftrightarrow - 3x - 6y + 2z - 6 = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 6y - 2z + 6 = 0\).
Do đó mặt phẳng \(3x + 6y - 2z + 6 = 0\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {3;6; - 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 5). Phương trình chính tắc của mặt phẳng (ABC) là
\(\frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{5} = 1\).
\(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}\).
\(\frac{x}{3} + \frac{y}{4} - \frac{z}{5} = 1\).
\(\frac{x}{3} - \frac{y}{4} - \frac{z}{5} = 1\).
Đáp án đúng: A
Phương trình mặt phẳng (ABC) là \(\frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{5} = 1\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình \( - 2x + 2y - z - 3 = 0\). Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 4;2} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 2;2; - 3} \right)\)
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( { - 4;4;2} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {0;0; - 3} \right)\).
Đáp án đúng: A
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 4;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 4 = 0. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với (P)?
\(2x + y - 2z + 5 = 0\).
\(x + 2y + 2z - 5 = 0\).
\(x + 3y - z + 1 = 0\).
\(x + y + z - 6 = 0\).
Đáp án đúng: B
Xét (P): 2x + y – 2z + 4 = 0 và \(\left( \alpha \right):x + 2y + 2z - 5 = 0\).
Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 2} \right),\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;2;2} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (α).
Có \(\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_\alpha }} = 2.1 + 1.2 + \left( { - 2} \right).2 = 0\). Do đó \(\left( P \right) \bot \left( \alpha \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(x + y + z - 3 = 0\)đi qua điểm nào dưới đây:
\(M\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\).
\(N\left( {1;1;1} \right)\).
\(P\left( { - 3;0;0} \right)\).
\(Q\left( {0;0; - 3} \right)\).
Đáp án đúng: B
Thay tọa độ điểm N vào mặt phẳng (P) ta được \(1 + 1 + 1 - 3 = 0\).
Do đó \(N \in \left( P \right)\).
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ M(1; 2; −3) đến (P): x + 2y + 2z – 10 = 0 là
\(3\).
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{4}{3}\).
\(\frac{{11}}{3}\).
Đáp án đúng: D
Có \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 + 2.\left( { - 3} \right) - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{11}}{3}\).
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {3; - 2; - 2} \right),B\left( {3;2;0} \right),C\left( {0;2;1} \right)\). Phương tình mặt phẳng (ABC) là
\(2x - 3y + 6z + 12 = 0\).
\(2x + 3y - 6z - 12 = 0\).
\(2x - 3y + 6z = 0\).
\(2x + 3y + 6z + 12 = 0\).
Đáp án đúng: C
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;4;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;4;3} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {4; - 6;12} \right) = 2\left( {2; - 3;6} \right) = 2\overrightarrow n \).
Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A và nhận \(\overrightarrow n = \left( {2; - 3;6} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(2\left( {x - 3} \right) - 3\left( {y + 2} \right) + 6\left( {z + 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - 3y + 6z = 0\).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 4; 1), B(−1; 1; 3) và mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – 5 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).
\(2y + 3z - 11 = 0\).
\(2x - 3y - 11 = 0\).
\(x - 2y + 2z - 5 = 0\).
\(3y + 2z - 11 = 0\).
Đáp án đúng: A
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 3;2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {0;8;12} \right) = 4\left( {0;2;3} \right) = 4\overrightarrow n \).
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(2; 4; 1) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {0;2;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(2\left( {y - 4} \right) + 3\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2y + 3z - 11 = 0\).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 0; 0), B(4; 1; 2).
(a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)\).
(b) Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB có phương trình là \(3x + y + 2z - 3 = 0\).
(c) Nếu I là trung điểm đoạn thẳng AB thì \(I\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};1} \right)\).
(d) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB có phương trình là \(3x + y + 2z - 12 = 0\).
a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)\).
b) Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(3x + y + 2z - 3 = 0\).
c) Trung điểm I của AB có tọa độ là \(I\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};1} \right)\).
d) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua \(I\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x - \frac{5}{2}} \right) + \left( {y - \frac{1}{2}} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + y + 2z - 10 = 0\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x + y – z – 12 = 0.
(a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;1; - 1} \right)\).
( b) Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(5; 3; −6).
( c) Cho điểm M(a; b; 1) thuộc mặt phẳng (P). Khi đó 3a + b = −13.
(d) (P) cắt trục Ox tại A, cắt trục Oz tại B. Diện tích tam giác OAB bằng 12.
a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;1; - 1} \right)\).
b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (P) ta được 3.5 + 3 + 6 – 12 ≠ 0. Suy ra A (P).
c) Vì M (P) nên 3a + b – 1 – 12 = 0 3a + b = 13.
d) (P) cắt trục Ox tại A(4; 0; 0), cắt trục Oz tại B(0; 0; −12).
Vì Ox Oz nên OAB vuông tại O.
Khi đó \({S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.4.12 = 24\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
a) Trong không gian Oxyz, cho \(M\left( { - 2; - 4;3} \right)\) và \(\left( P \right):2x - y + 2z - 3 = 0\), \(\left( Q \right):2x - y + 2z - 6 = 0\).
( a) \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 2\).
(b) M cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).
(c) \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 1\).
(d) (α) song song và cách (Q) một khoảng bằng 2 có phương trình là \(\left( \alpha \right):2x - y + 2z - 9 = 0\).
a) \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 4} \right) + 2.3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1\).
b) \(d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 4} \right) + 2.3 - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 0\) \( \Rightarrow M \in \left( Q \right)\).
c) Vì (P) // (Q) nên \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 1\).
d) Vì (α) // (Q) nên \(\left( \alpha \right):2x - y + 2z + d = 0\).
