Đề thi

ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Ứng dụng tích phân vào tính diện tích

AdminĐH Bách KhoaĐánh giá năng lực146 lượt thi

28 câu hỏi

Hiển thị đáp án

1. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) đường thẳng y=0 và hai đường thẳng x=a, x=b(a<b) là:

$S = \int_{a}^{b} f (x) d x$

$S = \int_{0}^{b} f (x) d x$

$S = \int_{b}^{a} |f (x)| d x$

$S = \int_{a}^{b} |f (x)| d x$

Xem đáp án

2. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) và hai đường thẳng x=a, x=b (a<b) là:

$S = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$

$S = \int_{a}^{b} (g (x) - f (x)) d x$

$S = \int_{a}^{b} |f (x) - g (x)| d x$

$S = \int_{a}^{b} |f (x)| d x - \int_{a}^{b} |g (x)| d x$

Xem đáp án

3. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

y = x^{3} - x; y = 2 x

và các đường thẳng x=-1; x=1 được xác định bởi công thức:

$S = |\int_{- 1}^{1} (3 x - x^{3}) d x|$

$S = \int_{- 1}^{0} (3 x - x^{3}) d x + \int_{0}^{1} (x^{3} - 3 x) d x$

$S = \int_{- 1}^{1} (3 x - x^{3}) d x$

$S = \int_{- 1}^{0} (x^{3} - 3 x) d x + \int_{0}^{1} (3 x - x^{3}) d x$

Xem đáp án

4. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = x^{3}, y = 2 - x

và y = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

$S = \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{1}^{2} (x - 2) d x$

$S = |\int_{0}^{2} (x^{3} + x - 2) d x|$

$S = \frac{1}{2} + \int_{0}^{1} x^{3} d x$

$S = \int_{0}^{1} |x^{3} + x - 2| d x$

Xem đáp án

5. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f (x) = x^{2} - 1

, trục hoành và hai đường thẳng x=−1;x=−3 là:

$S = \int_{- 3}^{- 1} |x^{2} - 1| d x$

$S = \int_{- 1}^{- 3} |x^{2} - 1| d x$

$S = \int_{- 3}^{0} |x^{2} - 1| d x$

$S = \int_{- 3}^{- 1} (1 - x^{2}) d x$

Xem đáp án

6. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Cho hai hàm số f(x)=-x và

g (x) = e^{x}

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) và hai đường thẳng x=0,x=e là:

$S = \int_{0}^{e} |e^{x} + x| d x$

$S = \int_{0}^{e} |e^{x} - x| d x$

$S = \int_{e}^{0} |e^{x} - x| d x$

$S = \int_{e}^{0} |e^{x} + x| d x$

Xem đáp án

7. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = (x - 1) e^{x}

, trục hoành, đường thẳng x = 0 và x = 1

S=2+e

S=2-e

S=e-2

S=e-1

Xem đáp án

8. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ dưới đây. Diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) được xác định bởi

$S = \int_{- 2}^{2} f (x) d x$

$S = \int_{1}^{- 2} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x$

$S = \int_{- 2}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x$

$S = \int_{- 2}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{2} f (x) d x$

Xem đáp án

9. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Cho hàm số f(x) có đồ thị trên đoạn [-3;3]là đường gấp khúc ABCD như hình vẽ.

Media VietJack

Tính $\int_{- 3}^{3} f (x) d x$

$\frac{5}{2}$

$\frac{35}{6}$

$\frac{- 5}{2}$

$\frac{- 35}{6}$

Xem đáp án

10. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{2} - 4 x + 3$ , trục hoành và hai đường thẳng x=1, x=2 bằng: (Đáp án là phân số tối giản)

$S = \int_{- 1}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{1} | f (x) | d x$

$\int_{- 1}^{1} |f (x)| d x$

$\int_{- 1}^{1} f (x) d x$

$S = |\int_{- 1}^{1} f (x) d x|$

Xem đáp án

11. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=f(x) trục hoành và hai đường thẳng x=-1, x=2 (như hình vẽ). Đặt

a = \int_{- 1}^{0} f (x) d x, b = \int_{0}^{2} f (x) d x

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

S=b-a

S=b+a

S=-b+a

S=-b-a

Xem đáp án

12. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số

y = x^{2} - 4

và y=x-4

$S = \frac{16}{3}$

$S = \frac{161}{6}$

$S = \frac{1}{6}$

$S = \frac{5}{6}$

Xem đáp án

13. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn

x^{2} + y^{2} = 2, y > 0

và parabol

y = x^{2}

bằng:

$π + \frac{4}{3}$

$\frac{π}{2} - 1$

$\frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} + \frac{1}{3}$

Xem đáp án

14. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Diện tích hình phẳng giới hạn với đường cong y=4-|x| và trục hoành Ox là

Xem đáp án

15. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên

ℝ

và có đồ thị như hình vẽ.

