(Trả lời ngắn) 43 bài tập Phương trình mặt phẳng (có lời giải)- Đề 1

[\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {0;2; - 2} \right)\]

Có: BC→=(0;-2;-2),BD→=(-1;-1;-1)

BC→,BD→=(0;2;-2)

 

\(\vec n = \)AB→,AC→=(-6;-10;4)

\[\overrightarrow {AC}  = ( - 3;1; - 2),\overrightarrow {AB}  = ( - 1; - 1; - 4)\]

AB→,AC→=(-6;-10;4)

.

\[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\overrightarrow {AD}  =  - 24\]

Ta có: AB→=(1;2;3);AC→=(-3;3;3);AD→=(-1;3;1)AB→,AC→=(-3;-12;9)AB→,AC→.AD→=(-3).(-1)+(-12).3+9.1=-24

\(\vec n = \left( {1; - 3; - 4} \right)\)

Phương trình tổng quát của mặt phẳng \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b - c - 13 = 0\\1 - a = k\\2 - b = k\\ - 1 - c =  - k\end{array} \right. \Rightarrow \left( {1 - k} \right) + \left( {2 - k} \right) - \left( { - 1 + k} \right) - 13 = 0 \Leftrightarrow k =  - 3\) nên một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( \Rightarrow I\left( {4\,;\,5\,;\, - 4} \right)\) có tọa độ là \(a + b + c = 5\) hay \(\left( {{\rm{1;}}\, - {\rm{3;}}\, - {\rm{4}}} \right)\).

\(m = 2\) .

\(\left[ {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right] = \left( { - 5;m + 1;3 - 2m} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow a  = \left[ {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 = 3\\3 - 2m =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\).

\(m = 1\) hoặc \(m =  - 3\).

\[\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - m - 2; - m;m + 1} \right) \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]} \right| = \sqrt {{{\left( {m + 2} \right)}^2} + {m^2} + {{\left( {m + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {3{m^2} + 6m + 5} \]

\(\left| {\left[ {\vec u,\vec v} \right]} \right| = \sqrt {14}  \Leftrightarrow 3{m^2} + 6m + 5 = 14 \Leftrightarrow 3{m^2} + 6m - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 3\end{array} \right.\).

m=14

Ta có:m=14Ta có OA→=0;1;2,OB→=1;2;1,OC→=4;3;m

\[\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right].\overrightarrow {OC}  = 0\]  .⇔5.4-2.3-1.m=0⇔m=14

Vậy m=14.

d(m,P)=43

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): d(M,(P))=2.(-1)-2.2+1.(-3)+522+(-2)2+12=43.

M(0;-3;0)

Ta có M∈Oy⇒M(0;y;0).

Theo giả thiết: d(M,(P))=d(M,(Q))⇔y+13=-y-53⇔y=-3.

Vậy M(0;-3;0)

m=2

Ta có AB→=(2;2;1)⇒AB=22+22+12=3(1).

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P): d(a;(P))=2.1+2+m.3-122+12+m2=3m+35+m2(2).

Để AB= d(A,(P))⇒3=3m+35+m2⇔9(5+m2)=9(m+1)2⇔m=2.

  M(0;0;3)

Khoảng cách từ M đến (P) nhỏ nhất khi M thuộc (P). Nên M là giao điểm của trục Oy với mặt phẳng (P). Thay x = 0, z = 0 vào phương trình (P) ta được y = - 4.

Vậy M(0;4;0).

M(0;0;3)

Vì  ∈Oz ⇒M(0;0;m). Ta có: MA=22+32+(4-m)2;d(M,(P))=m-1714 .

M cách đều điểm A(2;3;4)  và mặt phẳng (P): 2x+3y+z-17=0  khi và chỉ khi

22+32+(4-m)2=m-1714⇔13(m-3)2=0⇔m=3. Vậy M(0;0;3).

a) Hãy kiểm tính song song hoặc vuông góc giữa các bức tường (P),(Q),(R)  của tòa nhà.

