D. Trục \[Oz\] có vectơ chỉ phương là \[\vec a = (0;0; - 2024)\]. ĐÚNG

B. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 4\). SAI 

D. \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( { - 1; - 4;3} \right)\). ĐÚNG

A. \(\overrightarrow a \) cùng phương với \(\overrightarrow b \).  SAI    

D. \(\overrightarrow a \) vuông góc với \(\overrightarrow b \). SAI

Ta có:

 \(\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] = \left( { - 1; - 3; - 7} \right) \ne \overrightarrow 0 \). Hai véctơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \)không cùng phương.

\(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\overrightarrow c  =  - 1 + 15 - 14 = 0\). Ba véctơ \(\overrightarrow a \),\(\overrightarrow b \),\(\overrightarrow c \) đồng phẳng.

A. Điểm \[a + b + c <  - 2\] không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\). ĐÚNG

B. Điểm \[\left( P \right)\] thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).            ĐÚNG

D. Điểm \(\left( {{Q_1}} \right):3x - y + 4z + 2 = 0\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\). SAI

Điểm \(\left( {{Q_2}} \right):3x - y + 4z + 8 = 0\) có tọa độ thỏa mãn phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(\left( {{Q_1}} \right)\).

Điểm \[a + b + c <  - 2\],\(K\left( { - 3;0;0} \right)\) , \(\left( {{Q_1}} \right):3x - y + 4z + 2 = 0\)có tọa độ không thỏa mãn phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(M,K,Q \notin \left( P \right)\).

a) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;\,1;\,2} \right)\).

b) \(\overrightarrow {AC}  = \left( {1;\,0;\,5} \right);\,\left[ {\overrightarrow {AB} ;\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {5;\, - 3;\,1} \right)\). Suy ra, \(\overrightarrow {AB} \) không cùng phương với \(\overrightarrow {AC} \).

c) Vì \(\overrightarrow {AB} \) không cùng phương với \(\overrightarrow {AC} \). Do đó, \(A,\,B,\,C\) không thẳng hàng.

d) Mặt phẳng đi qua ba điểm \(A,\,B,\,C\) nhận vectơ \(\,\left[ {\overrightarrow {AB} ;\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {5;\, - 3;\,1} \right)\)làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là \(5\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y - 1} \right) - \left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x - 3y - z - 8 = 0\)

Ta có \(5.\,0\, - \,3.\,\left( { - 2} \right)\, - 3 - 8\, =  - 5 \ne 0\) nên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) không đi qua điểm \(D\left( {0; - 2;3} \right)\).

a-Đúng 

a) \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {0;\,1;\,0} \right)\).

b) \(\left( Q \right)\)có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {\sqrt 3 ;\, - 1;\,0} \right)\).

c) \(\cos \left( {P;Q} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {n{}_1} ;\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {0.\sqrt 3  + 1.\left( { - 1} \right) + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{2}\)

Suy ra, góc giữa hai mặt phẳng \(\overrightarrow P \) và \(\overrightarrow Q \) là \(60^\circ \).

d) Gọi điểm \(M\left( {a;\,0;\,0} \right)\, \in Ox\) và cách đều hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\)

Khi đó, \(d\left( {M;\,P} \right) = d\left( {M;\,Q} \right)\) \( \Leftrightarrow \frac{{\left| {0 - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = \frac{{\left| {a\sqrt 3  - 0 - 2024} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }}\) \( \Leftrightarrow 5 = \frac{{\left| {a\sqrt 3  - 2024} \right|}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left| {a\sqrt 3  - 2024} \right| = 10\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 678\sqrt 3 \\a = \frac{{2014\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)

Do đó, có 2 điểm \({M_1}\left( {678\sqrt 3 ;0;0} \right);\,{M_2}\left( {\frac{{2014\sqrt 3 }}{3};0;0} \right)\) thỏa yêu cầu.

B. \(d\left( {M,(Oyz)} \right) = 1.\) ĐÚNG

B. Mặt phẳng (Q) có phương trình là:\[2x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }}--{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\] ĐÚNG

C. Mặt phẳng (Q) có phương trình là: \[2x{\rm{ }} + {\rm{ }}y\;--{\rm{ }}2z{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\] SAI           

D. Mặt phẳng (Q) có phương trình là: \[x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }}--{\rm{ }}3\; = {\rm{ }}0.\] SAI

Dùng công thức khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng, sau đó tính khoảng cách lần lượt trong mỗi trường hợp và chọn đáp án đúng và sai.