Diện tích hai phần A và B lần lượt là

\frac{16}{3} v à \frac{63}{4}

. Tính

\int_{- 1}^{\frac{3}{2}} f (2 x + 1) d x

$\frac{253}{12}$

$\frac{253}{24}$

$- \frac{125}{24}$

$- \frac{125}{12}$

Xem đáp án

16. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Cho hình vuông ABCD tâm O, độ dài cạnh là 4cm. Đường cong BOC là một phần của parabol đỉnh O chia hình vuông thành hai hình phẳng có diện tích lần lượt là S₁ và S₂ (tham khảo hình vẽ).

Tỉ số

\frac{S_{1}}{S_{2}}

bằng:

$\frac{1}{2}$

$\frac{3}{5}$

$\frac{2}{5}$

$\frac{1}{3}$

Xem đáp án

17. Tự luận

• 1 điểm

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Biết các miền A và B có diện tích lần lượt là 4 và 1. Tính

\int_{1}^{2} 4 x f (x^{2}) d x

Xem đáp án

18. Tự luận

• 1 điểm

Diện tích hình phẳng thuộc góc phần tư thứ hai, giới hạn bởi parabol

y = 2 - x^{2}

, đường thẳng y=-x và trục Oy bằng

\frac{a}{b}

(phân số tối giản). Tính a+b

Xem đáp án

19. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Cho parabol $(P) : y = x^{2} + 1$ và đường thẳng (d);y=mx+2. Biết rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bới(P) và (d) đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.

$S = \frac{8}{3}$

$S = \frac{4}{3}$

S = 4

$S = \frac{16}{9}$

Xem đáp án

20. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Cho hàm số

y = x^{4} - 3 x^{2} + m

có đồ thị là (Cm) (m là tham số thực). Giả sử (Cm) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt. Gọi

S_{1}, S_{2}

là diện tích của hai hình phẳng nằm dưới trục Ox và S3 là diện tích của hình phẳng nằm trên trục Ox được tạo bởi (Cm) với trục Ox. Biết rằng tồn tại duy nhất giá trị

m = \frac{a}{b}

(với

a, b \in ℕ^{*}

và tối giản) để

S_{1} + S_{2} = S_{3}

. Giá trị của 2a−b bằng:

-4

-2

Xem đáp án

21. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Cho hai hàm số

f (x) = m x^{3} + n x^{2} + p x - \frac{5}{2} (m, n, p \in ℝ) và g (x) = x^{2} + 3 x - 1

có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3;−1;1( tham khảo hình vẽ bên). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số f(x)và g(x) bằng

$\frac{9}{2}$

$\frac{18}{5}$

Xem đáp án

22. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Cho hàm số

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c

với a,b,c là các số thực. Biết hàm số

g (x) = f (x) + f' (x) + f'' (x)

có hai giá trị cực trị là −3 và 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = \frac{f (x)}{g (x) + 6} v à y = 1

bằng

2ln3

ln3

ln18

2ln2

Xem đáp án

23. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Gọi S là diện tích của Ban Công của một ngôi nhà có dạng như hình vẽ (S được giới hạn bởi parabol (P) và trục Ox). Giá trị của S là:

$S = \frac{8}{3}$

S = 1

$S = \frac{4}{3}$

S = 2

Xem đáp án

24. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Ông B có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ bên thì parabol có phương trình

y = x^{2}

và đường thẳng là y = 25. Ông B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi đường thẳng đi qua O và điểm M trên parabol để trồng hoa. Hãy giúp ông B xác định điểm M bằng cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vường nhỏ bằng 92.

$O M = 2 \sqrt{5}$

$O M = 3 \sqrt{10}$

$OM = 15$

$OM = 10$

Xem đáp án

25. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có hình parabol. Gắn parabol vào hệ trục Oxy thì nó có đỉnh (0;8) và cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt, trong đó có 1 điểm là (−4;0). Người ta dự định lắp vào cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào.

$\frac{128}{3} m^{2}$

$\frac{131}{3} m^{2}$

$\frac{28}{3} m^{2}$

$\frac{26}{3} m$

Xem đáp án

26. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch hình vuông cạnh 40(cm) như hình bên. Biết rằng người thiết kế đã sử dụng các đường cong có phương trình

4 x^{2} = y^{4} và 4 {(| x | - 1)}^{3} = y^{2}

để tạo hoa văn cho viên gạch. Diện tích phần được tô đậm gần nhất với giá trị nào dưới đây?

$506 (c m^{2})$

$747 (c m^{2})$

$507 (c m^{2})$

$746 (c m^{2})$

Xem đáp án

27. Trắc nghiệm

• 1 điểm

Một khung cửa kính hình parabol với đỉnh M và cạnh đáy AB như minh họa ở hình bên. Biết chi phí để lắp phần kính màu (phần tô đậm trong hình) là 200.000 đồng /m² và phần kính trắng còn lại là 150.000 đồng /m².Cho $M N = A B = 4 m và M C = C D = D N$ . Hỏi số tiền để lắp kính cho khung cửa như trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?