(P): x+2y-2z+1=0 có vectơ pháp tuyến là n→P=(1;2;-2)

(Q):2x +y+2z-3=0  có vectơ pháp tuyến là n→Q=(2;1;2)

(R: 2x+4y-4z-19=0 . có vectơ pháp tuyến là n→R=(2;4;-4)

Ta có n→R=(2;4;-4) =2(1;2-2) ⇒n→R =2n→Pnên hai bức tường (P) và (Q) song song nhau

n→P.n→Q=1.2+2.1+(-2).2=0⇒n→P⊥n→Q

nên bức tường (Q) vuông góc với hai bức tường (P) và (R) ,

b) Tính khoảng giữa hai bức tường (P) và (R)  của tòa nhà.

Chọn điểm  M(-1;0;0) ∈P

Do hai bức tường (P) và (R) song song nhau nên:

d((P),(R))=d(M,(R))=2.(-1)+4.0-4.0-194+16+16=216=3,5m

d(B,(P))=6

Ta có: AB→=3AM→⇒BM=2.AM⇒d(B,(P))d(A,(P))=BMAM=2⇒d(B,(P))=2.d(A,(P))=2.3.2+4.4-12.(-1)+532+42+(-12)2=2.3=6

a) Hãy kiểm tính song song hoặc vuông góc giữa các bức tường (P),(Q),(T) của tòa nhà.

(P): 2x -y-z+1=0 có vectơ pháp tuyến là.  n→P=(2;-1;-1)

(Q): x+3y-z-2=0 có vectơ pháp tuyến là.n→Q=(1;3;-1)

(R): 4x-2y-2z+9=0  có vectơ pháp tuyến là n→R=(4;-2;-2)

(T): 2x+6y-2z+15=0  có vectơ pháp tuyến là n→T=(2;6;-2)

Ta có:

n→R=(4;-2;-2)=2(2;-1;-1)⇒n→R=2n→P nên hai bức tường (P) và (R)song song nhau

n→T=(2;6;-2)=2(21;3;-1)⇒n→T=2n→Q nên hai bức tường T và Qsong song nhaun→P.n→Q=2.1+(-1).3+(-1).(-1)=0⇒n→P⊥n→Q

nên bức tường (Q)  vuông góc với hai bức tường (P) và (R)

n→R.n→Q=4.1+(-2).3+(-2).(-1)=0⇒n→R⊥n→Q

nên bức tường (R) vuông góc với hai bức tường (Q) và (T)

b) Tính khoảng giữa hai bức tường (Q) và (T) của tòa nhà.

Chọn điểm  M(2;0;0) 

Do hai bức tường (Q) và (T)song song nhau nên:

d((Q),(T))=d(M,(T))=2.2+6.0-2.0+154+36+4=1944≈2,9m

c) Tính chiều rộng bức tường (Q) của tòa nhà.

Do hai bức tường (P) và (R) song song nhau nên chiều rộng bức tường (Q) là khoảng cách giữa hai bức tường (P) và (R).

Chọn điểm  N(0;0;1)

 

Do hai bức tường (P) và (Q)song song nhau nên:

d((P),(R))=d(N,(R))=4.0-2.0-2.1+94+1+1=76≈2,9m

d(B,(P))=6

Ta có: AB→=3AM→⇒BM=2.AM⇒d(B,(P))d(A,(P))=BMAM=2⇒d(B,(P))=2.d(A,(P))=2.3.2+4.4-12.(-1)+532+42+(-12)2=2.3=6

m=4

(P): 2x+my+2mz-9-0  có VTPT a→ = (2;m;2m)

(Q): 6x -y-z-10=0  có VTPT b→=(6;-1;-1)

(P)⊥(Q)⇔a→.b→=0⇔2.6+m(-1)+2m.(-1)=0⇔m=4

m=32,n=-10

(P): 5x+my+z-5=0  có VTPT a→=(5;m;1)

(Q): nx-3y-2z+7 =0  có VTPT b→=(n;-3;-2)

(P) //(Q) ⇔a→,b→=0⇔-2M+3=0n+10=0-15-nm=0⇔m=32n=-10

b=c

• Phương trình (ABC): x1+yb+zc=1⇒(ABC) có VTPT: n→=(1;1b;1c)

• Phương trình (P): y-z+1=0  ⇒(P) có VTPT: n→=(0;1;-1).

