Dựa vào tính chất của cấp số nhân, chứng minh đẳng thức, giải phương trình và ứng dụng bài toán thực tế

Đáp án C

Đáp án C

Ta có $\left\{\begin{array}{c}{x}^2=\left(-2\right)\left(-18\right)=36\Rightarrow x=\pm 6\\ xy={\left(-18\right)}^2=324\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}x=6\\ y=54\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}x=-6\\ y=-54\end{array}\right.\end{array}\right.$

Đáp án C

Đáp án A

Vì x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1 nên $y=x.q;z=x.q^2$(1)

Các số x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên $x+3z=4y$      (2)

Thay (1) vào (2) được 

$x+3x{q}^2=4xq\iff x\left(3q^2-4q+1\right)=0\Rightarrow 3q^2-4q+1=0\iff \left[\begin{array}{c}q=1\\ q=\frac{1}{3}\end{array}\right.$

Vì $\mathrm{q}\ne 1 \mathrm{nên} \mathrm{q}=\frac{1}{3}$

Đáp án B

Đáp án B

Gọi m là công sai của cấp số cộng

Khi đó b=a+m; c=a+2m; d=a+3m

Do a+1; b+1; c+3; d+9 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên $\left\{\begin{array}{c}\left(a+1\right)\left(c+3\right)={\left(b+1\right)}^2\\ \left(b+1\right)\left(d+9\right)={\left(c+3\right)}^2\end{array}\right.$

Thay $b=a+m;c=a+2m,d=a+3m\mathit{ }$vào hệ trên và rút gọn ta được $\left\{\begin{array}{c}2a+2=m^2\\ 4a=m^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=1\\ \left[\begin{array}{c}m=2\\ m=-2\end{array}\right.\end{array}\right.$

Thử lại ta thấy chỉ có trường hợp a=1; m=2 thỏa mãn

Vậy a+d=2a+3m=8

Đáp án C

Đáp án C

$\left\{\begin{array}{c}{u}_5-u_4=576\\ u_2-u_1=9\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{u}_1.q^4-u_1.q^3=576\\ u_1.q-u_1=9\end{array}\right.\Rightarrow \frac{q^4-q^3}{q-1}=\frac{576}{9}\Rightarrow q^3=64\iff q=4\Rightarrow u_1=3$

Vậy tổng 5 số hạng đầu là $S_5=u_1\frac{q^5-1}{q-1}=1023$

Đáp án C

Ba số -x; 3; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên -x+y=6 (1)

Ba số 1; x; y theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên $x^2=y$ (2)

Đáp án C

Giải hệ phương trình ta được $x_0=\frac{a+3}{6};y_0=2;z_0=\frac{5a+9}{6}$

Để $x_0,y_0,z_0$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân thì 

$$\begin{gathered} x_0.z_0=y_0^2 \\ \iff \frac{\mathit{a}\mathit{+}\mathit{3}}{\mathit{6}}.\frac{\mathit{5}\mathit{a}\mathit{+}\mathit{9}}{\mathit{6}}=4\iff 5a^{\mathit{2}}+24a-117=0\iff [\begin{array}{c}a\mathrm{=}\mathrm{3}\\ a\mathrm{=}\mathrm{-}\frac{\mathrm{39}}{\mathrm{5}}\end{array} \end{gathered}$$

Do a>0 nên a=3

Đáp án C

Theo đề bài ta có $a=u_1;b=u_2=u_1+10;c=u_4=u_1+30$

Theo tính chất cấp số nhân, ta có $b^2=a.c\iff {\left(u_1+10\right)}^2=u_1\left(u_1+30\right)\iff u_1=10\Rightarrow a=10$

Đáp án D

Theo giả thiết ta có $\frac{\sin \alpha }{6}.\tan \alpha ={\left(\cos \alpha \right)}^2\iff \frac{{\left(\sin \alpha \right)}^2}{6.\cos \alpha }={\left(\cos \alpha \right)}^2\iff 6.{\left(\cos \alpha \right)}^3+{\left(\cos \alpha \right)}^2-1=0\iff \cos \alpha =\frac{1}{2}$

Từ đó $\cos 2\alpha =2{\left(\cos \alpha \right)}^2-1=-\frac{1}{2}$

Đáp án B

Ta nhận thấy diện tích các mặt trên của mỗi tầng lập thành 1 cấp số nhân với công bội q

Số hạng đầu $u_1=12288$. Khi đó mặt trên cùng tầng 11 ứng với ${\mathrm{u}}_{12}$

Đáp án D

Ta có $\frac{a^2{b}^2{c}^2}{a^3+b^3+c^3}=4\iff \frac{1}{4}=\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2{b}^2{c}^2}=\frac{a}{b^2{c}^2}+\frac{b}{c^2{a}^2}+\frac{c}{a^2{b}^2}$

Mặt khác a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên $ac=b^2$

Do đó

$\frac{1}{4}=\frac{a}{b^2{c}^2}+\frac{b}{c^2{a}^2}+\frac{c}{a^2{b}^2}=\frac{a}{a{c}^3}+\frac{b}{b^4}+\frac{c}{a^{3}c}=\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\Rightarrow P=\frac{1}{4}$

Đáp án D

Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân

Khi đó $\left\{\begin{array}{c}{x}_1{x}_3=x_2^2\\ x_1+x_2+x_3=-2\\ x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=m+1\end{array}\right.\Rightarrow x_2=-\frac{m+1}{2}$

Thay vào phương trình ta được m=-1; m=3; m=-4

Thay từng giá trị của m vào phương trình ta thấy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán