ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Bất phương trình logarit

Điều kiện: $x>\frac{1}{3}$

BPT $\iff 3x-1\ge 8\iff x\ge 3$

Kết hợp điều kiện ta được $x\ge 3$

Đáp án cần chọn là: A

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\ln \left[\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+1\right]>0\\ \iff \left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+1>1\end{array}\\ \iff \left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)>0\end{array}$

$\Rightarrow x\in (1;2)\cup (3;+\infty )$

Đáp án cần chọn là: A

${\log }_{\mathrm{0,7}}\left({\log }_6\frac{x^2+x}{x+4}\right)<0$

Đkxđ: $\left\{\begin{array}{c}{\log }_6\frac{x^2+x}{x+4}>0\\ \frac{x^2+x}{x+4}>0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}-4<x<-2\\ x>2\end{array}\right.\left(*\right)$

$$\begin{gathered} lo{g}_6\frac{x^2+x}{x+4}>{\mathrm{0,7}}^0=1\iff \frac{x^2+x}{x+4}>6\iff \frac{x^2+x}{x+4}-6>0 \\ \iff \frac{x^2-5x-24}{x+4}>0\iff \frac{(x-8)(x+3)}{x+4}>0 \end{gathered}$$

Xét dấu $f\left(x\right)=\frac{(x-8)(x+3)}{x+4}$

$$\begin{gathered} 2017{\log }_{2}x\le 9^{{\log }_{2}4}=81 \\ \iff {\log }_{2}x=\frac{81}{2017}=>0<x\le \sqrt[2017]{2^{81}} \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: B

Điều kiện: $x\ne 0$

$$\begin{gathered} (2^{x^2-4}-1)ln{x}^2<0\Rightarrow \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}(2^{x^2-4}-1)>0\\ ln{x}^2<0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}(2^{x^2-4}-1)<0\\ ln{x}^2>0\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \begin{array}{l}\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}{2}^{x^2-4}>1\\ x^2<1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}{2}^{x^2-4}<1\\ x^2>1\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}{x}^2-4>0\\ x^2<1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}{x}^2-4<0\\ x^2>1\end{array}\right.\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}x>2;x<-2\\ -1<x<1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}-2<x<2\\ x>1;x<-1\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}-2<x<-1\\ 1<x<2\end{array}\Rightarrow x\in (-2;-1)\cup (1;2)\right.\end{array} \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: B

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{c}2x^2+x+3>0\\ 3x^2-x>0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x>\frac{1}{3}\\ x<0\end{array}\right.$

Do x = 1 là một nghiệm của bất phương trình nên

${\log }_m({2.1}^2+1+3)\le {\log }_m({3.1}^2-1)\iff {\log }_{m}6\le {\log }_{m}2\iff 0<m<1$

Khi đó, ta có:

$\begin{array}{l}{\log }_m(2x^2+x+3)\le {\log }_m(3x^2-x)\\ \iff 2x^2+x+3\ge 3x^2-x\iff x^2-2x-3\le 0\iff -1\le x\le 3\end{array}$

Kết hợp với điều kiện xác định ta có nghiệm của bpt là: $S=\left[-1;0\right)\cup \left(\frac{1}{3};3\right)$
Đáp án cần chọn là: C

ĐKXĐ: x > 0.

Ta có:

$\begin{array}{l}{9}^{{\log }_9^{2}x}+x^{{\log }_{9}x}\le 18\\ \iff 9^{{\log }_{9}x.{\log }_{9}x}+x^{{\log }_{9}x}\le 18\\ \iff {\left(9^{{\log }_{9}x}\right)}^{{\log }_{9}x}+x^{{\log }_{9}x}\le 18\\ \iff x^{{\log }_{9}x}+x^{{\log }_{9}x}\le 18\\ \iff 2.x^{{\log }_{9}x}\le 18\\ \iff x^{{\log }_{9}x}\le 9\end{array}$

Lấy logarit cơ số 9 cả 2 vế bất phương trình ta được:

$\begin{array}{l}{\log }_9\left(x^{{\log }_{9}x}\right)\le {\log }_{9}9\\ \iff {\log }_{9}x.{\log }_{9}x\le 1\\ \iff {\log }_9^{2}x\le 1\\ \iff -1\le {\log }_{9}x\le 1\\ \iff \frac{1}{9}\le x\le 9\end{array}$

Kết hợp điều kiện xác định ta có $x\in \left[\frac{1}{9};9\right]$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left[\frac{1}{9};9\right]$
Đáp án cần chọn là: B