• (ABC)⊥(P)⇔1b-1c=0⇔b=c.

b=c

• Phương trình (ABC): x1+yb+zc=1⇒(ABC) có VTPT: n→=(1;1b;1c)

• Phương trình (P): y-z+1=0  ⇒(P) có VTPT: n→=(0;1;-1).

• (ABC)⊥(P)⇔1b-1c=0⇔b=c.

a+4b=-16

Trên giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng (P),(Q) ta lấy lần lượt 2 điểm A,B như sau:

Lấy A(x,y,1) ∈∆, ta có hệ phương trình :x-y=0x+2y=0⇒x=y=0⇒A(-1;2;-2)

Lấy B(-1;y;z)∈∆, ta có hệ phương trình :y+z=02y+z=2⇒y=2z=-2⇒B(-1;2;-2)

Vì ∆⊂(α) nên A,B∈(α). Do đó ta có:2+b=0-a+b-6=0⇒a=-8b=-2

Vậy a+4b=-8+2.(-2)=-16

 

a+4b=-16

Trên giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng (P),(Q) ta lấy lần lượt 2 điểm A,B như sau:

Lấy A(x,y,1) ∈∆, ta có hệ phương trình :x-y=0x+2y=0⇒x=y=0⇒A(-1;2;-2)

Lấy B(-1;y;z)∈∆, ta có hệ phương trình :y+z=02y+z=2⇒y=2z=-2⇒B(-1;2;-2)

Vì ∆⊂(α) nên A,B∈(α). Do đó ta có:2+b=0-a+b-6=0⇒a=-8b=-2

Vậy a+4b=-8+2.(-2)=-16

 

\(m + n = 3\)

+ \(\left( {{P_m}} \right):mx + 2y + nz + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {m;2;n} \right)\).

\(\left( {{Q_m}} \right):x - my + nz + 2 = 0\) có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_2}} \left( {1; - m;n} \right)\].

\(\left( \alpha  \right):4x - y - 6z + 3 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \left( {4; - 1; - 6} \right)\).

+ Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {{P_m}} \right)\) và \(\left( {{Q_m}} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {{P_m}} \right) \bot \left( \alpha  \right)\\\left( {{Q_m}} \right) \bot \left( \alpha  \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \\\overrightarrow {{n_2}}  \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_\alpha }}  = 0\\\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow {{n_\alpha }}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m - 2 - 6n = 0\\4 + m - 6n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 1\end{array} \right..\)

Vậy \(m + n = 3\).

(P):x-y+2z-12=0

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3;-1;4)  đồng thời vuông góc với giá của a→=(1;-1;2) nên nhận a→=(1;-1;2) làm vectơ pháp tuyến. Do đó, (P)  có phương trình là

1(x-3)-1(y+1)+2(z-4)=0⇔x-y+2z-12=0.

\(3x - 5y - z - 6 = 0\)

Ta có n→=a→,b→=(-18;4;-3)

Mặt phẳng (P)  đi qua \(M\left( {0; - 2;1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến n→=(-18;4;-3) nên có phương trình

-18(x-0)+4(y+2)-3(z-1)=0⇔18x-4y+3z-12=0.

Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình: 18x-4y+3z-12=0.

(α):3x-2y+z-1=0

AB→=(-1;1;1),CD→=(0;1;-1)⇒AB→,CD→=(-2;-1;-1)

(α)  đi qua A(1;1;0)  và có một VTPT là n→=(2;1;1)⇒α:2x+y+z-3=0

(P):3x-2y+z-1=0

Mặt phẳng (Q) cần tìm song song với mặt phẳng (P):3x-2y+z-3=0 nên có phương trình dạng (Q): 3x-2y+z+m=0, m≠-3

Vì M ∈(Q): 3.2-2.1+(-3)+m=0⇔m=-1 

Vậy (Q): 3x-2y+z-1=0.

2x-3y+6z=0

Ta có:

AB→=(0;4;2),AC→=(-3;4;3),n→=AB→,AC→=(4;-6;12).