Có \(d\left( {\left( \alpha \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 4} \right) + 2.3 + d} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {6 + d} \right|}}{3} = 2\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 0\\d = - 12\end{array} \right.\).
Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn: \(2x - y + 2z = 0;2x - y + 2z - 12 = 0\).
Đáp án: a) Sai ; b) Sai; c) Đúng ; d) Sai.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 0), B(1; 0; 2), C(2; 1; 3) và mặt phẳng (P): x – y + 2z + 7 = 0.
(a) Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là (2; 1; 1).
(b) Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(3; 1; 5).
(c) Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P).
(d) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 6.
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2;2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {1;1;1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - 4;2;2} \right) = 2\left( { - 2;1;1} \right) = 2\overrightarrow n \).
Suy ra mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 2;1;1} \right)\).
b) Phương trình mặt phẳng (ABC): \( - 2\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 2} \right) + z = 0 \Leftrightarrow - 2x + y + z = 0\).
Thay tọa độ điểm M(3; 1; 5) vào phương trình mặt phẳng (ABC), ta được −2.3 + 1 + 5 = 0 (đúng).
Vậy mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M.
c) Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;2} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{n_p}} .\overrightarrow n = - 2.1 - 1.1 + 1.2 = - 1 \ne 0\) nên mặt phẳng (ABC) không vuông góc với mặt phẳng (P).
d) Ta có \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2 + 2.0 + 7} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 4} }} = \sqrt 6 \).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; −2; 1), C(−2; 1; 0). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
(a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\).
(b) Phương trình mặt phẳng (P) là \(x + y - z + 1 = 0\).
(c) Mặt phẳng (P) cắt trục Ox tại điểm M(−1; 0; 0).
(d) Điểm \(N\left( {1; - 2;0} \right)\) thuộc mặt phẳng (P).
a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3; - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;0; - 2} \right)\) , \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {6;6; - 6} \right) = 6\left( {1;1; - 1} \right) = 6\overrightarrow n \) .
Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\) .
b) Phương trình mặt phẳng (P) là \(x + \left( {y - 1} \right) - \left( {z - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + y - z + 1 = 0\) .
c) Mặt phẳng (P) cắt trục Ox tại điểm M(−1; 0; 0).
d) Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) ta được \(1 - 2 - 0 + 1 = 0\) .
Do đó N (P).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 0), B(3; 4; −2) và (P): x – y + z – 4 = 0. Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + 2 = 0. Tính \(a + b + c\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2; - 2} \right)\).
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {0; - 4; - 4} \right) = - 4\left( {0;1;1} \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng (Q): y + z – 2 = 0 −y – z + 2 =0.
Do đó \(T = a + b + c = - 2\).
Trả lời: −2.
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 4; 9). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O) sao cho OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách d từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P). (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.
Phương trình mặt phẳng (P): \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).
Ta có OA + OB + OC = a + b + c.
Vì M(1; 4; 9) ∈ (P) \( \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\).
Ta có \(\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) \ge {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}\) \(a + b + c \ge 36\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\\\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 12\\c = 18\end{array} \right.\).
Khi đó phương trình mặt phẳng (P): \(\frac{x}{6} + \frac{y}{{12}} + \frac{z}{{18}} = 1\)\( \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 36 = 0\).
Vậy \(d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 36} \right|}}{{\sqrt {36 + 9 + 4} }} = \frac{{36}}{7} \approx 5,14\).
Trả lời: 5,14.
Cho hình chóp S.ABCD có cạnh bên SA vuông góc với đáy, tứ giác ABCD là hình vuông, SA = 3, AB = 2. Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Dựa vào hệ trục tọa độ đã vẽ, ta có \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {2;0;0} \right),D\left( {0;2;0} \right),S\left( {0;0;3} \right),C\left( {2;2;0} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {SC} = \left( {2;2; - 3} \right),\overrightarrow {SD} = \left( {0;2; - 3} \right),\left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( {0;6;4} \right) = 2\left( {0;3;2} \right) = 2\overrightarrow n \).
Mặt phẳng (SCD) đi qua điểm S nhận \(\overrightarrow n = \left( {0;3;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình
\(3y + 2\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3y + 2z - 6 = 0\).
Khi đó \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 6} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} \approx 1,67\).
Trả lời: 1,67.
Ta có \(\overrightarrow {SC} = \left( {2;2; - 3} \right),\overrightarrow {SD} = \left( {0;2; - 3} \right),\left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( {0;6;4} \right) = 2\left( {0;3;2} \right) = 2\overrightarrow n \).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; −1) và mặt phẳng (P): \(ax - 3y - z - 8 = 0\) (với a là hằng số). Biết rằng mặt phẳng (P) đi qua điểm M. Giá trị của a bằng bao nhiêu?
Vì (P) đi qua điểm M nên \(a.2 - 3.1 + 1 - 8 = 0 \Rightarrow a = 5\).
Trả lời: 5.
Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà như hình vẽ dưới đây có sàn nhà nằm trên mặt phẳng (Oxy). Hai mái nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng (P): \(x - 2y + 5 = 0\) và \(\left( Q \right):x - 2y - 3z + 20 = 0\). Hỏi là chiều cao của ngôi nhà tính từ sàn nhà lên nóc nhà là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng đơn vị).
Những điểm thuộc đường nóc nhà có tọa độ thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 5 = 0\\x - 2y - 3z + 20 = 0\end{array} \right.\).
Từ phương trình thứ nhất chọn \(x = - 5 \Rightarrow y = 0\)thay vào phương trình còn lại ta được \(z = 5\).
Vậy điểm A(−5; 0; 5) là một điểm thuộc đường nóc nhà.
Khi đó chiều cao cần tìm của ngôi nhà là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oxy) và bằng 5.
Trả lời: 5.