      A. Hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) song song với nhau.                         ĐÚNG

B. Hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) vuông góc với nhau.                                           SAI

D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) bằng \(3\). ĐÚNG

Nhận xét: hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) song song với nhau. SAI     

Lấy \(M(6;0;0) \in (P)\) ta có \(d\left( {(P);(Q)} \right) = d\left( {M;(Q)} \right) = \frac{{\left| {1.6 + 2.0 - 2.0 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 3\).

A. Hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) song song với nhau.                         ĐÚNG

B. Khoảng cách điểm đến mặt phẳng \((Q)\) bằng \(\frac{1}{2}\).         SAI

D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) bằng \(3\). SAI

\(d\left( {N,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2.1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{4}{3}\)

Hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) song song với nhau.     

Trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta chọn điểm \(M\left( {0; - 9;0} \right)\). Tính khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( Q \right)\) ta có:

\(d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {4.0 - 2.( - 9) - 4.0 - 6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2\).

Vậy \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = 2\).

B. \(d\left( {A,(\alpha )} \right)\)\( > \)\(d\left( {A,(\beta )} \right).\) SAI

C. \(d\left( {A,(\alpha )} \right)\) = \(d\left( {A,(\beta )} \right).\) SAI  

D. 2.\(d\left( {A,(\alpha )} \right)\) = \(d\left( {A,(\beta )} \right).\) ĐÚNG

\(d\left( {A,(\alpha )} \right) = \frac{{\left| {2.{x_A} + {y_A} + 2.{z_A} + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 1\) ; \(d\left( {A,(\beta )} \right) = \frac{{\left| {{x_A}} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 2.\)

Kết luận: \(d\left( {A,(\beta )} \right) = 2.d\left( {A,(\alpha )} \right)\).

A.\[\overrightarrow {MM'}  = (7; - 9; - 27)\]. ĐÚNG           

C. \[\overrightarrow {u'} \]. SAI          

D sai vì thay tọa độ điểm \[\left( Q \right)\] vào \[\left( S \right)\] ta thấy không thỏa mãn nên \[{x^2} + {(y + 2)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\].

B. (I) đúng, (II) sai. SAI

D. Cả (I) và (II) đều đúng. ĐÚNG

      B. \[Oxyz\]. ĐÚNG 

D. \(\left( Q \right):2x + my + 2z + 3 = 0\). ĐÚNG

a) \(\left( \alpha  \right)\) có một VTPT là \(\left( {3; - 1;1} \right)\).

b) Ta có \(3.1 - 3 + 2 - 1 = 1 \ne 0\). Suy ra, \(\left( \alpha  \right)\) không đi qua điểm \(A\). Sai 

c) \(d\left( {A;\alpha } \right) = \frac{{\left| {3.1 - 3 + 2 - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt {11} }}{{11}}.\) Sai 

d) Mặt phẳng song song với \(\left( \alpha  \right)\) có dạng: \(3x - y + z + C = 0\quad \left( {C \ne  - 1} \right)\)

Vì mp đi qua \(A\) nên \(3.1 - 3 + 2 + C = 0 \Rightarrow C =  - 2\)

Vậy mặt phẳng đi qua điểm \(A\) và song song với \(\left( \alpha  \right)\)có phương trình \(3x - y + z - 2 = 0\). Đúng

B. \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow v \). SAI

D. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;-2;3)  và vuông góc với giá của véctơ \(\overrightarrow u  = \left( { - 2;0;1} \right)\) là: \(2x - y + 1 = 0\). SAI

B. \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} \).       SAI

A. Phương trình của mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (P)  là \(3x - 2y - z - 12 = 0\). SAI     

C. Mặt phẳng \[(Oyz)\] có vectơ pháp tuyến là \[\vec n = \left( { - 4; - 6; - 2} \right)\]. ĐÚNG  

D. Điểm \[M\left( {0;0;2024} \right)\] không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\). SAI

Véctơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \({\vec n_2}\left( {2;3;1} \right)\).

\[\vec n = \left( {6;9;3} \right) = 3\left( {2;3;1} \right)\]

\[\vec n = \left( { - 4; - 6; - 2} \right) =  - 2\left( {2;3;1} \right)\]

Thay điểm \[M\left( {0;0;2024} \right)\] vào  mặt phẳng \(\left( P \right)\):\(2.0 + 3.0 + 2024 - 2024 = 0 \Rightarrow M \in \left( P \right)\)