Ta có n→=(4;-6;12) cùng phương n1=(2;-3;6)

Mặt phẳng (ABC)  đi qua điểm C(0;2;1) và có một vectơ pháp tuyến n→1=(2;-3;6) nên (ABC) có phương trình là:

2(x-0)-3(y-2)+6(z-1)=0⇔2x-3y+6z=0

Vậy phương trình cần tìm là: 2x-3y+6z=0.

2y+3z-11=0

Ta có: AB→=(-3;-3;2), vectơ pháp tuyến của mp(P) là n→P=(1;-3;2).

Từ giả thiết suy ra n→=AB→,nP→=(0;8;12) là vectơ pháp tuyến của mp( Q)

Mp (Q) đi qua điểm A(2;4;1) suy ra phương trình tổng quát của mp (Q) là:

0(x-2)+8(y-4)+12(z-1)=0⇔2y+3z-11=0.

3x-2y+6z-12=0

Không mất tính tổng quát, ta giả sử M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A(2;-3;1) lên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oxz), (Oyz).

Khi đó, M(2;-3;0), N(2;0;1) và P(0;-3;1)

MN→=(0;3;1) và MP→=(-2;0;1).

Ta có, MN→ và MP→ là cặp vectơ không cùng phương và có giá nằm trong (MNP)

Do đó, (MNP)  có một vectơ pháp tuyến là n→=MN→,MP→=(3;-2;6).

Mặt khác, (MNP)  đi qua M (2;-3;0)  nên có phương trình là:

3(x-2)-2(y+3)+6(z-0)=0⇔3x-2y+6z-12=0.

 

a) Lập phương trình mặt phẳng (OACB).

 Gắn hình chóp cụt OAGD.BCFE vào hệ trục Oxyz, ta có:

O(0;0;0),A(100;0;00,G(100;60;0),D(0;60;0),B(10;10n→=(4;0;-5) ;8)

OA→=(100;0;0),OB→=(10;10;8)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OBED) là n→=OA→,OB→=(0;-100;1000)=-100(0;1;-10)

Phương trình mặt phẳng (OBED) đi qua điểm O(0;0;0) và có vectơ pháp tuyến n→=(0;1;-10) là: y-10z=0

b) Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (OBED) .

OD→=(0;60;0),OB→=(10;10;8)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OBED) là n→=OD→,OB→=(480;0;-600)=120(4;0;-5)

Phương trình mặt phẳng (OBED)  đi qua điểm O(0;0;0)  và có vectơ pháp tuyến  là:n→=(4;0;-5) 

khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (OBED)  là: d(G(OBED))=4.100-5.016+25=4004141≈62,5m

Thiết lập hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, gốc O=B'.

Khi đó:M(0;12;1),N(12;0;1),P(1;12;0),Q(1;1;12)

a) Lập phương trình mặt phẳng (A'BC') .

b) Tính khoảng cách từ điểm Q đến mặt phẳng (MNP) .

c) Tính khoảng giữa hai mặt phẳng (A'BC') và  mặt phẳng (ACD').

S(0;0;a32),M(a;0;0),N(a2;a2;0).

a) Lập phương trình mặt phẳng (SOM) .

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) .

c) Gọi Q là trung điểm SD. Tính khoảng giữa hai mặt phẳng (SAC) và  mặt phẳng (ONQ).

Chọn hệ trục tọa độ \[{\rm{Ox}}yz\]như hình vẽ.

Ta có \[O\left( {0;0;0} \right)\], \[A \in {\rm{Oz}},\;B \in Ox,\;C \in Oy\]sao cho \[AO = 5,\;OB = 2,\;OC = 4\]

\[ \Rightarrow A\left( {0;0;5} \right),\;B\left( {2;0;0} \right),\;C\left( {0;4;0} \right)\].

Khi đó: \[G\] là trọng tâm tam giác\[ABC\] nên \[G\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};\frac{5}{3}} \right)\]

\[M\]là trung điểm \[OB\]nên \[M\left( {1;0;0} \right)\]

\[N\]là trung điểm \[OC\]nên \[N\left( {0;2;0} \right)\].

K là trọng tâm tam giácAMN nên K(13;23;53)

a) Lập phương trình mặt phẳng (ABC) .

b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SMN) .

Hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AB\) \( \Rightarrow \) Góc giữa \(SB\) và mặt đáy là góc giữa \[SB\] và \(AB\) và bằng góc \(\widehat {SBA} = {45^{\rm{o}}}\).

Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(A\) \( \Rightarrow SA = 2a\).

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có: \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {0;2a;0} \right)\), \(C\left( {a;a;0} \right)\), \[D\left( {a;0;0} \right)\], \(S\left( {0;0;2a} \right)\), \(E\left( {\frac{a}{2};0;a} \right)\).

a) Lập phương trình mặt phẳng (SAC) .

b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AEC) .

phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm S, B, H là x+5y-7z-15=0

Phương trình Mặt phẳng (ABC): x-2+y3+z6=1⇔-3x+2y+z-6=0.

H là chân đường cao vẽ từ S của tứ diện S.ABC nên H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) :H(1914;317;174)

 Mặt phẳng (SBH): qua B(0;3;0)vtptBH→,SB→=(1114;5514;112)=1114(1;5;-7)

Phương trình Mặt phẳng (SBH):(SBH):x+5(y-3)-7z=0⇔x+5y-7z-15=0

 

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ : \(A\left( {0;0;0} \right)\),\(D\left( {2;0;0} \right)\),\(B\left( {0;4;0} \right)\),\(S\left( {0;0;4} \right)\).

\(M\) là trung điểm của \(SB\) \( \Rightarrow M\left( {0;2;2} \right)\).

Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_C} = {x_B} + {x_D}\\{y_A} + {y_C} = {y_B} + {y_D}\\{z_A} + {z_C} = {z_B} + {z_D}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 2\\{y_C} = 4\\{z_C} = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow C\left( {2;4;0} \right)\).

G là trọng tâm của tam giác SCD⇒ G(43;43;43) 

a) Lập phương trình mặt phẳng (AMC) .

b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMG) .

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Có A(0;0;0),C(4;3;0),D(4;0;0)

G là trọng tâm của tam giác ACB'⇒G(83;1;53)

a) Tính độ dài cạnh GD' .

b) Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (AB'C) .

c) Tính khoảng giữa hai mặt phẳng (AB'D') và  mặt phẳng (CB'D').

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

Vì tứ diện ABCD có AB,AC,AD đôi một vuông góc với nhau, nên ta chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ (với A là gốc tọa độ, đường thằng AC nằm trên trục Ax, AD nằm trên trục Ay và AB nằm trên trục Az).

Từ đó suy ra: A(0;0;0), B(0;0;1) vì C(1;0;0), C(1;0;0) vì C∈Ax, D(0;2;0) vì D∈Ay.

Vì I là trung điểm của BC nên I(12;0;12).

G là trọng tâm của tam giác ABD⇒G(16;0;12)

a) Tính độ dài cạnh IG .

b) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (AIG) .

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn:A≡O,B(a,0,0),D(0;a,0),S(0;0;a)

(như minh họa hình vẽ),

suy ra M(a2;0;a2) và N(0;a2;a2).

a) Tính tọa độ điểm G. .

G là trọng tâm của tam giác AMN⇒G(a6;a6;a3)

b) Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBC) .

c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (AMN) .

Đặt hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó, ta có:

A(0;0;000,B(a;0;0),c(a;a3;0),(0;a3;0),S(0;0;a)

G  là trọng tâm của tam giác SBD ⇒G(a3;a33;a3)

a) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) .

b) Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SCD) .

Hình vuông ABCD có độ dài đường chéo bằng a2 suy ra hình vuông đó có cạnh bằng a.

Ta có (SBD)∩(ABCD)=BDSI⊥BDAI⊥BD⇒((SBD);(ABCD))=(SI,AI)=SIA.

Ta có .

Ta có A(0;0;0) , B(a;0;0), C(a;a;0), S(0;0;a) ⇒I(a2;0;a2)

a) Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAB) .

b) Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SCD) .

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó

S(0;0;32);A(-a2;0;0);C(a2;a;0);D(-a2;a;0)

suy ra G(0;0;a36) ; M(a4;a2;a34); N(-a4;a2;a34

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) .

b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (GMN) .